课时作业(十二) 数学归纳法
练 基 础
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋ a3 D．1＋a＋a2＋ a3＋a4
3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
4．证明：＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*).
提 能 力
5.对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
6．(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝__________．
8．用数学归纳法证明：(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝n(n＋1)(n＋2)(n为正整数).
9．[2022·河南南阳高二期末]设正项数列{an}的首项为4，满足a＝an＋1＋3nan－3.
(1)求a2，a3，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
10．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*).
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋<.
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11.在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．则这n条直线将它们所在的平面分成______个区域．
12．[2022·浙江温州高二期末]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝2，b3＝a7，T3＝S4.
(1)求an，bn；
(2)已知Pn＝＋＋…＋，Qn＝＋＋…＋，试比较Pn，Qn的大小．课时作业(十一) 数列求和习题课
练 基 础
1.[2022·北京海淀高二期末]已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，满足a1＝1，d>0，且a1，a2，S3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
2．[2022·广东茂名高二期末]已知在正项等比数列{an}中，2a1a2＝a3，a1＋a2＝3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an＋1，求的前n项和Sn.
提 能 力
3.[2022·重庆实验中学高二期末]已知公差大于1的等差数列{an}中，a2＝3，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜.
4．[2022·辽宁沈阳高二期末]已知数列{an}是n次多项式f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系数，且f(1)＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求f，并说明f<2.
5.[2022·山东东营高二期末]设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，且满足Sn＝n2an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等差数列{bn}的前n项和等于，cn＝·b2n，求数列{cn}的前n项和Mn.
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6.已知数列a1＝3，an＋1＝4an－3.
(1)求{an－1}为等比数列，并求{an}的通项；
(2)令bn＝，证明：b1＋b2＋b3＋…＋bn<.课时作业(十) 等比数列的前n项和公式
练 基 础
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2，3a5，9a8成等差数列，则＝( )
A． B．
C．3 D．4
2．[2022·广东珠海高二期末]我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533～1606年)所著．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”．其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”．若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有( )盏．
A.192 B．128
C．3 D．1
3．[2022·广东广州育才中学高二期中]公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为( )
A.16 B．28
C．32 D．64
4．[2022·辽宁沈阳高二期末]记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝3an，求数列{bn}的前n项和Tn.
提 能 力
5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，下列结论正确的是( )
A．a1，a7，a4成等差数列
B．a1，a7，a4成等比数列
C．a1，2a7，a4成等差数列
D．a1，2a7，a4成等比数列
6．某公司计划在12年内每年对某产品的广告投入(单位：万元)等于上一年的1.5倍再减去2.已知第一年(2018年)该公司对该产品的广告投入为5万元，则按照计划该公司从2018年到2028年(含2028年)对该产品的广告总投入约为(参考数据：1.510≈57.67)( )
A．215万元 B．219万元
C．153万元 D．154万元
7．(多选)[2022·广东广州高二期末]如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…….记图1中正方形的个数为a1，图2中正方形的个数为a2，图3中正方形的个数为a3，……，图n中正方形的个数为an，下列说法正确的有( )
A．a5＝63
B．图5中最小正方形的边长为
C．a1＋a2＋a3＋…＋a10＝2 036
D．若an＝255，则图n中所有正方形的面积之和为8
8．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
9.[2022·河北石家庄二中高二期中]在等比数列{an}中，已知a1＝1，且2a1是a5与－3a3的等差中项．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn.若Sm＝127，求m.
10．如图，正三角形ABC的边长为20 cm，取BC边的中点E，作正三角形BDE；取DE边的中点G，作正三角形DFG，……如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG，…，求前20个正三角形的面积和．
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11.[2022·山东日照青山学校高二期中]“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之和为S1；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为S2；……；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若S1＋S2＋…＋Sn≥，则操作次数n的最小值为____________．
12．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(参考数据：lg 6≈0.778，lg ≈0.097).
(1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)；
(2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8 000万元．课时作业(六) 等差数列的前n项和公式
练 基 础
1.[2022·广东佛山高二期末]某体育场的看台有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该看台第一排的座位数为( )
A．15 B．16
C．17 D．18
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
A．9 B．8
C．7 D．6
3．[2022·湖北襄阳高二期末]已知数列{an}是等差数列，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，满足a1＋5a3＝S8，则当Sn取得最大值时，n＝________．
4．[2022·湖北鄂州高二期末]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值．
提 能 力
5.[2022·福建龙岩高二期末]已知等差数列{an}的公差d<0，a5a7＝35，a4＋a8＝12，记该数列的前n项和为Sn，则Sn的最大值为( )
A．66 B．72
C．132 D．198
6．(多选)[2020山东济宁高二期末]已知递减的等差数列的前n项和为Sn，若S7＝S11 ，则( )
A．a10>0 B．当n＝9时，Sn最大
C．S17>0 D．S19>0
7．(多选)[2022·广东韶关高二期末]设公差小于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，则( )
A．a13＝0
B．|a15|＝|a10|
C．S25＝0
D．Sn的最大值为S12或S13
8．[2022·河北保定高二期中]已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋2n(n＋1)，设bn＝.
(1)判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由；
(2)若an是数列{cn}的前n项和，求{cn}的通项公式．
9．[2022·广东东涌中学高二期中]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，a3＝S3，a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
10．某剧场有40排座位，第一排有20个座位，以后每排都比前一排多2个座位．
(1)求该剧场的座位数；
(2)若该剧场票价如下：第一排至第10排(含第10排)每张200元，第11排至第30排(含第30排)每张150元，其他每张100元，求该剧场满座时，每场演出的总收入．
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11.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第12层的塔数为( )
A．17 B．18
C．19 D．20
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.课时作业(八) 等比数列的性质
练 基 础
1.[2022·河北唐山高二期末]若a，b，c成等比数列且公比为q，那么，，( )
A．不一定是等比数列
B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为
D．一定是等比数列，且公比为q
2．[2022·福建福州高二期中]设{an}是等比数列，若a2＝4，a1a5＝64，则a4＝( )
A．8 B．12
C．16 D．32
3．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为____________．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
提 能 力
5.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，那么a3a6a9…a30＝( )
A．210 B．220
C．216 D．215
6．(多选)[2022·山东德州高二期中]下列结论正确的是( )
A．若数列{an}是等差数列，则{2an}为等比数列
B．若数列{an}是等比数列，则{ln an}为等差数列
C．若数列{an}满足an＋1＝qan，则{an}为等比数列
D．若数列{an}是等差数列，bn＝a2n－1＋a2n，则{bn}为等差数列
7．[2022·江苏常州高二期末]已知数列{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝3，则a6＋a7＋a8＝____________．
8．在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝45，求an.
9．数列{an}满足a1＝，＝，数列bn＝1－a，数列cn＝a－a(n∈N*).
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{cn}的通项公式．
10．假设某市2021年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底：
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
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11.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形，分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的．按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝i(i∈N*)时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为____________．
12．[2022·广东佛山高二期中]“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共十九大报告．为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，记该地区今年绿洲的面积为a1万平方公里，第n年绿洲的面积为an万平方公里．
(1)求第n年绿洲的面积an与上一年绿洲的面积an－1的关系；
(2)证明：数列是等比数列，并求{an}的通项公式；
(3)求第几年该地区的绿洲面积可超过60%？(参考数据：lg 2＝0.301 0)课时作业(四) 等差数列的性质
练 基 础
1.等差数列{an}中，a4＋a6＝6，a8＝4，则a2＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
3．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an＝( )
A．2 192 B．3 912－8n
C．3 920－8n D．3 928－8n
4．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．
提 能 力
5.在等差数列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，则a4＝( )
A．4 B．
C．3 D．2
6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( )
A．6.5尺 B．13.5尺
C．14.5尺 D．15.5尺
7．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________．
8．已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
9．诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．
(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？
(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？
10．已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
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11.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球(a1＝1)，第二层有3个球(a2＝3)，第三层有6个球(a3＝6)，第四层有10个球(a4＝10)，第五层有15个球(a5＝15)，…，各层球数之差：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，…即2，3, 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为( )
A．51 B．68
C．106 D．157
12．已知等差数列{an}的公差为正数，a2与a8的等差中项为8，且a3a7＝28.
(1)求{an}的通项公式；
(2)从{an}中依次取出第3项，第6项，第9项，…， 第3n项，按照原来的顺序组成一个新数列{bn}，判断938是不是数列{bn}中的项？并说明理由．课时作业(五) 等差数列的前n项和
练 基 础
1.已知等差数列{an}中，前4项为1，3，5，7，则数列{an}前10项的和S10＝( )
A．100 B．23
C．21 D．17
2．(多选)已知公差为d的等差数列{an}中，a2＝7，a9＝35，其前n项和为Sn，则( )
A．a5＝19 B．d＝3
C．an＝4n－1 D．Sn＝2n2＋n
3．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，S3＝3，S6＝12，则S9＝____________．
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.
(1)已知a1＝7，a10＝－43，求S10；
(2)已知a1＝100，公差d＝－2，求S50.
提 能 力
5.已知等差数列{an}的前5项和为15，则a6＋3a2＝( )
A．16 B．14
C．12 D．10
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a10＝0，若Sn＝S5(n≠5)，则n的值为( )
A．15 B．14
C．13 D．12
7．在公差不为0的等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S12＝3(a3＋2a5＋ak)，则正整数k＝________．
8．在等差数列{an}中，a2＝5，a7＝a4＋6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设Sn为{an}的前n项和，若Sm＝99，求m的值．
9．项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．
10．[2022·湖南雅礼中学高二期末]公差不为零的等差数列{an}满足a3＝a5a8，a6＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求使Sn培 优 生
11.[2022·山东临沂高二期末]毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图，图形中的圆点数分别为1，5，12，22，…，以此类推，第6个图形对应的圆点数为____________，若这些数构成数列{an}，则a1＋＋＋…＋＝____________．
12．[2022·广东汕头高二期末]已知数列{an}的相邻两项an和an＋1恰是方程x2＋nx＋bn＝0的两个根，且a1＝10.
(1)求b20的值；
(2)记Sn为数列{a2n}的前n项和，求S20.课时作业(十六) 导数的四则运算法则
练 基 础
1.[2022·广东江门二中高二期中]若f(x)＝x＋，则f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝( )
A．0 B．2
C．1 D．－1
2．[2022·山东潍坊高二期中]设函数f(x)＝ex cos x，则f′(x)等于( )
A．ex cos x B．－ex sin x
C．ex(cos x＋sin x) D．ex(cos x－sin x)
3．[2022·河北张家口高二期末]函数f(x)＝x＋ln x在点(1，f(1))处的切线方程为____________．
4．已知函数f(x)＝ex ln x＋3x.
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．
提 能 力
5.[2022·河北唐山一中高二期中]直线y＝2x＋b是曲线y＝x ln x的一条切线，则b＝( )
A．2e B．e
C．－e D．－2e
6．[2022·福建莆田一中高二期末]已知f(x)＝2x3＋(a－2)x2－3x为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．3x－y－2＝0 B．3x－y－4＝0
C．3x＋y－2＝0 D．3x＋y－4＝0
7．[2022·广东广州高二期中]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝ln x＋f′(1)x2＋，则f(1)＝________．
8．已知f(x)＝a ln x－，
(1)当f′(2)＝1时，求a；
(2)f(x)在(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行，求a.
9．已知函数y＝f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.求函数y＝f(x)的解析式．
10．[2022·湖北武汉高二期末]已知函数f(x)＝x3＋x－16.如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
培 优 生
11.[2022·福建漳州三中高二期末]已知函数f(x)的解析式唯一，且满足xf′(x)＋f(x)＝ex，f(1)＝2e.则函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为____________．
12．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x).
(1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．课时作业(二) 数列的递推公式
练 基 础
1.已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的( )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则a4＝( )
A． B．－
C．－3 D．2
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a8的值为( )
A．15 B．16
C．17 D．18
4．已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N*)，且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项．
提 能 力
5.数列{an}满足an＋1＝1－，a7＝2，则a1＝( )
A．－1 B．
C．1 D．2
6．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的( )
A．第58项 B．第59项
C．第60项 D．第61项
7．(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则( )
A．an＝2n－10
B．an＝2n＋9
C．若第k项满足5D．若第k项满足58．已知数列{an}中，an＝n2－pn＋q，a1＝0，a2＝－4.
(1)求a5；
(2)判断66是不是该数列中的项？若是，是第几项？
(3)当n为何值，an有最小值？并求出最小值．
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－6n＋1.
(1)求a1，a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
10．已知数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求数列{an}的通项公式．
培 优 生
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2020＝( )
A．2018 B．2019
C．2020 D．2021
12．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝
若a4＝4，求m所有可能的取值．课时作业(十四) 导数的概念及其几何意义
练 基 础
1.[2022·山东泰安高二期中]已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝－1，则 ＝( )
A．－1 B．1
C． D．－2
2．[2022·山东日照高二期末]如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋10，则f(4)＋f′(4)的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
3．(多选)下面说法不正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
4．已知f(x)＝x2－2x＋1，求f′(x)及f′(2).
提 能 力
5.[2022·重庆十八中高二期末]已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．f′(1)B．f′(2)C．f′(1)D．f(2)－f(1)6．曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角α等于( )
A．45° B．60°
C．135° D．120°
7．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
8．求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．
9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
10．求球的体积在半径为3时的瞬时变化率，并指出这一瞬时变化率的实际意义．
培 优 生
11.[2022·江苏苏州实验中学高二期中]设f(x)是可导函数，且＝2，则f′(1)＝( )
A．2 B．－
C．－1 D．－2
12．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．章末过关检测(一) 数列
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列－，，－，，…的通项公式可能是an＝( )
A． B． C． D．
2．在等差数列{an}中，已知a5＝4，a2＋a6＝10，则数列{an}的公差为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a10＝6，则S13＝( )
A．37 B．38 C．39 D．40
4．已知等比数列{an}中，a1a8a15＝27，则a3·a13＝( )
A．3 B．6 C．9 D．18
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝12，S24＝36，则S16＝( )
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
6．在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为( )
A．13 B．11 C．10 D．10
7．已知等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a2，a5，a14成等比数列，则数列{an}的前6项和为( )
A．6 B．11 C．36 D．51
8．已知数列{an}满足：an＋2＝且a1＝2，a2＝1，则此数列的前20项的和为( )
A．621 B．622 C．1 133 D．1 134
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列四个数列中的递增数列是( )
A．1，，，，…
B．sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a7>0，a6＋a9<0，则( )
A．数列{an}为递增数列 B．数列{an}为递减数列
C．S13>0 D．S14>0
11．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A．若{an}是等方差数列，则{an}一定是等差数列
B．若{an}是等方差数列，则{an}可能是等差数列
C．{(－1)n}是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，则{a2n}也是等方差数列
12．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF＝；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN＝；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1＝AB，第2个正方形EFGH的边长为a2＝EF，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1，第2个直角三角形EQM的面积为S2，…)，则( )
A.数列{an}是公比为的等比数列
B．S1＝
C．数列{Sn}是公比为的等比数列
D．数列{Sn}的前n项和Tn<
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知数列{an}的递推公式an＋1＝，且首项a1＝1，则a4＝________.
14．数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋3n＋1，则该数列的通项公式an＝____________．
15．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则＝________．
16．已知数列{an}的通项公式为an＝13－2n，记数列{|an|}的前n项和为Tn，则T10＝________，的最小值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn.
18．(12分)已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a8＝4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
19．(12分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝2，a2＝b2，b1＋b3＝a5.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)若{an}的前n项和为Sn，cn＝＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
20．(12分)记数列{an}的前n项积为Tn，且＋＝1.
(1)证明：数列{Tn＋1}是等比数列；
(2)求数列{nTn}的前n项和Sn.
21.(12分)已知正项等差数列{an}满足a2＝3，且a2，a3＋1，a5＋3成等比数列．
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)保持{an}中各项的先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入k个2k构成新数列{bn}，求数列{bn}的前24项和T24.
22．(12分)在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6 000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%.
(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？
(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(参考数据：1.084≈1.4，1.085≈1.5，1.0810≈2.2，1.0811≈2.3)课时作业(一) 数列的概念
练 基 础
1.下列四个选项中，不正确的是( )
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是an＝
D．数列，，…，是递减数列
2．数列，，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…是无穷数列
D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11能构成数列
4．写出下列数列{an}的前5项：
(1)an＝2n＋3；
(2)an＝3；
(3)an＝；
(4)an＝
提 能 力
5.已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为( )
A．9 802 B．9 991
C．10 001 D．10 202
6．数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可以是下面的( )
A．an＝－ B．an＝n2－3n
C．an＝2－n D．an＝n
7．(多选)数列{an}的通项公式为an＝则( )
A．a3＝7 B．a3＝10
C．a2a3＝20 D．a2a3＝70
8．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，，，；
(2)，，，；
(3)11，101，1 001，10 001；
(4)，－，，－.
9．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋5.
(1)写出这个数列的前5项，并作出它的图象；
(2)这个数列中有没有最小的项？
10．已知数列{an}的通项公式an＝.
(1)写出该数列的前5项；
(2)判断并证明该数列的单调性．
培 优 生
11.数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n＝1，2，…).若{an}为递增数列，则λ的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．
C．(－∞，1] D．
12．已知函数f(x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)，其中n∈N＋.
(1)求a2的值；
(2)求证：1≤an<2；
(3)判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由．课时作业(十九) 函数的极值
练 基 础
1.下列函数中，存在极值的函数为( )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝x2－2x
2．[2022·山东安丘高二期中]已知函数f(x)的导函数是f′(x)，f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)在(－2，－1)上单调递减
B．函数f(x)在(0，2)上单调递增
C．函数f(x)在x＝3处取得极小值
D．函数f(x)共有1个极大值点
3．[2022·山东枣庄高二期中]已知函数f(x)＝sin x＋ax在x＝处取得极值，则a＝________________________________________________________________________.
4．[2022·广东东莞高二期中]已知函数f(x)＝3x2－9x＋5.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数f(x)的极值．
提 能 力
5.[2022·广东广州高二期末]函数f(x)的导函数为y＝f′(x)，函数g(x)＝(x－2)f′(x)的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．x＝2是y＝f(x)的零点
B．x＝2是y＝f(x)的极大值点
C．x＝1是y＝f(x)的极大值点
D．x＝－2是y＝f(x)的极大值点
6．[2022·湖北襄阳高二期末]若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极大值点，则实数c的取值范围为( )
A．[，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
7．[2022·福建宁德高二期中]若函数f(x)＝x3－3x2－9x在(a，＋∞)内有极大值，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，3)
C．(－1，3) D．(－∞，3]
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
10．[2022·福建宁德高二期末]已知函数f(x)＝x3－ax2.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若x＝1是函数f(x)的极大值点，求a的取值范围．
培 优 生
11.[2022·江苏镇江高二期末]若函数f(x)＝ex－x2－ax有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(e，＋∞)
12．[2022·北京昌平高二期末]已知函数f(x)＝(a∈R).
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间和极值．课时作业(二十一) 函数极值与最值的综合应用
练 基 础
1.[2022·山东滨州高二期末]已知函数f(x)＝2x3－6x2＋7.
(1)求函数f(x)在区间[－2，3]上的最大值和最小值；
(2)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的个数．
2．[2022·福建漳州三中高二期末]已知函数f(x)＝x ln x－ax＋a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的极值；
(2)若x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围．
提 能 力
3.[2022·山东德州高二期末]高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1 200人；当2≤t<10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．记发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t).
(1)求P(t)的表达式；
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)＝P(t)－40t2＋660t－2 048元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？最大为多少？
培 优 生
4.[2022·河北唐山高二期中]已知函数f(x)＝ax－2ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．课时作业(十八) 函数的单调性
练 基 础
1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
2．[2022·福建宁德高二期末]函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，2) D．(0，1)
3．(多选)[2022·山东菏泽高二期中]若函数f(x)的导函数在定义域内单调递增，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2＋sin x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝1＋cos x D．f(x)＝x2＋ln x
4．求函数f(x)＝x3＋x2－x的单调区间．
提 能 力
5.在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d及其导函数的图象，下列可能正确的序号是( )
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
6．[2022·山东菏泽高二期中]若函数y＝x＋a ln x在区间内单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．[－2，＋∞) D．[－1，＋∞)
7．[2022·山东日照高二期末]设函数f(x)＝x3－27ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是____________．
8．求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
9．[2022·河北石家庄高二期末]设函数f(x)＝x3－3ax2＋b.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)讨论函数y＝f(x)的单调性．
10．[2022·河北唐山高二期中]已知函数f(x)＝ex－ax－1，a∈R.
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
培 优 生
11.若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间(，2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－，＋∞)
C．(－2，－) D．(－2，＋∞)
12．[2022·湖北武汉高二期末]已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝－3.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当b＝1－a，且0≤a≤时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间．本册过关检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n.则12是该数列的第( )
A．2项 B．3项 C．4项 D．5项
2．中国跳水队是中国体育奥运冠军团队．自1984年以来，中国跳水队已经累计为我国赢得了40枚奥运金牌．在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)＝10－5t2＋5t，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为( )
A．10米/秒 B．－10米/秒 C．5米/秒 D．－5米/秒
3．等差数列{an}中，已知a3＋a7＝6，则S9＝( )
A．36 B．27 C．18 D．9
4．设单调递增的等比数列{an}满足＋＝，a1a5＝36，则公比q＝( )
A． B． C．2 D．
5．已知函数f(x)＝sin x－mx为增函数，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．[－1，1] C．(－1，1) D．[1，＋∞)
6.
在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁．如图，已知矩形的宽为b，高为h，且梁的抗弯强度W＝bh2，则当梁的抗弯强度W最大时，矩形的宽b的值为( )
A．d B．d C．d D．d
7．十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的区间段(，)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0，]，[，1]分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：……；如此这样．每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为( )
(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
A．4 B．5 C．6 D．7
8．过点(0，b)作曲线y＝ex的切线有且只有两条，则b的取值范围为( )
A．(0，1) B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．(0，1]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S9＝S10A．d＜0 B．a10＝0 C．S18＜0 D．S8＜S9
10．已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的为( )
A.曲线m是f(x)的图象，曲线n是f′(x)的图象
B．曲线m是f′(x)的图象，曲线n是f(x)的图象
C．不等式组的解集为(0，1)
D．不等式组的解集为(1，)
11．已知函数f(x)＝，e为自然对数的底数，则( )
A．f(2)
12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为an万元．(取lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)，则下列叙述正确的是( )
A．a1＝2 200
B．数列{an}的递推关系是an＋1＝an×(1＋20%)
C．数列{an－1 000}为等比数列
D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．设数列{an}为等差数列，若a2＋a5＋a8＝15，则a5＝________．
14．在等比数列{an}中，a3＝2，则前5项之积为____________．
15．已知函数f(x)＝ex－a(x＋3)，若f(x)有两个零点，则a的范围是________________．
16．已知函数f(x)＝ex(x－1)，则f(x)的极小值为____________；若函数g(x)＝mx－，对于任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数m的取值范围是____________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知等差数列{an}满足a3＝2，前4项和S4＝7.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b4＝a15，求数列{bn}的通项公式．
18．(12分) 记正项数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，____________．
从①Sn＝；②＝；③a－a＝an＋1＋an这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项的和Tn，求证：Tn<1.
19．(12分)已知函数f(x)＝－x3＋x2＋3x＋1.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求f(x)在区间[0，6]上的最值．
20．(12分)已知数列{an}的通项公式为：an＋1＝，其中a1＝.记Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求a2021，S2022；
(2)数列{bn}的通项公式为bn＝S3n·2n－1，求{bn}的前n项和Tn.
21．(12分)已知函数f(x)＝x sin x.
(1)判断函数f(x)在区间上的单调性，并说明理由；
(2)求证：函数f(x)在上有且只有一个极值点．
22．(12分)已知函数f(x)＝x－x ln x－1.
(1)证明：f(x)≤0；
(2)若ex≥ax＋1，求a.章末过关检测(二) 一元函数的导数及其应用
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝x2－3x，则f′(1)＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递减区间为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能为( )
4．已知曲线f(x)＝(x＋a)ex在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，则实数a的值为( )
A．－2e B．2e C．－ D．
5．已知y＝x－1与曲线y＝ln (x－a)相切，则a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．已知a为函数f(x)＝x3－4x2－3x－5的极大值点，则a＝( )
A．3 B．－ C．－23 D．－
7．若a＝，b＝，c＝，则( )
A．b>a>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
8．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)<0，则( )
A．2f(3)>3f(2) B．2f(3)<3f(2) C．3f(3)>2f(2) D．3f(3)<2f(2)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列求导运算正确的是( )
A．若f(x)＝sin (2x－1)，则f′(x)＝2cos (2x－1)
B．若f(x)＝e－0.05x＋1，则f′(x)＝e－0.05x＋1
C．若f(x)＝，则f′(x)＝
D．若f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1
10．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A.函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极小值
D．函数f(x)只有一个极值点
11．设b为实数，直线y＝3x＋b能作为曲线f(x)的切线，则曲线f(x)的方程可以为( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2＋4ln x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝ex
12．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则( )
A．当a＝1时，f(x)的极小值为f(0)
B．当a＝－1时，函数f(x)有一个极值点
C．当a≤0时，零点个数为1个
D．当a>0时，零点个数为2个
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．若函数f(x)满足f(x)＝4ln x－xf′(2)，则f′(2)＝____________．
14．曲线f(x)＝x2cos x在x＝处的切线斜率为____________．
15．同时满足性质：①f(x)－f(－x)＝0；②f(xy)＝f(x)f(y)；③当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0的函数f(x)的一个解析式为____________．
16．已知函数f(x)＝ex2－aex有三个零点，则实数a的取值范围是____________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝－x3＋x2.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
18．(12分)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－1处取得极小值．
(1)求c的值；
(2)求f(x)在区间[－4，0]上的最值．
19．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋4x2的图象经过点A(1，5).
(1)求曲线y＝f(x)在点A处的切线方程；
(2)曲线y＝f(x)是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－ax＋1(a∈R)，在x＝0处切线的斜率为－2.
(1)求a的值及f(x)的极小值；
(2)讨论方程f(x)＝m(m∈R)的实数解的个数．
21．(12分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋1.
(1)求a，b；
(2)证明：f′(x)≥1－e－1.
22．(12分)现有一批货物从上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成. 轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y元表示为速度x(海里/小时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？课时作业(十三) 变化率问题
练 基 础
1.某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－x2＋3(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝2到x＝3的平均速度为( )
A．－5 B．5
C．－6 D．6
2．[2022·河北唐山高二期中]函数f(x)＝x2＋2C(C∈R)在区间[－1，2]上的平均变化率为( )
A．1 B．3
C．4 D．2
3．[2022·广东珠海高二期末]若函数f(x)＝x2在区间[1，t]上的平均变化率为3，则t＝________．
4．已知一物体的运动方程为s(t)＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．
提 能 力
5.[2022·北京大兴高二期中]一个小球从5 m的高处下落，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y＝－4.9t2，则t＝1 s时小球的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A．－4.9 B．－9.8
C．4.9 D．9.8
6．(多选)物体自由落体的运动方程为s(t)＝4.9t2(单位：m)，当Δt→0时，→9.8 m/s，则下列说法错误的是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度
B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的速度
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速度
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的平均速度
7．物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是________．
8．如图，直线l为经过曲线上点P和Q的割线．
(1)若P(1，2)，Q(5，7)，求l的斜率；
(2)当点Q沿曲线向点P靠近时，l的斜率变大还是变小？
9．求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程．
10．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
培 优 生
11.(多选)若当Δx→0，满足→－1，则下列结论正确的是( )
A．→－4
B．→－2
C．曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为－1
D．曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为－2
12．若一物体运动方程如下(位移单位：m，时间单位：s)
s＝f(t)＝求：
(1)物体在t∈内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．课时作业(一) 数列的概念
1．解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n∈N* ，故数列的图象是一群孤立的点，A正确；
数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误；
观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是an＝，C正确；
数列，，…，的每项越来越小，故数列是递减数列，D正确，故选B.
答案：B
2．解析：因为a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，…，
所以an＝.
故选B.
答案：B
3．解析：根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确．
同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误．
由无穷数列的概念可知C正确．
当a，b都代表数时，能构成数列；当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．
故选AC.
答案：AC
4．解析：(1)由an＝2n＋3，可得a1＝5，a2＝7，a3＝9，a4＝11，a5＝13.
(2)由an＝3，可得a1＝3，a2＝3，a3＝3，a4＝3，a5＝3.
(3)由an＝，可得a1＝，a2＝1，a3＝，a4＝5，a5＝.
(4)由an＝，可得a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝7，a5＝1.
5．解析：因为2，5，10，17，26，…的一个通项公式为an＝n2＋1，
所以第100个数为1002＋1＝10 001，故选C.
答案：C
6．解析：对于A，因为y＝－为单调递增函数，所以an＝－为递增数列，A正确；
对于B，因为a1＝－2＝a2，所以不是递增数列，B错误；
对于C，因为y＝2－x为递减函数，所以an＝2－n为递减数列，C错误；
对于D，an＝n为摆动数列，D错误．
故选A.
答案：A
7．解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.故选BC.
答案：BC
8．解析：(1)由题意，分子是从1开始的奇数，分母是项的平方，an＝；
(2)由题意，分子是从2开始的偶数，分母是分子加1、减1所得两数之积，an＝；
(3)由题意，各项减1后是10的幂，an＝10n＋1；
(4)由题意，＝，奇数项为正，偶数项为负，分子是项数乘以2，分母是3的幂，an＝(－1)n＋1·
9题图
9．解析：(1)a1＝1－8＋5＝－2，a2＝4－16＋5＝－7，a3＝9－24＋5＝－10，a4＝16－32＋5＝－11，a5＝25－40＋5＝－10，图象如图：
(2)an＝n2－8n＋5＝(n－4)2－11，当n＝4时，an取得最小值，a4＝－11为最小项．
10．解析：(1)因为an＝，所以a1＝＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，所以前5项分别是1，，，，.
(2)数列{an}是单调递减数列．
因为an＋1－an＝－＝<0，所以an＋111．解析：因为数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n＝1，2，…)，且{an}为递增数列，
所以an所以n2－2λn<(n＋1)2－2λ(n＋1)对于 n∈N*都成立，
即n2－2λn所以2λ<2n＋1对于 n∈N*都成立，
所以λ所以λ<1＋＝，
即λ的取值范围是，故选D.
答案：D
12．解析：(1)由题得an＝＝2－，所以a2＝2－＝.
(2)证明：由题意得an＝2－，因为n为正整数，所以n≥1，0<≤1，∴1≤2－<2，所以1≤an<2.
(3)由题得{an}是递增数列，
证明：an＝＝2－，an＋1－an＝－＝>0，所以{an}是递增数列．
课时作业(二) 数列的递推公式
1．解析：由an＝n2＋1＝122得n＝11(－11舍去).
故选C.
答案：C
2．解析：因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝，所以a3＝＝－，
所以a4＝＝－3.
故选C.
答案：C
3．解析：由Sn＝n2＋1得，a1＝2，Sn－1＝(n－1)2＋1，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
所以an＝，故a8＝2×8－1＝15.
故选A.
答案：A
4．解析：(1)因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，
所以a2＝4，a3＝8，a4＝13.
(2)b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，
b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，
b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，
b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220.
5．解析：因为an＋1＝1－，a7＝2，
所以a7＝1－，则a6＝－1＝1－，
则a5＝＝1－，
则a4＝2＝1－，
则a3＝－1＝1－，
则a2＝＝1－，
所以a1＝2.
故选D.
答案：D
6．解析：对该数列进行重新分组：
p1∶1
p2∶，
p3∶，，
p4∶，，，，
…
pn∶，，…，，
则出现在p11∶，，，，，…，
其项数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋5＝60，
故选C.
答案：C
7．解析：当n＝1时，a1＝S1＝－8；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10，
当n＝1时，a1＝－8满足上式，∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得故选AC.
答案：AC
8．解析：(1)由题可知a1＝1－p＋q＝0，a2＝4－2p＋q＝－4，解之得p＝7，q＝6.
可得an＝n2－7n＋6，所以a5＝－4.
(2)设数列{an}的第n项为66，则an＝n2－7n＋6＝66，即n2－7n－60＝0，
解之得n＝12或－5(舍去)，所以66是数列{an}的第12项．
(3)因为an＝n2－7n＋6＝(n－)2－，当n＝3或4时，an最小．
此时a3＝a4＝－6，故当n＝3或4时，an有最小值－6.
9．解析：(1)a1＝S1＝1－6＋1＝－4；
a1＋a2＝S2＝22－6×2＋1＝－7，∴a2＝－3；
a1＋a2＋a3＝S3＝32－6×3＋1＝－8，∴a3＝－1；
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n＋1－[(n－1)2－6(n－1)＋1]＝n2－6n＋1－(n2－2n＋1－6n＋6＋1)＝2n－7，
当n＝1时，a1＝－4，不满足上式，
∴an＝
10．解析：当n≥2时，由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，
得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，
两式相减得3n－1an＝－＝，则an＝.
当n＝1时，a1＝，满足an＝，
所以an＝.
11．解析：因为a1＝1，Sn＝，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，
从而＝＝…＝＝＝1，所以an＝n.适合n＝1.
所以an＝n.
故a2020＝2020.
故选C.
答案：C
12．解析：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8，
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去).
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4，5，32.
课时作业(三) 等差数列的概念和通项公式
1．解析：因为an＋1－an＝1，
所以数列{an}是等差数列，公差为1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×1＝n＋1.
故选B.
答案：B
2．解析：记等差数列为{an}，则a1＝5，a2＝9，
所以公差d＝a2－a1＝9－5＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1，
所以a5＝4×5＋1＝21.
故选D.
答案：D
3．解析：由等差中项的定义可得a＝＝4.
答案：4
4．解析：(1)因为a1＝23，d＝－2，所以a8＝a1＋7d＝23－14＝9.
(2)an＝a1＋(n－1)d＝23＋(n－1)×(－2)＝－2n＋25，
由an＝－2n＋25>0可得n<12.5，所以数列{an}中正数项的个数为12.
5．解析：由题意知：设公差为d，则，解得，
则an＝1＋2(n－1)＝2n－1，则a50＝2×50－1＝99.
故选A.
答案：A
6．解析：设{an}的首项为a1，根据题意得
，
两式相减得d＝－2.
故选C.
答案：C
7．解析：因点P(an，an＋1)在直线y＝x＋上，
所以an＋1－an＝，
所以数列{an}是以为公差，1为首项的等差数列，
所以a9＝1＋8×＝5，
故选D.
答案：D
8．解析：若选择①，a1＝a2－d＝13，
数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×(－3)＝16－3n，
即an＝16－3n；
若选择②，，解得：a1＝13，d＝－3，
数列{an}的通项公式an＝16－3n；
若选择条件③
，解得：a1＝13，d＝－3，
数列{an} 的通项公式an＝16－3n.
9．解析：(1)由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由a2＋a5＝24，a17＝66，即解得
所以，数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2.
所以a2022＝4×2022－2＝8086.
(2)令an＝4n－2＝2022，解得n＝506，所以，2022是数列{an}中的第506项．
10．解析：(1)由题可得＝＋3，－＝3，
∴是以3为首项，3为公差的等差数列；
(2)由(1)得，＝3＋3(n－1)＝3n，
∴an＝；
(3)令an＝＝，解得n＝674，674∈N*，故是数列{an}中的项﹒
11．解析：∵数列{an}，{bn}均为公差大于零的等差数列，
∴可设an＝p1n＋q1，(p1>0)，bn＝p2n＋q2(p2>0)，其中p1，q1，p2，q2为常数，
∴an＋bn＝(p1＋p2)n＋q1＋q2，
∴an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝p1＋p2>0，
∴数列{an＋bn}是等差数列，且为递增数列，故AC正确；
设an＝n－2，bn＝n－3，则a1b1＝2，a2b2＝0，a3b3＝0，数列{anbn}不是递增数列，故B错误；
设an＝p1n＋q1，(p1>0)，bn＝p2n＋q2(p2>0)，其中p1，q1，p2，q2为常数，
则anbn＝(p1n＋q1)(p2n＋q2)＝p1p2n2＋(p1q2＋p2q1)n＋q1q2，
∴an＋1bn＋1－anbn＝p1p2(n＋1)2＋(p1q2＋p2q1)(n＋1)＋q1q2－[p1p2n2＋(p1q2＋p2q1)n＋q1q2]
＝p1p2(2n＋1)＋p1q2＋p2q1，
由题可知p1p2>0，故an＋1bn＋1－anbn＝p1p2(2n＋1)＋p1q2＋p2q1不可能为常数，
故数列{anbn}不可能是等差数列，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
12．解析：(1)证明：∵λSn＝anan＋1，
∴λSn＋1＝an＋1an＋2，
∴λ(Sn＋1－Sn)＝λan＋1＝an＋1(an＋2－an)，又an≠0，
∴an＋2－an＝λ，
∴(an＋3－an＋1)－(an＋2－an)＝0，
∴数列{an＋2－an}为等差数列；
(2)∵a1＝1，λSn＝anan＋1，
∴a2＝λ，又an＋2－an＝λ，
∴a3＝1＋λ，
若{an}是等差数列，则a1＋a3＝2a2，即1＋1＋λ＝2λ，
解得λ＝2，
当λ＝2时，由an＋2－an＝λ＝2，
∴数列{an}的奇数项构成的数列为首项为1，公差为2的等差数列，
∴a2m－1＝2m－1，即an＝n，n为奇数，
∴数列{an}的偶数项构成的数列为首项为2，公差为2的等差数列，
∴a2m＝2m，即an＝n，n为偶数，
综上可得，当λ＝2时，an＝n，an＋1－an＝1，
故存在当λ＝2时，使数列{an}是等差数列．
课时作业(四) 等差数列的性质
1．解析：等差数列{an}中，因a4＋a6＝6，a8＝4，而a2＋a8＝a4＋a6，于是得a2＋4＝6，解得a2＝2.
故选B.
答案：B
2．解析：因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，
所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，是公差为2d的等差数列．
故选C.
答案：C
3．解析：由题意可知：每月还本金为2 000元，
设张华第n个月的还款金额为an元，
则an＝2 000＋[480 000－(n－1)×2 000]×0.4%＝3 928－8n，
故选D.
答案：D
4．解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有解得
所以所求三个数分别为1，3，5或5，3，1.
5．解析：因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3.
故选C.
答案：C
6．解析：设冬至的日影子长为a1，则冬至、大寒、雨水的日影子长的和为a1＋a3＋a5＝40.5，根据等差数列的性质可知3a3＝40.5 a3＝13.5，芒种的日影子长为a12＝4.5，
，解得：a1＝15.5，d＝－1，
所以冬至的日影子长为15.5尺．
故选D.
答案：D
7．解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.
答案：2 ℃ －11 ℃ －37 ℃
8．解析：∵{an}是等差数列，且a2＋a3＋a4＝18, ∴3a3＝18，a3＝6.
∵∴
解得或
当时，a1＝16，d＝－5.∴an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)(－5)＝－5n＋21，
当时，a1＝－4，d＝5.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)5＝5n－9.
综上：an＝－5n＋21或an＝5n－9.
9．解析：(1)1740，1823，1906，1989，…，构成等差数列
首项a1＝1740，公差d＝83，
通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1740＋83(n－1)＝83n＋1657，
故a8＝83×8＋1657＝2321，即彗星第8次出现是在2321年．
(2)由83n＋1657＝2500，解得n＝ N，
故这颗彗星不会在2500年出现．
10．解析：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(d>0)，则
所以解得
此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
11．解析：现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，
各项与前一项之差：a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，a6－a5，…
即2，3，6，11，18，…，
3－2，6－3，11－6，18－11，…
即1，3，5，7，…是等差数列，
所以a7＝41＋(18＋9)＝68，a8＝68＋(18＋9＋11)＝106.
故选C.
答案：C
12．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，根据等差中项的性质可得a2与a8的等差中项为a5，
所以a5＝8，又因为a3a7＝28，即(a5－2d)(a5＋2d)＝28.
所以d2＝9，d＝±3，因为公差为正数，所以d＝3.
则a5＝a1＋4d＝8，则a1＝－4.
∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－4＋3(n－1)＝3n－7(n∈N*).
(2)结合(1)可知b1＝a3＝2，b2＝a6＝11，b3＝a9＝20，…，bn＝a3n＝9n－7(n∈N*).
令938＝9n－7，即n＝105∈N*，符合题意，即b105＝938.
所以938是数列{bn}中的项．
课时作业(五) 等差数列的前n项和
1．解析：设公差为d，则d＝3－1＝2，则S10＝10×1＋×2＝100.
故选A.
答案：A
2．解析：设等差数列的首项为a1，由题意得，，解得，
所以an＝3＋(n－1)×4＝4n－1，
所以a5＝19，Sn＝2n2＋n，
故选ACD.
答案：ACD
3．解析：根据等差数列前n项和的性质可得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，即2×(12－3)＝3＋S9－12，
所以S9＝27.
答案：27
4．解析：(1)∵a1＝7，a10＝－43，
∴S10＝＝＝－180；
(2)∵a1＝100，d＝－2，
∴S50＝50a1＋d＝50×100＋×(－2)＝2 550.
5．解析：由S5＝5a3＝15，解得a3＝3，设等差数列{an}的公差为d，
则a6＋3a2＝a1＋5d＋3a1＋3d＝4a3＝12.
故选C.
答案：C
6．解析：设等差数列的公差为d，则由S5＝35，a10＝0，得
，解得，
因为Sn＝S5，
所以9n－＝35，即n2－19n＋70＝0，解得n＝14或n＝5(舍去)，
故选B.
答案：B
7．解析：设等差数列公差为d，
∵S12＝3(a3＋2a5＋ak)，
∴12a1＋·d＝3[a1＋2d＋2(a1＋4d)＋a1＋(k－1)d]，
即4a1＋22d＝4a1＋(k＋9)d，
即k＋9＝22，
∴k＝13.
答案：13
8．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意可得，解得.
故an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
(2)由等差数列的前n项和公式可得Sn＝＝n2＋2n.
因为Sm＝99，所以m2＋2m＝99，即(m－9)(m＋11)＝0，
解得m＝9(m＝－11舍去).
9．解析：设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)项，偶数项有n项，中间项是第(n＋1)项，即an＋1，
∴＝＝＝＝＝.∴n＝3.
∵S奇＝(n＋1)an＋1＝44，
∴an＋1＝11.
∴这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项).
10．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
由，得：，
解得：，
∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.
(2)由(1)得：Sn＝＝n2－10n，
若Sn即n2－12n＋11＝(n－11)(n－1)<0，
解得：1∴Sn11．解析：根据题意，记第n个图形的点数为an，
由题意知a1＝1，a2－a1＝4＝1＋3×1，a3－a2＝1＋3×2，a4－a3＝1＋3×3，…，an－an－1＝1＋3(n－1)，
累加得an－a1＝4＋7＋…＋[1＋3(n－1)]＝，即an＝(3n－1)，
所以a6＝51，
又＝，
所以a1＋＋＋…＋＝(2＋5＋8＋…＋59)＝××20＝305.
答案：51 305
12．解析：(1)因为an和an＋1恰是方程x2＋nx＋bn＝0的两个根，
所以，
所以an＋2＋an＋1－(an＋1＋an)＝－(n＋1)－(－n)＝－1，
所以an＋2－an＝－1，
所以a1，a3，a5，a7，…构成以a1＝10为首项，－1为公差的等差数列，
所以a21＝a1＋10×(－1)＝10－10＝0，
所以b20＝a20a21＝0.
(2)因为a1＋a2＝－1，a1＝10，
所以a2＝－1－10＝－11，
因为an＋2－an＝－1，
所以数列a2，a4，a6，a8，…，a2n，…是以a2＝－11为首项，－1为公差的等差数列，
所以a2n＝－11－(n－1)＝－n－10，
所以Sn＝na2－＝，
所以S20＝＝－410.
课时作业(六) 等差数列的前n项和公式
1．解析：若第一排座位数为a1，则a20＝a1＋19×2＝a1＋38，
所以＝680，可得a1＝15.
故选A.
答案：A
2．解析：由an＝
得an＝2n－10.
由5<2k－10<8得，7.5∴k＝8.
故选B.
答案：B
3．解析：数列{an}是等差数列，且a1＋5a3＝S8，得a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，得a1＝－9d，则有a10＝0，又因为a1>0，公差d<0，所以n＝9或10时，Sn取得最大值．
答案：9或10
4．解析：(1)设数列{an}的公差为d，
∵a1＝－7，S3＝－15，
∴S3＝3×(－7)＋·d，
解得d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.
(2)由(1)知d＝2，
∴Sn＝na1＋d，
＝－7n＋×2，
＝(n－4)2－16，
∴当n＝4时，Sn取得最小值－16.
5．解析：因为等差数列{an}的公差d<0，a5a7＝35，a4＋a8＝a5＋a7＝12，
所以a5＝7，a7＝5，则 d＝－1，
所以 an＝a7＋(n－7)d＝－n＋12，
由 ，得 11所以n＝11或12时，该数列的前n项和Sn取得最大值，
最大值为S11＝S12＝＝＝66，
故选A.
答案：A
6．解析：由S7＝S11得，a8＋a9＋a10＋a11＝4a1＋34d＝0，∴a1＝－d，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝·d，Sn＝＝·d，
∵d<0，∴a10＝d<0，A错；
Sn对称轴为n＝9，开口向下，所以n＝9时，Sn最大，B对；
S17＝－d>0，S19＝d<0，C对，D错，
故选BC.
答案：BC
7．解析：因为{an}为等差数列，且a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
对于A：由性质可得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝5a13＝0，解得a13＝0，故A正确；
对于B：|a15|＝|a13＋2d|＝|2d|，|a10|＝|a13－3d|＝|3d|≠|a15|，故B错误；
对于C：S25＝＝25a13＝0，故C正确；
对于D：因为a13＝0，且公差d<0，
所以Sn的最大值为S12或S13，故D正确．
答案：ACD
8．解析：(1)由a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋2n(n＋1)可得：－＝2 ，
故由bn＝可知，bn＋1－bn＝2，
故数列{bn}为等差数列．
(2)由(1)知，数列{bn}为首项b1＝＝1 ，公差为2的等差数列，
故bn＝1＋2(n－1)＝2n－1 ，即＝2n－1，an＝2n2－n，
由于an是数列{cn}的前n项和，故c1＝a1＝1，
当n≥2 时，cn＝an－an－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3 ，
c1＝1 适合上式，
故cn＝4n－3.
9．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
由得：，
解得：，
∴an＝－＋(n－1)＝.
(2)由(1)得：Sn＝－n＋×＝；
由Sn>an得：>，化简得：n2－4n＋3>0；
解得：n<1或n>3，又n∈N*，∴n的最小值为4.
10．解析：(1)依题意，剧场座位数从第一排起的各排座位数依次排成一列得等差数列{an}(n≤40，n∈N*)，首项a1＝20，公差d＝2，
数列{an}前n项和Sn，则S40＝40a1＋d＝40×20＋40×39＝2 360，
所以该剧场的座位数为2 360.
(2)由(1)知，S10＝10a1＋d＝10×20＋10×9＝290，S30＝30a1＋d＝30×20＋30×29＝1 470，
剧场满座时，每场演出的总收入W＝200S10＋150(S30－S10)＋100(S40－S30)
＝200×290＋150(1 470－290)＋100(2 360－1 470)
＝324 000(元)，
所以剧场满座时，每场演出的总收入为324 000元．
11．解析：设成为等差数列的其中10层的塔数为：a1，a2，…，a10，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为a10；
故＝108－8＝100，a1＋a10＝20①；
又由a10－a1＝9d②，d>0，且d∈N*，所以，
①＋②得，2a10＝20＋9d，得a10＝10＋d，
又因为a10∈N*，
则当且仅当d＝2时，a10满足条件，所以，a10＝19；
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；满足题意．
答案：C
12．解析：a1＝S1＝－×12＋×1＝101，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104.
∵n＝1也符合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*).
由an＝－3n＋104≥0，得n≤34，
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n；
当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn＝2(－×342＋×34)－(－n2＋n)＝n2－n＋3 502，
故Tn＝
课时作业(七) 等比数列的概念和通项公式
1．解析：因为a1＝1，a4＝8，
所以a1q3＝8，
所以q3＝8，
解得q＝2.
故选C.
答案：C
2．解析：由等比数列的性质知：a2a6＝a＝9，
因为{an}为正项等比数列，所以a4＝3.
故选C.
答案：C
3．解析：设等比数列的公式为q，
则a9＝a1q8，即＝27q8，
解得q＝±，
又a2a3＝aq3<0，所以q<0，
所以q＝－.
答案：－
4．解析：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝，
解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，
∴an＝18×()n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n，n∈N*；
当q＝3时，an＝2×3n－3，n∈N*.
5．解析：设等比数列的公比为q(q>0)，
∵2a3，a5，a4成等差数列，
∴a5＝2a3＋a4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
∴＝＝＝q2＝4，
故选A.
答案：A
6．解析：设数列{an}的公比为q，
由a1a2a3＝aq3＝4，a4a5a6＝aq12＝12，
可得q9＝3，
又由a1a2a3＝a＝4，a4a5a6＝a＝12，所以AC错误；
因为an＋1an＋2an＋3＝a＝(a2qn)3＝a(qn)3＝4q3n＝324，
可得q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，
所以3n＝36，解得n＝12，所以BD正确．
答案：BD
7．解析：设公比为q，插入的三个数分别为a2，a3，a4，
因为a1＝1，a5＝9，所以q4＝9，得q2＝3，
所以a2·a3·a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a(q2)3＝33＝27.
答案：27
8．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝－12，a4＋a8＝2a6＝0，
所以，所以， 解得，
所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，即q＝3，
因此bn＝b1·qn－1＝－8×3n－1.
9．解析：设该等比数列的公比为q，
∵
∴
1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
②÷①得q(1－q)＝ q＝，
∴a1＝＝＝96.
设G是a5，a7的等比中项，则应有
G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·()10＝9，
∴a5，a7的等比中项是±3.
10．解析：方法一：设这个等比数列的前4项分别为a，aq，aq2，aq3，
由题意，得即
将②式平方后除以①式，得＝，
整理得4q2－17q＋4＝0，解得q＝4或q＝.
因为等比数列为各项均为正数，且单调递增的等比数列，
所以a>0，q>1，即q＝4，a＝.所以这个等比数列的前4项分别为，1，4，16.
方法二：根据数列{an}是一个各项均为正数的等比数列，
可设这个数列的前4项分别为，，aq，aq3.其中aq>0，公比为q2.
由题意，得解得或
或或又因为数列{an}单调递增，
所以q2>1，即或所以这个等比数列的前4项分别为，1，4，16.
11．解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1>0，q>0，
由已知2a1＝a3－a2，可得q2－q－2＝0，∵q>0，则q＝2，A对；
因为＝4a1，则aman＝a×2m＋n－2＝16a，可得m＋n－2＝4，可得m＋n＝6，C对；
因为m、n∈N*，且m＋n＝6，
当m＝1，n＝5时，＋＝2；当m＝2，n＝4时，＋＝；
当m＝n＝3时，＋＝2；当m＝4，n＝2时，＋＝；
当m＝5，n＝1时，＋＝.
综上所述，＋的最小值为，B对D错．
故选ABC.
答案：ABC
12．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵{an}是递增的等比数列且a3>0，∴q>1；
则a2＋a4＝＋a3q＝＋2q＝，解得：q＝(舍)或q＝3；
∴an＝a3qn－3＝2×3n－3.
(2)由题意知：an＋1＝an＋(n＋2－1)dn，即dn＝＝＝；
假设存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则d＝dmdp，
即＝；
∵m，k，p成等差数列，∴2k＝m＋p，代入上式得：(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，
∴(＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，化简得：m＝p，∴m＝p＝k，不合题意．
综上所述：不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．
课时作业(八) 等比数列的性质
1．解析：因为a，b，c成等比数列且公比为q，所以＝q，b2＝ac，可得＝，＝＝，由等比数列的中项可判断得，，成等比数列，并且公比为.
故选C.
答案：C
2．解析：{an}是等比数列，所以a2a4＝a1a5＝64，a4＝＝16.
故选C.
答案：C
3．解析：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.
答案：25
4．解析：an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).当n≥2时，＝＝2.
当n＝1时，＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
5．解析：设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，
则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，且B2＝A·C，
由条件得A·B·C＝230，
所以B3＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220.
故选B.
答案：B
6．解析：对于A，设数列{an}的公差为d，则＝2an＋1－an＝2d≠0，首项为2a1≠0，
所以{2an}为等比数列，故A正确；
对于B，当an>0恒成立时，设公比为q，有ln an＋1－ln an＝ln ＝ln q，
则{ln an}为等差数列，当an>0不恒成立时，设ak≤0则ln ak无意义，故B不成立；
对于C，若q＝0或an＝0时，{an}不是等比数列，故C不成立；
对于D，设数列{an}的公差为d，由bn＋1－bn＝－＝＋＝4d，
所以{bn}为等差数列，故D正确．
故选AD.
答案：AD
7．解析：由题意，设等比数列公比为q，则a2＋a3＋a4＝q，故q＝3，所以a6＋a7＋a8＝q5＝35＝243.
答案：243
8．解析：设等比数列{an}的公比为q.
根据题意，得
解得或
∴q＝5或q＝5－.
∴an＝3×5或an＝3×5.
9．解析：(1)由题设，3(1－a)＝2(1－a)且an≠±1，即3bn＋1＝2bn且bn≠0，而b1＝1－a＝，
所以＝且b1＝，则{bn}是首项为，公比为的等比数列，得证．
(2)由(1)可得：bn＝·()n－1，故a＝1－·()n－1，则a＝1－·()n，
所以cn＝a－a＝·()n－·()n＝·()n.
则{cn}的通项公式为cn＝·()n.
10．解析：(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，
其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，
n是正整数，则n≥10.
即到2030年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1.
由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.
n是正整数，则n的最小值为6.
∴当2026年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
11．解析：由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，
则当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝3＋1＝4；
当n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；
当n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；
当n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；
当n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.
可以猜测an＋1＝3an＋1，可化为an＋1＋＝3(an＋)，
所以数列为首项为，公比为3的等比数列，
有an＋＝×3n－1，可得an＝，
故当n＝i时，ai＝.
答案：
12．解析：(1)依题意，n∈N*，n≥2，an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋，
所以an＝an－1＋，n≥2.
(2)证明：由(1)知，n∈N*，n≥2，an＝an－1＋，即an－＝(an－1－)，又a1＝，有a1－＝－，
于是得是以－为首项，为公比的等比数列，则an－＝－×()n－1，
所以an＝－×()n－1＋.
(3)由(2)知，an＝－×()n－1＋>，即()n－1<，两边取常用对数得(n－1)lg 则n－1>＝＝＝＝≈4.1，即n>5.1，
所以第6年该地区的绿洲面积可超过60%.
课时作业(九) 等比数列的前n项和
1．解析：由等比数列的求和公式可得＝a1＝，解得a1＝24.
故选D.
答案：D
2．解析：因为S7＝3≠0，所以S7，S14－S7，S21－S14成等比数列，所以S7(S21－S14)＝(S14－S7)2，即3(18－x)＝(x－3)2，整理得x2－3x－45＝0.
故选C.
答案：C
3．解析：因为Sn＝33－n＋k ①，
当n＝1时a1＝S1＝33－1＋k＝9＋k，
当n≥2时Sn－1＝34－n＋k ②，
①－②得an＝Sn－Sn－1＝33－n＋k－(34－n＋k)＝－2·33－n，
因为{an}是等比数列，所以－2·33－1＝9＋k，解得k＝－27.
答案：－27
4．解析：(1)设数列{an}的公比为q，
因为a1＝，a4＝4，所以a1q3＝4，所以q＝2，
所以an＝2n－2.
(2)因为{an}为等比数列且q＝2，
所以{a}为等比数列，首项为a＝且公比为q2＝4，
所以S5＝＝.
5．解析：设等比数列{an}的公比为q，
则，解得，
则S6＝＝126，S3＝＝14，
所以＝＝9.
故选C.
答案：C
6．解析：因为anan＋2＝a，且S3＝13≠0，所以{an}各项均不为0，
所以数列{an}为等比数列，设公比为q，
则，
解得，
所以an＝3n－1，则3n－1<2 022<2 187＝37，解得n－1<7，即n<8，
因为n∈N*，所以n的最大值为7.
故选C.
答案：C
7．解析：单调递增的正项等比数列中，公比为q(q>1)，
由，可得或(舍)，
则数列{an}的通项公式为an＝2n，前n项和Sn＝＝2n＋1－2.
选项A：q＝2.判断正确；
选项B：a8＝28＝256≠512.判断错误；
选项C：2an－1＝2×2n－1＝2n＋1－1≠Sn.判断错误；
选项D：an＋1＝2n＋1>2n＋1－2＝Sn.判断正确．
故选AD.
答案：AD
8．解析：(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a3＝，可得a3＝q2，所以a2＝q，a1＝1，
又由a3＋a5＝20，可得q2＋q4＝20，解得q2＝4，可得q＝2，
所以an＝2n－1，即{an}的通项公式an＝2n－1，n∈N*.
(2)由an＝2n－1，可得bn＝，所以b1＝＝1，
且＝·＝＝＝，
故数列{bn}是以1为首项，为公比的等比数列，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝(1－).
9．解析：(1)因为an＋1＋an＝3·2n，
所以bn＋1＝an＋1－2n＋1＝－an＋3·2n－2n＋1＝－(an－2n)＝－bn.
因为a1＝1，所以b1＝a1－2＝－1，
所以bn＋1＝－bn≠0，
所以＝－1，
所以{bn}是首项和公比均为－1的等比数列．
(2)由(1)易得：bn＝(－1)n，
因为bn＝an－2n＝(－1)n，所以an＝2n＋(－1)n，
所以Sn＝(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n＋2＋22＋…＋2n
＝＋
＝＋2n＋1－.
10．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a2a3＝2a4＝32，所以，
又因为等比数列{an}中a1，q均不为0，所以解得a1＝q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n.
(2)证明：由(1)可得Sn＝＝＝2n＋1－2，
因为n≥2时，2n>3，所以a－Sn－5＝(2n)2－2n＋1－3＝(2n)2－2·2n－3＝(2n＋1)(2n－3)>0，
所以n≥2时，a>Sn＋5.
11．解析：由题意，设等比数列的公比为q，则am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，
若m＋n为偶数时，m＋n－2为偶数，所以qm＋n－2>0，所以am·an＝aqm＋n－2>0，
若m＋n为奇数时，m＋n－2为奇数，若q<0，则qm＋n－2<0，所以am·an＝aqm＋n－2<0，
若q>0，则qm＋n－2>0，所以am·an＝aqm＋n－2>0，若q＝1时，am·an＝a>0，
故此时无法判断am·an正负．故A正确，B错误；
若mn为偶数时，则m、n为两偶或一奇一偶，
当m、n为两偶数时，则m－1为奇数，
若q∈(0，1)∪(1，＋∞)，则qm－1>0，>0，此时am·Sn＝aqm－1·>0，
若q∈(－1，0)，则qm－1<0，>0，此时am·Sn＝aqm－1·<0，
若q∈(－∞，－1)，则qm－1<0，<0，此时am·Sn＝aqm－1·>0，
若q＝1时，am·Sn＝na>0，若q＝－1时，am·Sn＝0，故无法判断am·Sn的正负；
同理，当m、n为一奇一偶时，也无法判断am·Sn的正负；故C错误；
当mn为奇数时，m、n都为奇数，则m－1为偶数，
若q≠－1且q≠0且q≠1时，qm－1>0，>0，所以am·Sn＝aqm－1·>0，
若q＝1时，am·Sn＝na>0，若q＝－1时，am·Sn＝a>0，
所以am·Sn＝aqm－1·>0，故D正确．
故选AD.
答案：AD
12．解析：(1)由题意得，b1＝a2＝2a1＝2，a3＝a2＝3，b2＝a4＝2a3＝6；
当n＝2k－1，k∈N*时，a2k＝2a2k－1 ；
当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1＝a2k，
当k>1时，a2(k－1)＋1＝a2(k－1)，即a2k－1＝a2(k－1)，
则a2k＝2a2k－1＝3a2(k－1)，所以bn＝a2n＝3a2(n－1)＝3bn－1，
所以数列是以b1＝2为首项，3为公比的等比数列，
故bn＝2×3n－1 .
(2)由(1)得，a2k＋1＝×2a2k－1＝3a2k－1，即数列{a2n－1}是以a1＝1为首项，3为公比的等比数列，由(1)知a2n＝3a2(n－1)，故{a2n}是以a2＝2为首项，3为公比的等比数列，
故数列{an}的前100项和为(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)
＝＋＝ .
课时作业(十) 等比数列的前n项和公式
1．解析：设等比数列公比为q，由a2，3a5，9a8成等差数列可得，2×3a1·q4＝a1·q＋9a1·q7，化简得9q6－6q3＋1＝0，解得q3＝，＝＝1＋q3＝.
故选B.
答案：B
2．解析：设这个塔顶层有x盏灯，则问题等价于一个首项为x，公比为2的等比数列的前7项和为381，
所以＝381，解得x＝3，
所以这个塔的最底层有3×27－1＝192盏灯．
故选A.
答案：A
3．解析：由题意，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，
可得＝14且＝126，所以＝1＋q3＝＝9，
解得a1＝2，q＝2，则a5＝2×24＝32，即第5个区域种植32棵．
故选C.
答案：C
4．解析：(1)由题可知解得a1＝1，d＝2，
∴an＝2n－1.
(2)∵bn＝3an＝32n－1，∴＝＝9，
∴{bn}是首项为3，公比为9的等比数列，
∴Tn＝＝(9n－1)﹒
5．解析：∵S3，S9，S6成等差数列，
∴S3＋S6＝2S9，
当q＝1时，上式不成立，故q≠1 ，
则＋＝2·，a1≠0 ，
整理可得，2q9－q6－q3＝0，即2q6－q3－1＝0，
解得，q3＝－，
A：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝a1，2a7＝2a1·q6＝a1，即a1＋a4＝2a7，故A正确；
B：a1a4＝aq3＝－a，a＝a·q12＝a，a1≠0，故a1a4≠a，故B不正确；
C：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝a1，4a7＝4a1·q6＝a1，a1≠0，a1＋a4≠4a7，故C不正确；
D：a1a4＝aq3＝－a，(2a7)2＝4a·q12＝a，a1≠0，a1a4≠(2a7)2，故D不正确，
故选A.
答案：A
6．解析：设该公司在2018年，2019年，……，2028年的广告投入(单位：万元)分别为a1，a2，…，a11，
依题意可得an＋1＝1.5an－2(n＝1，2，…，11)，则an＋1－4＝1.5(an－4)(n＝1，2，…，11)，
所以数列{an－4}是首项为1，公比为1.5的等比数列，则an－4＝1.5n－1，即an＝4＋1.5n－1.
a1＋a2＋…＋a11＝4×11＋(1＋1.5＋…＋1.510)＝44＋
＝42＋3×1.510≈42＋3×57.67＝215.01，
故从2018年到2028年该公司对该产品的广告总投入约为215万元．
故选A.
答案：A
7．解析：将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列前n项和可知an＝2n－1.
选项A：a5＝25－1＝31，A错误．
选项B：又因自下而上每一“层”的正方形的边长也成等比数列，且公比为，所以每“层”正方形边长bn＝()n－1，所以b5＝()5－1＝，B正确．
选项C：a1＋a2＋a3＋…＋a10＝21－1＋22－1＋23－1＋…＋210－1
＝21＋22＋23＋…＋210－10＝2 036，C正确．
选项D：an＝2n－1＝255解得n＝8，每一“层”的面积和cn＝2n－1[()n－1]2＝1，
所以当n＝8时所有正方形的面积之和为8，D正确．
故选BCD.
答案：BCD
8．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵S4＝20，a1，a2，a4成等比数列，
，解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)由(1)得，bn＝2an＝22n＝4n，
∴b1＝4，＝＝4，
∴{bn}是首项为4，公比为4的等比数列，
∴Tn＝＝＝.
9．解析：(1)设公比为q.
因为2a1是a5与－3a3的等差中项，
所以a5－3a3＝4a1，
所以q4－3q2－4＝0，
解得q2＝4，从而q＝±2.
当q＝2时，an＝2n－1；
当q＝－2时，an＝(－2)n－1.
所以{an}的通项公式为an＝2n－1或an＝(－2)n－1.
(2)当a1＝1，q＝2时，Sn＝＝2n－1，
由Sm＝2m－1＝127，得m＝7，
当a1＝1，q＝－2时，Sn＝＝，
由Sm＝＝127，化简得(－2)m－2＝－95，无解．
综上，m＝7.
10．解析：设第n个三角形边长为a，则第n＋1个三角形边长为，
设第n个三角形面积为an，
则an＝a2，an＋1＝·＝a2，
∵＝，a1＝S△ABC＝×202＝100，
所以这些三角形面积成等比数列，且公比q＝，首项a1＝100，
所以前20个正三角形的面积和为：S20＝＝(1－)cm2.
11．解析：S1是边长为的4个正方形的面积之和，故S1＝×4＝；
S2是边长为的42个正方形的面积之和，故S2＝×42＝；
以此类推得：Sn＝×4n＝，
从而S1＋S2＋…＋Sn＝＋＋…＋＝＝(1－)≥，
所以≤，函数f(x)＝关于x单调递减，
且n＝2时，＝>，n＝3时，＝<，故n最小值取3.
答案：3
12．解析：(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，则a1＝400，
a2＝(1＋)a1＝a1，
a3＝(1＋)a2＝a2，
…，
an＋1＝(1＋)an＝an ，
＝，即数列{an}是公比为的等比数列，
∴Sn＝＝＝1 600，
即前n年旅游业总收入为1 600[()n－1].
(2)由(1)知Sn＝1 600[()n－1]，
令Sn>8 000，即1 600[()n－1]>8 000，
∴()n>6，即lg ()n>lg 6，∴n>≈8.02，
∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．
课时作业(十一) 数列求和习题课
1．解析：(1)a1，a2，S3成等比数列，故a＝a1S3 (1＋d)2＝3＋3d，化简得：d2－d－2＝0，因为d>0，所以d＝2，因此an＝2n－1.
(2)bn＝an＋2an＝2n－1＋22n－1，因此Tn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(21＋23＋…＋22n－1)＝＋
＝n2＋－.
2．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，q>0，由2a1a2＝a3，a1＋a2＝3，
于是，解得，
所以，an＝2n－1，n∈N*.
(2)即bn＝log2an＋1＝log22n＝n，n∈N*.
所以，＝＝－，n∈N*.
于是，Sn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝，n∈N*.
3．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d＞1，∵a2＝3，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列，
∴a1＋d＝3，(a3－1)2＝(a1＋1)(a6－3)，即(a1＋2d－1)2＝(a1＋1)(a1＋5d－3)，
解得a1＝1，d＝2.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)证明：＝＝(－)，
∴Sn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)，
∵Sn＋1－Sn＝(－)＞0，
∴数列{Sn}单调递增，
∴S1≤Sn＜，
即≤Sn＜.
4．解析：(1)设f(1)＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝，
则an＝Sn－Sn－1＝－＝n，n≥2，
当n＝1时，a1＝1，S1＝1成立，
所以an＝n(n∈N*).
(2)由(1)知f(x)＝x＋2x2＋…＋nxn，
所以f＝＋2×＋3×＋…＋n×， ①
f＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)＋n×， ②
由①－②得f＝＋＋…＋－n×＝－n×＝1－－，
所以f＝2－－<2.
5．解析：(1)因为Sn＝n2an ①，
所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1 ②，
①－②可得：an＝n2an－(n－1)2an－1，整理可得＝，
则×××…×＝×××…××，
所以＝，所以当n≥2时an＝，
易知n＝1时上式也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)记等差数列{bn}的公差为d，
由题可得nb1＋＝，即dn2＋(2b1－d)n＝n2＋n，
所以，解得所以bn＝n，
所以cn＝(－1)n·2n，
所以Mn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，
当n为奇数时，Mn＝－2＋(4－6)＋(8－10)＋…＋[(－1)n－1·2(n－1)＋(－1)n·2n]＝－2－2×＝－n－1；
当n为偶数时，Mn＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋[(－1)n－1·2(n－1)＋(－1)n·2n]
＝2×＝n.综上Mn＝.
6．解析：(1)由an＋1＝4an－3得：an＋1－1＝4(an－1)，故{an－1}为等比数列，公比是4，首项为3－1＝2，故an－1＝2×4n－1，所以an＝2×4n－1＋1＝22n－1＋1.
(2)证明：bn＝＝，则b1＋b2＋b3＋…＋bn＝Tn＝＋＋＋…＋ ①，
①乘以得：Tn＝＋＋＋…＋ ②，
则①－②得：Tn＝＋＋＋＋…＋－ ③，
记Sn＝＋＋＋＋…＋ ④，
④乘以得：Sn＝＋＋＋＋…＋ ⑤，
④－⑤得：Sn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－，所以Sn＝－×，故Tn＝－×－，所以Tn＝－×－×<，其中<，故b1＋b2＋b3＋…＋bn<.
课时作业(十二) 数学归纳法
1．解析：由题意知，n的最小值为3，
所以第一步验证n＝3是否成立．
故选C.
答案：C
2．解析： 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
答案：C
3．解析：因为已知n为正偶数，
故当n＝k时，下一个偶数为k＋2.
故选B.
答案：B
4．证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，
等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据①和②，可知等式对任意n∈N*都成立．
5．解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．
故选D.
答案：D
6．解析：取n＝1，则＝，＝，>不成立；
取n＝2，则＝，＝，>不成立；
取n＝3，则＝，＝，>成立；
取n＝4，则＝，＝，>成立；
下证：当n≥3时，>成立．
当n＝3，则＝，＝，>成立；
设当n＝k(k≥3)时，有>成立，
则当n＝k＋1时，有＝，
令t＝，则＝＝3－，
因为t>，故>3－＝，
因为－＝>0，所以>＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立，
由数学归纳法可知，>对任意的n≥3都成立．
故选CD.
答案：CD
7．解析：f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋
＝f(2k)＋＋＋…＋，
∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
答案：＋＋…＋
8．证明：①当n＝1时，左边＝2，右边＝×1×2×3＝2，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，
即(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＝k(k＋1)(k＋2)，
那么当n＝k＋1时，
(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k)＋[(k＋1)2＋(k＋1)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)2＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(1＋k＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)
＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2].
故当n＝k＋1时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
9．解析：(1)由a＝an＋1＋3nan－3可得an＋1＝a－3nan＋3，又a1＝4，则a2＝a－3a1＋3＝7，a3＝a－6a2＋3＝10，
则a2＝7，a3＝10，猜想an＝3n＋1.
(2)证明：由(1)得an＋1＝a－3nan＋3，当n≥2时，an＝a－3(n－1)an－1＋3，
①当n＝1时，猜想显然成立；
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时成立，即ak＝3k＋1；
当n＝k＋1时，ak＋1＝a－3kak＋3＝(3k＋1)2－3k(3k＋1)＋3＝3k＋4＝3(k＋1)＋1，猜想成立，
由①②知猜想恒成立，即an＝3n＋1.
10．解析：(1)根据题意可得：2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，
令n＝1，则2b1＝a1＋a2，a＝b1b2，可得a2＝6，b2＝9，
令n＝2，则2b2＝a2＋a3，a＝b2b3，可得a3＝12，b3＝16，
令n＝3，则2b3＝a3＋a4，a＝b3b4，可得a4＝20，b4＝25，
猜想：an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，
当n＝1，a1＝2，b1＝4成立．
假定当n＝k(k≥1)，ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
当n＝k＋1时，2bk＝ak＋ak＋1，即2(k＋1)2＝k(k＋1)＋ak＋1，则ak＋1＝(k＋1)(k＋2)，
a＝bkbk＋1，即[(k＋1)(k＋2)]2＝(k＋1)2bk＋1，则bk＋1＝(k＋2)2成立，
∴an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
(2)＝＝<＝(－)，
＋＋…＋<(1－＋－＋…＋－)＝(1－)<，
即＋＋…＋<.
11．解析：①n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，
k条直线将平面分成块不同的区域．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，
其余k条直线将平面分成块区域，
直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，
每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域为k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．
由①②可知，原命题成立．
答案：(n≥2，n∈N*)
12．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，依题意，，
整理得：，解得d＝1，q＝2，
所以an＝n＋1，bn＝2n.
(2)由(1)知，＝，数列是首项为，公比为的等比数列，则Pn＝＝1－，
＝＝2(－)，
Qn＝2[(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(－)＝1－，则Pn－Qn＝－，
用数学归纳法证明2n>＋1，n∈N*，
①当n＝1时，左边＝2，右边＝，左边>右边，即原不等式成立，
②假设当n＝k，k∈N*时，不等式成立，即2k>＋1，
则2k＋1>2＝＋1＋>＋1，即n＝k＋1时，原不等式成立，
综合①②知， n∈N*，2n>＋1成立，
因此，Pn－Qn＝－>0，即Pn>Qn，
所以Pn>Qn.
课时作业(十三) 变化率问题
1．解析：由题得该质点从x＝2到x＝3的平均速度为＝－5.故选A.
答案：A
2．解析：＝＝1.故选A.
答案：A
3．解析：函数f(x)＝x2在区间[1，t]上的平均变化率为＝t＋1＝3，
所以t＝2.
答案：2
4．解析：依题意，物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量为：
Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt)2＋4Δt，
于是得＝＝4＋Δt，
所以物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为4＋Δt.
5．解析：由题意可知t＝1 s时小球的瞬时速度为
＝ (－9.8－4.9Δt)＝－9.8 m/s.故选B.
答案：B
6．解析：由题意，得9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速度，故C正确，A、B、D错误．
故选ABD.
答案：ABD
7．解析：因为平均速度为＝＝＝v，
瞬时速度为 ＝
＝ ＝ ＝v.
所以平均速度与任何时刻的瞬时速度相等．
答案：相等
8．解析：(1)因为P(1，2)，Q(5，7)，所以kl＝＝.
(2)当Q沿曲线向点P靠近时，直线的倾斜角α(锐角)在变大，又k＝tan α，所以直线l的斜率变大了．
9．解析：因为＝＝3Δx＋8，
所以k＝ (3Δx＋8)＝8，
则切线方程y－3＝8(x－2)，
即8x－y－13＝0.
10．解析：质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均速度为
＝＝＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，即a＝2.
11．解析：由→－1得：→－2，即f′(1)＝－2，
∴曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为－2，C错误；D正确；
＝2×＝2×→－4，A正确；B错误．
故选AD.
答案：AD
12．解析：(1)由已知在t∈时，其时间变化量为Δt＝2，
其位移变化量为Δs＝f(5)－f(3)＝3×25＋2－(3×9＋2)＝48，
故所求平均速度为＝＝24 m/s.
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近位移的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18.
所以物体在t＝0处位移的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度v0＝－18 m/s.
(3)因为物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
故物体在t＝1时的瞬时速度为 ＝ ＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
课时作业(十四) 导数的概念及其几何意义
1．解析：根据题意，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)＝－1，
而 ＝f′(x0)＝－1，故选A.
答案：A
2．解析：因为切线方程为：y＝－2x＋10，故f′(4)＝－2，
且f(4)＝2，故f(4)＋f′(4)＝0.故选A.
答案：A
3．解析：根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A、B、D错误．
故选ABD.
答案：ABD
4．解析：令y＝f(x)，则＝＝＝2x－2＋Δx，
于是得f′(x)＝ ＝ (2x－2＋Δx)＝2x－2，f′(2)＝2×2－2＝2，
所以f′(x)＝2x－2，f′(2)＝2.
5．解析：函数f(x)在(1，f(1))处的切线为l1，在(2，f(2))处的切线为l3，f(2)－f(1)＝为过(1，f(1))，(2，f(2))两点的直线l2的斜率，由图可知，
直线kl1故选A.
答案：A
6．解析：f′(x)＝ ＝9
＝－9 ＝－，
所以f′(3)＝－1.
又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.
故选C.
答案：C
7．解析：y′＝ ＝2x－1，
在点P处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.
因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，
故直线OP的斜率为－，
根据题意有－＝－5，解得c＝4.
答案：4
8．解析：显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为
k＝ ＝
＝ ＝ (Δx＋2) ＝2.
故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
9．解析：y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则y′|x＝x0＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝x＝4，即P(2，4)，经检验，符合题意．
则y′|x＝x1＝2x1＝－，解得x1＝－，
所以y1＝x＝，即Q(－，)，经检验，符合题意．
故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
在点(－，)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．解析：球的体积公式为：V(r)＝πr3，
ΔV＝V(3＋Δr)－V(3)＝π(3＋Δr)3－π×33＝π·(27Δr＋9Δr2＋(Δr)3)，
在r＝3时的瞬时变化率为：
＝ ＝π (27＋9Δr＋(Δr)2)＝36π.
这一瞬时变化率的实际意义为球的表面积．
11．解析：由题设，f′(1)＝ ＝－.
故选B.
答案：B
12．解析：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，
f′(x0)＝＝＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由得2x2＋2x0x＋2－x＝0，
则Δ＝4x－8(2－x)＝0，
解得x0＝±，则y0＝，
所以点P的坐标为(，)或(－，).
课时作业(十五) 基本初等函数的导数
1．解析：由f(x)＝，得f′(x)＝，
所以f′(16)＝.
故选A.
答案：A
2．解析：∵y′＝－sin x，∴y＝cos x在(，0)处的切线斜率k＝－sin ＝－1，
∴所求切线方程为：y＝－(x－)，即y＝－x＋.
故选A.
答案：A
3．解析：∵y＝ex，∴y′＝ex，
则在x＝0处的切线的斜率为k＝e0＝1，又x＝0，y＝1，
∴切线方程为：y－1＝x，即：x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
4．解析：(1)y′＝8x7.
(2)y′＝()x ln ＝－()x ln 2.
(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x.
(4)y′＝＝－.
5．解析：因为y′＝，所以点A处切线方程为y－0＝·(x－1)，
令x＝0，得y＝，所以B的坐标为(0，)，
则S△AOP＝××1＝，
故选A.
答案：A
6．解析：设过点(－1，3)的直线与曲线y＝f(x)相切的切点为(x0，)，由f(x)＝求导得f′(x)＝－，
于是得切线方程为y－＝－(x－x0)，即y＝－x＋，则3＝＋，解得x0＝1或x0＝－，
因此得切线方程为y＝－x＋2或y＝－9x－6，
所以所求切线的方程是y＝－x＋2或y＝－9x－6.
故选AB.
答案：AB
7．解析：函数f(x)＝x2(x∈R)，
①当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝2x>0；②x∈R，f(－x)＝x2＝f(x)，所以f(x)＝x2是偶函数， 函数f(x)＝x2(x∈R)同时满足条件．
答案：f(x)＝x2(答案不唯一)
8．解析：设切点为(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝.
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＝1，
所以切点为(1，0).
又切线过切点(1，0)，∴1－0＋c＝0，得c＝－1.
9．解析：设切点为(m，n)，
因为y＝5，
所以y′＝，
因为曲线的切线与直线y＝2x－4平行，
所以＝2，
解得m＝，
又点(m，n)在曲线y＝5上，则n＝5＝，
所以切点坐标为(，)，
所以曲线y＝5的与直线y＝2x－4平行的切线方程为：
y－＝2(x－)，
即16x－8y＋25＝0.
10．解析：因为y＝cos x，所以y′＝－sin x，
令y′＝－sin x＝1，解得x＝－＋2kπ，k∈Z，
此时cos (－＋2kπ)＝0，k∈Z，
所以曲线y＝cos x在点(－＋2kπ，0)，k∈Z处的斜率为1；
令y′＝－sin x＝0，x＝2kπ，k∈Z或x＝π＋2kπ，k∈Z，
当x＝2kπ，k∈Z时，cos (2kπ)＝1，k∈Z；
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，cos (π＋2kπ)＝－1，k∈Z；
所以曲线y＝cos x在点(2kπ，1)，k∈Z或(π＋2kπ，－1)，k∈Z处的切线平行于x轴．
11．解析：∵f1(x)＝sin x，∴f′1(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f′1(x)＝cos x，
f3(x)＝f′2(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f4(x)＝f′3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f5(x)＝f′4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
由此可知：f2 022(x)＝f2(x)＝cos x.
故选C.
答案：C
12．解析：假设存在这样的公共点，并设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
∴两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为
k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′| x＝x0＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须有cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
课时作业(十六) 导数的四则运算法则
1．解析：∵f(x)＝x＋，∴f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－＝0.
故选A.
答案：A
2．解析：由已知f(x)＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝ex cos x－ex sin x，
故选D.
答案：D
3．解析：易知f(1)＝1，又f′(x)＝1＋，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2，
所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
化简得y＝2x－1.
答案：y＝2x－1
4．解析：(1)函数f(x)＝ex ln x＋3x定义域为(0，＋∞)，
所以函数f′(x)＝ex ln x＋ex·＋3＝ex(ln x＋)＋3.
(2)由(1)知，f′(1)＝e＋3，而f(1)＝3，于是得y－3＝(e＋3)(x－1)，即y＝(e＋3)x－e，
所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是y＝(e＋3)x－e.
5．解析：设切点为(x0，x0ln x0).∵y＝x ln x，∴y′＝ln x＋1，
∴y′|x＝x0＝ln x0＋1.易知曲线在点(x0，x0ln x0)处的切线的斜率为2.
∴ln x0＋1＝2，∴x0＝e，∴切点为(e，e).
把(e，e)代入切线方程，得e＝2e＋b，∴b＝－e.
故选C.
答案：C
6．解析：由f(x)＋f(－x)＝0可得2x3＋(a－2)x2－3x＋2(－x)3＋(a－2)(－x)2－3(－x)＝0，整理得2(a－2)x2＝0，则a＝2；
则f(x)＝2x3－3x，f′(x)＝6x2－3，f(1)＝－1，f′(1)＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝3(x－1)，整理得3x－y－4＝0.
故选B.
答案：B
7．解析：函数f(x)＝ln x＋f′(1)x2＋，则f′(x)＝＋2f′(1)x－，
当x＝1时，f′(1)＝1＋2f′(1)－2，因此f′(1)＝1，
所以f(x)＝ln x＋x2＋，则f(1)＝3.
答案：3
8．解析：(1)由题知f′(x)＝＋，
因为f′(2)＝1，所以f′(2)＝＋＝1，解得a＝，
所以a＝.
(2)由(1)知f′(x)＝＋，
因为f(x)在处的切线与直线2x－y＝0平行，
所以f′(1)＝a＋1＝2，解得a＝1.
此时f(1)＝－1，切线方程为：y＋1＝2(x－1)，即y＝2x－3，
满足与直线2x－y＝0平行，
所以a＝1.
9．解析：由f(x)的图象经过P(0，2)，知d＝2，
所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
所以即
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
10．解析：由f(x)＝x3＋x－16得f′(x)＝3x2＋1，
因为切线与直线y＝－x＋3垂直，所以切线斜率为k＝4.
设切点为(x1，y1)，则k＝f′(x1)＝3x＋1＝4，解得x1＝±1，
所以或，
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18).
所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14.
11．解析：由xf′(x)＋f(x)＝[xf(x)]′，可得[xf(x)]′＝ex，设xf(x)＝ex＋m，
又由f(1)＝2e，有f(1)＝e＋m＝2e，得m＝e，
可得f(x)＝，f′(x)＝＝，f′(1)＝－e，
故所求切线方程为y－2e＝－e(x－1)，整理为y＝－ex＋3e.
答案：y＝－ex＋3e
12．解析：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点．
令f′(x)＝0，即2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，
所以实数a的取值范围是(－∞，0).
课时作业(十七) 简单复合函数的导数
1．解析：由复合函数求导法则，f′(x)＝－sin (x－1)·(x－1)′＝－sin (x－1)，
故选B.
答案：B
2．解析：由已知得f′(x)＝2cos (2x＋)，
f′()＝2cos (2×＋)＝－2，
故选A.
答案：A
3．解析：[ln (2x＋1)]′＝，(e5x－4)′＝5e5x－4，()′＝··(2x－1)′＝，
[sin (2x＋)]′＝2cos (2x＋).
故选AC.
答案：AC
4．解析：令y＝ln u，u＝2x＋3，
则y′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝·2＝.
当x＝－时，
y′＝＝1，
即在点(－，ln 2)处切线的倾斜角的正切值为1，
所以倾斜角为.
5．解析：y′＝ex－1－πcos (x)，当x＝1时，y′＝1，
所以所求切线方程为y＋1＝x－1，
即x－y－2＝0.
故选D.
答案：D
6．解析：依题意，曲线f(x)＝－a sin x－ln (x＋1)，求导得：
f′(x)＝－a cos x－，则f′(0)＝－a－1，
因曲线y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则f′(0)＝1，即－a－1＝1，解得a＝－2，
所以a的值为－2.
故选A.
答案：A
7．解析：因为y＝16sin (t＋)＝16cos t，
所以求导得y′＝－16×sin t＝－sin t，
所以根据导数的几何意义得该振子在t＝6 s时的瞬时速度为y′|t＝6＝－16×sin 5π＝0.
答案：0
8．解析：(1)由题意，函数f(x)＝k(x＋1)e－x＋x2，
可得f′(x)＝k＋2x＝－kxe－x＋2x.
(2)当k＝e时，可得f(1)＝3，
由(1)得f′(x)＝－exe－x＋2x，所以f′(1)＝1，
所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程y－3＝1·(x－1)，即y＝x＋2.
9．解析：由曲线y＝f(x)过(0，0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，
得f′(x)＝＋＋a，
则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．
由题意，得＋a＝，故a＝0.
10．解析：由y′＝(e2xcos 3x)′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
得y′|x＝0＝2.
则切线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝＝，得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
11．解析：因为f(x)＋f(2－x)＝2 022，
所以f′(x)＋f′(2－x)·(2－x)′＝0，
所以f′(x)－f′(2－x)＝0，
所以f′(2 022)－f′(2－2 022)＝0，
所以f′(－2 020)－f′(2 022)＝0.
答案：0
12．解析：易得f′(x)＝ex－ae－x，x∈R.
∵f′(x)为奇函数，
∴f′(x)＋f′(－x)＝0对任意x∈R恒成立，
即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，
∴a＝1，
∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x，
设切点的横坐标为x0，
由题可得ex0－e－x0＝，令ex0＝t(t>0)，则t－＝，
解得t＝2或t＝－(舍去)，
∴ex0＝2，∴x0＝ln 2.
课时作业(十八) 函数的单调性
1．解析：∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
故选C.
答案：C
2．解析：由f′(x)＝且x>0，
当f′(x)<0且0故选D.
答案：D
3．解析：A：由f(x)＝x2＋sin x f′(x)＝2x－cos x，令g(x)＝f′(x)＝2x－cos x，
因为g′(x)＝2＋sin x>0，所以函数f′(x)是实数集上的增函数，符合题意；
B：由f(x)＝x2 f′(x)＝2x，因为一次函数f′(x)＝2x是实数集上的增函数，
所以符合题意；
C：由f(x)＝1＋cos x f′(x)＝－sin x，因为函数f′(x)＝－sin x是周期函数，所以函数f′(x)＝－sin x不是实数集上的增函数，因此不符合题意；
D：由f(x)＝x2＋ln x f′(x)＝2x＋，令g(x)＝f′(x)＝2x＋，
则g′(x)＝2－＝，当x∈(0，)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，因此不符合题意，
故选AB.
答案：AB
4．解析：f(x)＝x3＋x2－x，则f′(x)＝3x2＋2x－1＝(3x－1)·(x＋1)，
由f′(x)>0，可得x>或x<－1；由f′(x)<0，可得－1则函数f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为(，＋∞)和(－∞，－1)，
单调递减区间为(－1，).
答案：(－1，)
5．解析：根据f′(x)>0时，y＝f(x)递增，f′(x)<0时，y＝f(x)递减可得，
①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；
而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，
④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．
故选A.
答案：A
6．解析：由y＝x＋a ln x y′＝1＋，
因为函数y＝x＋a ln x在区间[1，＋∞)内单调递增，
所以有y′≥0在[1，＋∞)上恒成立，即1＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，
因为x∈[1，＋∞)，所以由1＋≥0 x＋a≥0 a≥－x，
因为x∈[1，＋∞)，所以－x∈(－∞，－1]，于是有a≥－1.
故选D.
答案：D
7．解析：f′(x)＝x2－＝，x>0，令f′(x)≤0，得0答案：18．解析：函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，
无单调递增区间；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).
9．解析：(1)由题意知，f′(x)＝3x2－6ax，
又f(2)＝8，f′(2)＝0，
即 ，解得a＝1，b＝12.
(2)已知f′(x)＝3x2－6ax，令f′(x)＝0，知x1＝0，x2＝2a，
当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，此时函数f(x)在R单调递增，
当a>0时，令f′(x)>0 x<0或x>2a，令f′(x)<0 0所以函数f(x)在(－∞，0)、(2a，＋∞)上单调递增，在(0，2a)上单调递减，
当a<0时，令f′(x)>0 x<2a或x>0，令f′(x)<0 2a所以函数f(x)在(－∞，2a)、(0，＋∞)上单调递增，在(2a，0)上单调递减．
10．解析：(1)当a＝2 时，f(x)＝ex－2x－1,
∴f′(x)＝ex－2.
令f′(x)>0 ，即ex－2>0 ，解得x>ln 2 ；
令f′(x)<0 ，即ex－2<0 ，解得x∴当a＝2 时，函数f(x)的单调递增区间是(ln 2，＋∞)，递减区间为(－∞，ln 2).
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0 恒成立，
即a≤ex在x∈R恒成立，
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，
∴a≤0.
即 a 的取值范围为(－∞，0].
11．解析：∵f(x)＝ln x＋ax2－2，
∴f′(x)＝＋2ax，
若f(x)在区间(，2)内存在单调递增区间，则f′(x)>0，x∈(，2)有解，
故a>－，
令g(x)＝－，则g(x)＝－在(，2)单调递增，
∴g(x)>g()＝－2，
故a>－2 .
故选D.
答案：D
12．解析：(1)∵f′(x)＝－a，g′(x)＝－，∴f′(1)＝1－a，g′(1)＝－b，
∵y＝f(x)与y＝g(x)在交点(1，c)处具有公共切线，
∴1－a＝－b；
又c＝－a＝b－3，∴由得.
(2)当b＝1－a时，设h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x－ax＋－3(x>0)，
∴h′(x)＝－a－＝＝－；
设t(x)＝－ax2＋x－1＋a(x>0)，
当a＝0时，t(x)＝x－1；当x∈(0，1)时，t(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，t(x)>0；
∴h(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
当a≠0时，令t(x)＝0，解得x1＝＝－1，x2＝1；
①当a＝时，－1＝1时，t(x)≤0恒成立，
即h′(x)≤0，
∴h(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
②当01，
当x∈(0，1)∪(－1，＋∞)时，t(x)<0，则h′(x)<0；当x∈(1，－1)时，t(x)>0，则h′(x)>0；
∴h(x)的单调递减区间为(0，1)，(－1，＋∞)；单调递增区间为(1，－1)；
综上所述：当a＝0时，h(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当a＝时，h(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当0课时作业(十九) 函数的极值
1．解析：A：因为函数y＝ex是实数集上的增函数，所以函数y＝ex没有极值；
B：因为函数y＝ln x是正实数集上的增函数，所以函数y＝ln x没有极值；
C：因为函数y＝在区间(0，＋∞)、(－∞，0)上是减函数，所以函数y＝没有极值；
D：因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以该函数在(1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1)上是减函数，因此x＝1是函数的极小值点，符合题意，
故选D.
答案：D
2．解析：对于A，在(－2，－1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，故A错误；
对于B，在(0，2)，f′(x)不恒为正或负，故f(x)不单调，故B错误；
对于C，在(1，＋∞)，f′(x)≥0恒成立，故f(x)单调递增，故x＝3不是极值点，故C错误；
对于D，在(－3，－1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(－1，1)，f′(x)<0，f(x)单调递减，故x＝－1是f(x)的极大值点，且是唯一的极大值点，故D正确．
故选D.
答案：D
3．解析：由f(x)＝sin x＋ax知：f′(x)＝cos x＋a.因为x＝是f(x)＝sin x＋ax的极值点，故f′()＝cos ＋a＝0 a＝－.
答案：－
4．解析：(1)f′(x)＝6x－9，令f′(x)＝6x－9<0，
解得x<，
故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，).
(2)令f′(x)>0得x>，
故f(x)在(－∞，)单调递减，在(，＋∞)单调递增，
所以f(x)在x＝处取得极小值，f()＝3×－9×＋5＝－，
所以f(x)的极小值为－，无极大值．
5．解析：对A，x＝2是y＝g(x)的零点，不一定为y＝f(x)的零点，故A错误；
对B，因为g(2)＝0，在x＝2左侧，f′(x)<0，故f′(x)>0，在x＝2右侧，f′(x)>0，故f′(x)>0，故x＝2两侧f′(x)>0，故x＝2不是y＝f(x)的极大值点，故B错误；
对C，因为g(1)＝0，在x＝1左侧，f′(x)>0，故f′(x)<0，在x＝1右侧，f′(x)<0，故f′(x)>0，故是y＝f(x)的极小值点，故C错误；
对D，因为g＝0，在x＝－2左侧，f′(x)<0，故f′(x)>0，在x＝－2右侧，f′(x)>0，故f′(x)<0，故x＝－2是y＝f(x)的极大值点，故D正确，
故选D.
答案：D
6．解析：∵函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极大值点，
∴f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不同的根，
∴Δ＝(－4c)2－12>0，
解得c<－或c>，
即实数c的范围是(－∞，－)∪(，＋∞).
故选D.
答案：D
7．解析：由f(x)＝x3－3x2－9x，得f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)>0 x<－1或x>3，令f′(x)<0 －1所以函数f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，
且f(－1)＝5，f(3)＝－27，如图，
由图可知函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝3处取得极小值，
又函数f(x)在(a，＋∞)内有极大值，
故a<－1.
故选A.
答案：A
8．解析：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由，得，
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x，x∈R，
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3).
由f′(x)>0得x>1或x<－3；由f′(x)<0得－3由f′(x)＝0得x＝1或x＝－3；
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)，
∴f(x)在x＝－3处取得极大值9，在x＝1处取得极小值－.
9．解析：(1)设y＝f(x)＝ax3＋bx2，则f′(x)＝3ax2＋2bx.
由题意，知即解得
(2)由(1)，知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1).
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
因为当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．解析：(1)当a＝0，f(x)＝x3, 则f(1)＝，即切点为(1，).
又f′(x)＝x2, f′(1)＝1即切线斜率k＝1.
所以切线方程为：y＝x－，
整理得：3x－3y－2＝0，
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为：3x－3y－2＝0.
(2)f′(x)＝x2－ax＝x，
令f′(x)＝0，解得：x＝0，x＝a.
由于x＝1是函数f(x)的极大值点，所以f′(1)＝0，即a＝1，
但此时x∈(－∞，0)，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)上单调递增；x∈(0，1)，f′(x)<0，f(x)在(0，1)上单调递减；x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增；
所以x＝1是函数f(x)的极小值点．故a的取值范围为 .
11．解析：由f(x)＝ex－x2－ax，得f′(x)＝ex－ax－a，
令f′(x)＝0，得ex－ax－a＝0，
当x＝－1时，方程无解，
所以x≠－1，化简得a＝，令g(x)＝，则
g′(x)＝＝，
当x>0时，g′(x)>0，当－1所以g(x)在(0，＋∞)上递增，在(－1，0)和(－∞，－1)上递减，
作出g(x)的图象，g(0)＝1，
因为函数f(x)＝ex－x2－ax有两个极值点，
所以方程a＝有两个变号的实根，
即y＝a与y＝的图象有两个不同的交点，
所以由图可得a>1，
即实数a的取值范围是(1，＋∞).
故选B.
答案：B
12．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝，f(2)＝＝e2，
f′(x)＝＝，f′(2)＝0，
所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y＝e2.
(2)f′(x)＝＝·ex，
当a＝0时，f(x)＝－ex，f(x)在R上递减，没有极值．
当a≠0时，f(x)的定义域为，
令f′(x)＝·ex＝0，解得x＝1＋.
当a>0时，f(x)在区间(－∞，)，(，1＋)，
f′(x)<0，f(x)递减；
在区间(1＋，＋∞)，f′(x)>0，f(x)递增；
f(x)的极小值为f(1＋)＝，无极大值．
当a<0时，f(x)在区间(－∞，)，(，1＋)，
f′(x)>0，f(x)递增；
在区间(1＋，＋∞)，f′(x)<0，f(x)递减；
f(x)的极大值为f(1＋)＝，无极小值．
课时作业(二十) 函数的最大(小)值
1．解析：由f(x)＝ln x－x，得f′(x)＝－1＝，
当00，当1所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝ln 1－1＝－1，
故选A.
答案：A
2．解析：f′(x)＝8x＋＝，令f′(x)＝0，得x＝－.
当－1≤x<－时，f′(x)<0；当－0.
f(x)在[－1，－)上单调递减，在(－，0)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(－)＝3.
答案：3
3．解析：因为f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0，3]，所以f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
所以当00，
所以f(x)在[0，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以f(x)min＝f(2)＝－，又f(0)＝4，f(3)＝1，
所以f(x)max＝f(0)＝4.
答案：4 －
4．解析：(1)由题意可得f(x)＝x3－12x定义域为R，
f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
列表如下：
所以f(x)单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2).
(2)由(1)知f(x)在[－3，－2]，[2，5]单调递增，在[－2，2]单调递减，
又因为f(－3)＝9，f(－2)＝16，f(2)＝－16，f(5)＝65.
所以f(x)在区间[－3，5]上的最大值为65，最小值为－16.
5．解析：由题意，函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，x∈[－2，2]，可得f′(x)＝－3x2＋6x＋9，
令f′(x)＝0，即－3x2＋6x＋9＝0，解得x＝－1或3(舍去).
当－2当－10，f(x)单调递增，
所以当x＝－1时取最小值，而f(2)＝22＋a>f(－2)＝2＋a，
即最大值为22＋a＝20，所以a＝－2，
所以此函数在区间[－2，2]上的最小值为f(－1)＝－5－2＝－7.
故选B.
答案：B
6．解析：函数f(x)＝ln x－|x－2|＝，
所以当0当x>2时，f(x)＝ln x－x＋2，f′(x)＝－1＝<0，函数单调递减，
所以f(x)综上，函数的最大值为ln 2.
答案：ln 2
7．解析：函数f(x)＝(x＋a)ex的定义域为R，f′(x)＝(x＋a＋1)ex.
所以当x∈(－∞，－a－1)时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；
当x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增，
所以函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为f(－a－1)＝(－a－1＋a)e－a－1＝－e2，
解得a＝－3.
答案：－3
8．解析：(1)因为f(x)＝x3＋ax＋b，所以f′(x)＝x2＋a.
依题意可得，即，解得，
所以f(x)＝x3－4x＋4，经检验符合题意．
(2)由(1)知f(x)＝x3－4x＋4，则f′(x)＝x2－4，
令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－2，
所以当－40，当－2所以f(x)在[－4，－2]上单调递增，在(－2，1]上单调递减．
又f(－2)＝，f(1)＝，f(－4)＝－，
所以f(x)最大值为，最小值为－.
9．解析：∵f′(x)＝3x2＋2x＋a，∴Δ＝4－12a，又－0；
令f′(x)＝0，解得：x1＝，
x2＝；
则x，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，
∵－又f(0)＝0，f(2)＝12＋2a>0，
∴f(x)在[0，2]上的最大值为f(2)＝12＋2a＝10，解得：a＝－1；
∴f(x)min＝f(x2)＝f()＝＋－＝－.
10．解析：(1)f′(x)＝ex－1－1，由f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表所示：
x (－∞，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 极小值 ?
由上表可知f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－1，无极大值．
(2)证明：g(x)＝，令h(x)＝(x≥1)，
h′(x)＝＝≤0，
所以h(x)在[1，＋∞)单调递减，所以当x≥1时，
h(x)≤h(1)＝1.
所以当x≥1时，≤1，即≥，
故当x≥1时，g(x)≥.
11．解析：由f(x)＝x3－x2＋4，
得f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
当a≤0时，f′(x)>0在[1，2]上恒成立，
所以f(x)在[1，2]上递增，
所以f(x)min＝f(1)＝1－＋4＝0，解得a＝(舍去)，
当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝0或x＝a，
当00在[1，2]上恒成立，
所以f(x)在[1，2]上递增，
所以f(x)min＝f(1)＝1－＋4＝0，解得a＝(舍去)，
当10，
所以f(x)在(1，a)上递减，在(a，2)上递增，
所以当x＝a时，f(x)取得最小值，所以f(a)＝a3－a2＋4＝0，解得a＝2(舍去)，
当a≥2时，当1≤x≤2时，f′(x)<0，所以f(x)在[1，2]上递减，
所以f(x)min＝f(2)＝23－×4＋4＝0，解得a＝2，
综上，a＝2.
故选C.
答案：C
12．解析：(1)因为f(x)＝x2(x－3)＋a cos 2x＋2，
所以f′(x)＝(x2)′(x－3)＋x2(x－3)′＋a·(－sin 2x)·(2x)′
＝3x2－6x－2a sin 2x，
即f′(x)＝3x2－6x－2a sin 2x.
(2)当a＝0时，f(x)＝x2(x－3)＋2，
且f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
因为f(x)＝x2(x－3)＋2的定义域为[0，m]，
令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2，
①若0f(x)为单调递减函数，所以f(x)的最大值为f(0)＝2；
②若m>2，则当x∈(0，2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，m)时，f′(x)>0，
所以f(x)在区间[0，2]上单调递减，在区间(2，m]上单调递增；
所以f(x)的最大值为f(0)＝2与f(m)＝m2(m－3)＋2中的较大值，
考虑f(m)－f(0)＝m2(m－3)，
易知当2所以f(x)的最大值为f(0)＝2；
当m>3时，f(m)－f(0)>0，即f(m)>f(0)，
所以f(x)的最大值为f(m)＝m2(m－3)＋2＝m3－3m2＋2，
综上所述，当0当m>3时，f(x)的最大值为m3－3m2＋2.
课时作业(二十一) 函数极值与最值的综合应用
1．解析：(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 (2，3) 3
f′(x) ＋ － ＋
f(x) f(－2)＝－33 ? f(0)＝7 f(2)＝－1 f(3)＝7
∴f(x)的最大值为7，最小值为－33.
(2)
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ － ＋
f(x) f(0)＝7 ? f(2)＝－1 ?
当a＜－1或a＞7时，方程有一个根；
当a＝－1或7时，方程有两个根；
当－1＜a＜7时，方程有三个根．
2．解析：(1)由题可知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，f(x)＝x ln x－x＋1，f′(x)＝ln x，
由f′(x)<0得f(x)在区间(0，1)上单调递减，由f′(x)>0得f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝0，无极大值．
(2)由题可知，当x≥1时，f(x)≥0恒成立，即ln x－a＋≥0恒成立，
设g(x)＝ln x－a＋(x≥1)，g′(x)＝－＝，
当a≤1时，g′(x)≥0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(1)＝0，满足条件；
当a>1时，令g′(x)＝0得x＝a，当1≤xa时，g′(x)>0，
∴g(x)在[1，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，
∴g(a)综上，a的取值范围是(－∞，1].
3．解析：(1)设当2≤t<10时，减少的人数与(10－t)2成正比，比例系数为k，
所以P(t)＝1 200－k(10－t)2，2≤t<10，
当t＝5时，P(5)＝950，即1 200－k(10－5)2＝950，
解得k＝10，
所以P(t)＝.
(2)由题意可得：Q(t)＝，
所以＝，
令H(t)＝，当2≤t<10时，H′(t)＝－4t＋＝；
令H′(t)＝0得t＝8；当2≤t<8时，H′(t)>0，当8所以H(t)的最大值为H(8)＝316；
当10≤t≤20时，H′(t)＝－40＋<0，
所以H(t)最大值为H(10)＝295.2；
因为295.2<316，所以单位时间的净收益最大为316元；
综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，且最大为316元．
4．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－＝.
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)<0，得00，得x>，
所以f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
(2)令ax－2ln x＝0，得a＝(x>0).
令g(x)＝，则g′(x)＝，
令g′(x)>0，得0e，
所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
所以g(x)max＝g(e)＝；
当0当x>e时，g(x)>0，所以g(x)∈(0，)，
所以函数g(x)的图象如图所示，由图可得，
当a>时，直线y＝a与函数g(x)的图象没有交点，函数f(x)没有零点；
当a＝或a≤0时，直线y＝a与函数g(x)的图象有1个交点，函数f(x)有1个零点；
当0章末过关检测(一) 数列
1．解析：数列的分母5，7，9，…形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为5＋(n－1)×2＝2n＋3，
所以an＝.
故选C.
答案：C
2．解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
，即.
故选A.
答案：A
3．解析：由题意得：
∵等差数列{an}中，a4＋a10＝a1＋a13＝6，
∴S13＝＝＝39.
故选C.
答案：C
4．解析：由题意知：{an}为等比数列，
故a1a8a15＝(a8)3＝27，∴a8＝3，a3·a13＝(a8)2＝9，
故选C.
答案：C
5．解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，所以S8，S16－S8，S24－S16成等比数列，
因为S8＝12，S24＝36，所以(S16－12)2＝12×(36－S16)，
解得S16＝24或S16＝－12，因为S16－S8＝q8S8>0，
所以S16>0，则S16＝24.
故选A.
答案：A
6．解析：不妨设插入两个正数为a，b，即3，a，b，9，
∵3，a，b成等比数列，则a2＝3b，
a，b，9成等差数列，则a＋9＝2b，
即，解得或(舍去)，
则a＋b＝＝11.
故选B.
答案：B
7．解析：等差数列{an}的首项为1，所以a1＝1，
a2，a5，a14成等比数列，所以a＝a2·a14，
所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)·(a1＋13d)，
解得：d＝2，
所以数列{an}的前6项和为：6a1＋d＝6＋30＝36.
故选C.
答案：C
8．解析：由于an＋2＝(m∈N＋)，所以当n为奇数时，是等差数列，即：
a1＝2，a3＝2＋2×1，a5＝2＋2×2，a7＝2＋2×3，…，a19＝2＋2×9，共10项，
和为×10＝110；
a2＝20，a4＝21，a6＝22，a8＝23，…，a20＝29，共10项，
其和为20×＝210－1＝1 023；
∴该数列前20项的和S20＝1 023＋110＝1 133.
故选C.
答案：C
9．解析：对于A，数列1，，，，…为递减数列，故不符合题意；
对于B，数列sin ，sin ，sin ，…为周期数列，且sin >sin ，故不符合题意；
对于C，数列－1，－，－，－，…为递增数列，故符合题意；
对于D，数列1，，，…，为递增数列，故符合题意．
故选CD.
答案：CD
10．解析：由题设，a6＋a9＝a7＋a8<0，而a7>0，
∴a8＝a7＋d<0，则d<－a7<0，则{an}为递减数列，A错误，B正确；
S13＝＝13a7>0，S14＝＝7(a6＋a9)<0，C正确，D错误．
故选BC.
答案：BC
11．解析：an＝，则a＝n，{an}是等方差数列，但{an}不是等差数列，A错；
an＝5，a＝25，a－a＝0，{a}是等差数列，{an}也是等差数列，B正确；
an＝(－1)n，则a＝1，{a}是等差数列，C正确；
若{an}是等方差数列，则a－a＝d是常数，因此a－a＝a－a＋a－a＝d＋d＝2d是常数，所以{a}是等方差数列，D正确．
故选BCD.
答案：BCD
12．解析：由图可知an＝an＋1(sin 15°＋cos 15°)＝an＋1×sin (15°＋45°)＝an＋1，
所以＝，所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，故A错误；
则an＝，由题可得Sn＝·an＋1sin 15°·an＋1cos 15°＝a＝×，
所以S1＝×＝，故B正确；
因为＝，所以数列{Sn}是公比为的等比数列，故C错误；
Tn＝＝－·<，故D正确．
故选BD.
答案：BD
13．解析：因为数列{an}的递推公式an＋1＝，且首项a1＝1，
则a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.
答案：
14．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2＋3＋1＝6，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n＋1－[2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝4n＋1，
检验：a1＝5≠S1，
所以an＝.
答案：an＝
15．解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0，∵3a1，a3，2a2成等差数列，∴a3＝3a1＋2a2，
∴q2－2q－3＝0，∴q＝3或q＝－1(舍去)，∴＝＝q2＝32＝9.
答案：9
16．解析：令13－2n≤0，解得：n≥，则当n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0；
∴当n≤6时，Tn＝＝＝－n2＋12n；
当n≥7时，Tn＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋an)＝2(－36＋72)－(－n2＋12n)＝n2－12n＋72；
∴T10＝102－120＋72＝52；
∵＝，
∴当n≤6时，＝＝6；
当n≥7时，∵y＝x＋在(0，6)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，
又n∈N*，＝8＋9－12＝5，＝9＋8－12＝5，
∴当n≥7时，＝5；
综上所述：＝5.
答案：52 5
17．解析：(1)设等比数列{an}的公比为q.
∵a1，a2，a3－2成等差数列，a1＝2，
∴2a2＝a1＋(a3－2)＝2＋(a3－2)＝a3，
∴q＝＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n(n∈N*)
(2)bn＝＋2log2an－1
＝＋2log22n－1
＝＋2n－1
则Sn＝＋[＋3]＋[＋5]＋…＋[＋(2n－1)]
＝＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]
＝＋＝n2－＋1(n∈N*)
18．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a8＝a2＋6d，a2＝22，a8＝4，
所以4＝22＋6d，
所以d＝－3，a1＝25，
所以an＝28－3n.
(2)因为an＝28－3n，令28－3n<0，得n>9，
所以当n≤9时，an>0；当n≥10时，an<0，
故当n＝9时，Sn最大，且最大值为S9＝25×9＋×9×8×(－3)＝117.
19．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则 d＝q＝2.
所以an＝2n，bn＝2n.
(2)Sn＝＝n(n＋1)，则＝＝－，Tn＝(＋＋…＋)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝(1－＋－＋…＋－)＋(2＋22＋…＋2n)
＝1－＋＝2n＋1－－1.
20．解析：(1)证明：因为Tn为数列{an}的前n项积，
所以可得＝an(n≥2)，
因为＋＝1，所以＋＝1(n≥2)，
即1＋2Tn－1＝Tn(n≥2)，所以＝2(n≥2)，
又＋＝1，所以a1＝T1＝3，
故{Tn＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列；
(2)由(1)得：Tn＋1＝4×2n－1＝2n＋1，所以Tn＝2n＋1－1，则nTn＝n·2n＋1－n，
设An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，①
∴2An＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n·2n＋2，②
则①－②得：
－An＝1×22＋(23＋24＋…＋2n＋1)－n·2n＋2＝4＋－n·2n＋2＝－4＋(1－n)2n＋2，
则An＝4＋(n－1)2n＋2，
所以{nTn}的前n项和Sn＝4＋(n－1)2n＋2－.
21．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
∵a2＝3，且a2，a3＋1，a5＋3成等比数列，
∴a1＋d＝3且(a1＋2d＋1)2＝3(a1＋4d＋3)，
解得或(舍)，∴an＝2n－1(n∈N*)，且Sn＝＝n2.
(2)由题意可知，新数列{bn}为1，2，3，22，22，5，23，23，23，7，…按照此规律，
假设第24项在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间，
则M＝1＋2＋3＋…＋(k－1)＋k≤24，解得当k＝6时M＝21，
∴数列{bn}的前24项和T24＝(2＋2·22＋3·23＋…＋5·25)＋(1＋3＋5＋7＋9＋11)＋3×26＝(2＋4×26)＋62＋3×26＝38＋7×26＝486.
22．解析：(1)依题意，小李在乙公司工作第n年的年薪为bn＝4.8×(1＋8%)n－1(n∈N*).
所以小李在乙公司连续工作5年，则b5＝4.8×(1＋8%)4≈6.72万元；
(2)由题意，小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入为4.2n＋×0.6，
小李在乙公司工作10年的总收入＋7.2，
则4.2n＋×0.6≥＋7.2，
∴(n＋24)(n－11)≥0，
∴n≥11，
∴小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．
章末过关检测(二) 一元函数的导数及其应用
1．解析：由题意得，f′(x)＝2x－3，
故f′(1)＝2－3＝－1.
故选A.
答案：A
2．解析：∵f(x)＝(x－1)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，
令f′(x)<0 ，即xex<0 ，解得x<0，
∴f(x) 的单调递减区间为(－∞，0).
故选A.
答案：A
3．解析：根据导函数的正负可判断，原函数的单调性为先增后减再增，故排除AD；
又C选项，递减区间斜率不变，故排除．
故选B.
答案：B
4．解析：由f(x)＝(x＋a)ex，得f′(x)＝ex＋(a＋x)ex＝(x＋a＋1)ex，则f′(－1)＝，因为曲线f(x)＝(x＋a)ex，
在点(－1，f(－1))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以＝，故a＝.
故选D.
答案：D
5．解析：由题意，设切点为(x0，x0－1)，所以x0－1＝ln (x0－a)，y′＝，所以＝1 x0－a＝1，所以x0－1＝0 x0＝1，则ln (1－a)＝0 a＝0.
故选B.
答案：B
6．解析：因为f(x)＝x3－4x2－3x－5，
所以f′(x)＝3x2－8x－3＝(3x＋1)(x－3)，
所以当x>3或x<－时f′(x)>0，当－所以f(x)的单调递增课时作业(七) 等比数列的概念和通项公式
练 基 础
1.[2022·湖南怀化高二期末]在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝8，则公比q＝( )
A． B．
C．2 D．3
2．[2022·福建厦门高二期末]正项等比数列{an}中，a2a6＝9，则a4＝( )
A．1 B．
C．3 D．
3．[2022·山东青岛黄岛区高二期末]已知等比数列{an}满足：a1＝27，a9＝，a2a3<0，则公比q＝________．
4．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
提 能 力
5.[2022·湖南宁乡高二期末]在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a3，a5，a4成等差数列，则＝( )
A．4 B．
C．2 D．－
6．(多选)[2022·山东郓城一中高二期末]在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则( )
A．q2＝3 B．a＝4
C．a4a6＝2 D．n＝12
7．[2022·福建福州一中高二期末]在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ____________．
8．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝－12，a4＋a8＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝ －8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
9．已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42.求a5，a7的等比中项．
10．已知数列{an}是一个各项均为正数，且单调递增的等比数列，其前4项之积为16，第2项与第3项之和为5，求这个等比数列的前4项．
培 优 生
11.(多选)[2022·江苏南京高二期末]正项等比数列{an}中，a3、a1、－a2成等差数列，且存在两项am，an使得＝4a1，则( )
A．数列{an}公比为2
B．＋的最小值是
C．m＋n＝6
D．＋的最小值是1＋
12．[2022·湖北武汉高二期末]已知{an}是递增的等比数列，且a3＝2，a2＋a4＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．课时作业(三) 等差数列的概念和通项公式
练 基 础
1.若数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝1，则数列{an}的通项公式为an＝( )
A．n2＋1 B．n＋1
C．n－1 D．－n＋3
2．已知等差数列5，9，13，…，则下列哪个数是这个数列中的项( )
A．2 B．7
C．18 D．21
3．a为2和6的等差中项，则a＝____________．
4．在等差数列{an}中，a1＝23，d＝－2.求：
(1)a8的值；
(2)数列{an}中正数项的个数．
提 能 力
5.在等差数列{an}中，a5＝9，a10＝19，则a50的值为( )
A．99 B．98
C．97 D．96
6．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则公差d为( )
A．6 B．－6
C．－2 D．2
7．已知数列{an}，a1＝1，点P(an，an＋1)在直线y＝x＋上，则a9＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
8．存在条件：①a2＝10，d＝－3；②a3＝7，a7＝－5；③a1＋a3＝20，a2＋a4＝14.在这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列{an}满足________．求数列{an}的通项公式．
9．在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66.
(1)求a2022的值；
(2)2022是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？
10．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝﹒
(1)求证数列是等差数列；
(2)求{an}的通项公式；
(3)试判断是否为数列{an}中的项，并说明理由﹒
培 优 生
11.(多选)已知数列{an}，{bn}均为公差大于零的等差数列，则下列说法正确的有( )
A．数列{an＋bn}是递增数列
B．数列{anbn}是递增数列
C．数列{an＋bn}是等差数列
D．数列{anbn}不可能是等差数列
12．已知Sn为数列{an}的前n项和，an≠0，且a1＝1，λSn＝anan＋1，其中λ为常数．
(1)求证：数列{an＋2－an}为等差数列；
(2)是否存在λ，使得{an}是等差数列？并说明理由．课时作业(九) 等比数列的前n项和
练 基 础
1.[2022·江苏镇江高二期末]已知等比数列{an}的前6项和为，公比为，则a1＝( )
A． B．
C．32 D．24
2．Sn为等比数列{an}的前n项和，且S7＝3，S21＝18，S14＝x，则( )
A．x2＋3x－45＝0 B．x2－3x－63＝0
C．x2－3x－45＝0 D．x2＋3x－63＝0
3．[2022·山东淄博高二期末]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝33－n＋k，则k的值为________．
4．在等比数列{an}中，已知a1＝，a4＝4.求：
(1)数列{an}的通项公式；
(2)数列{a}的前5项和S5.
提 能 力
5.[2022·山东德州高二期中]设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4－a2＝12，a3－a1＝6，则＝( )
A． B．2
C．9 D．
6．[2022·河北保定高二期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，当n∈N*时，anan＋2＝a，且S3＝13，S6－S3＝351，则满足an<2 022的n的最大值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
7．(多选)[2022·江苏盐城高二期末]已知单调递增的正项等比数列{an}中，a5－a1＝30，a4－a2＝12，其公比为q，前n项和Sn，则下列选项中正确的有( )
A．q＝2 B．a8＝512
C．Sn＝2an－1 D．Sn8．[2022·福建福州高二期末]已知正项等比数列{an}，若a3＝，a3＋a5＝20.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
9．[2022·江苏镇江一中高二期末]已知各项都为正数的数列{an}满足an＋1＋an＝3·2n，a1＝1.
(1)若bn＝an－2n，求证：{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
10．[2022·山东聊城高二期末]已知等比数列{an}满足a2a3＝2a4＝32.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，证明：n≥2时，a>Sn＋5.
培 优 生
11.(多选)[2022·浙江丽水高二期末]已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且m，n∈N*，下列结论一定成立的是( )
A．若m＋n为偶数，则am·an>0
B．若m＋n为奇数，则am·an>0
C．若m·n为偶数，则am·Sn>0
D．若m·n为奇数，则am·Sn>0
12．[2022·广东广州高二期末]已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝ .
(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前100项和．课时作业(十五) 基本初等函数的导数
练 基 础
1.[2022·河北石家庄高二期末]已知函数f(x)＝，f′(16)＝( )
A． B．
C． D．2
2．[2022·湖北枣阳一中高二期中]余弦曲线y＝cos x在点(，0)处的切线方程为( )
A．y＝－x＋ B．y＝x＋
C．y＝x－ D．y＝－x－
3．[2022·山东济宁高二期中]函数y＝ex在x＝0处的切线方程为________________．
4．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；
(2)y＝()x；
(3)y＝x；
(4)y＝logx.
提 能 力
5.[2022·广东深圳宝安高二期中]已知O为坐标原点，曲线C：y＝log2x在点A(1，0)处的切线交y轴于点B，则S△OAB＝( )
A． B．
C．ln 2 D．
6．(多选)[2022·河北英才国际学校高二期中]已知曲线f(x)＝，则过点(－1，3)，且与曲线y＝f(x)相切的直线方程可能为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝－9x－6
C．y＝－8x－5 D．y＝－7x－4
7．[2022·广东广州高二期末]写出一个同时满足下列条件的函数f(x)＝____________．
①当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；
②f(x)是偶函数．
8．已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．
9．求曲线y＝5的与直线y＝2x－4平行的切线方程．
10．曲线y＝cos x在哪些点处切线的斜率为1？在哪些点处的切线平行于x轴？
培 优 生
11.设f1(x)＝sin x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 022(x)＝( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
12．已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．课时作业(二十) 函数的最大(小)值
练 基 础
1.[2022·重庆西南大学附中高二期中]函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为( )
A．－1 B．1
C．0 D．e
2．[2022·湖北丹江口高二期末]函数f(x)＝4x2－在[－1，0)上的最小值为________．
3．[2022·广东湛江高二期末]函数f(x)＝x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值是______，最小值是________．
4．[2022·福建莆田高二期末]已知函数f(x)＝x3－12x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[－3，5]的最值．
提 能 力
5.已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(a为常数)，在区间[－2，2]上有最大值20，那么此函数在区间[－2，2]上的最小值为( )
A．－37 B．－7
C．－5 D．－11
6．[2022·广东揭阳高二期末]函数f(x)＝ln x－|x－2|的最大值为________．
7．[2022·广东佛山高二期末]已知函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为－e2，则a的值为______．
8．[2022·河北唐山高二期末]已知函数f(x)＝x3＋ax＋b，当x＝2时，y＝f(x)有极小值－.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[－4，1]上的最大值和最小值．
9．当－10．[2022·湖北武汉高二期末]已知函数f(x)＝ex－1－(x＋1).
(1)求f(x)的极值；
(2)设g(x)＝＋1，求证：当x≥1时，g(x)≥.
培 优 生
11.[2022·山东烟台高二期末]若函数f(x)＝x3－x2＋4在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．
12．[2022·山东临沂高二期中]已知实数m>0，且函数f(x)＝x2(x－3)＋a cos 2x＋2(a∈R)的定义域为[0，m].
(1)求f(x)的导数f′(x)；
(2)当a＝0时，求f(x)的最大值．课时作业(十七) 简单复合函数的导数
练 基 础
1.[2022·山东济南高二期末]函数f(x)＝cos (x－1)的导函数f′(x)＝( )
A．sin (x－1) B．－sin (x－1)
C．cos (x－1) D．－cos (x－1)
2．[2022·广东珠海外国语实验中学高二期中]已知函数f(x)＝sin (2x＋)，则f′()等于( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
3．(多选)[2022·山东德州高二期中]下列求函数的导数正确的是( )
A．′＝
B．(e5x－4)′＝e5x－4
C．()′＝
D．[sin (2x＋)]′＝－2cos (2x＋)
4．求y＝ln (2x＋3)的导数，并求在点(－，ln 2)处切线的倾斜角．
提 能 力
5.曲线y＝ex－1－2sin (x)在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．x－y＝0 B．ex－y－e＋1＝0
C．ex－y－e－1＝0 D．x－y－2＝0
6．[2022·山东淄博高二期中]设曲线f(x)＝a sin (－x)－ln (x＋1)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则a的值为( )
A．－2 B．1
C．2 D．3
7．[2022·山东临沂高二期末]某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系y＝16sin (t＋)，则该振子在t＝6 s时的瞬时速度为________mm/s.
8．已知函数f(x)＝k(x＋1)e－x＋x2.
(1)求导函数f′(x)；
(2)当k＝e时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．
9．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝ f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．求a，b的值．
10．曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
培 优 生
11.定义在R的函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝2022，f(x)的导函数为f′(x)，则f′(－2 020)－f′(2 022)＝________．
12．已知a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0.