函数单调性和奇偶性的综合应用

函数的单调性和奇偶性的综合应用
【教学目的】复习函数单调性和奇偶性，理解及综合应用函数的单调性和奇偶性
【教学重点】数形结合看函数的单调性与奇偶性，特殊值，抽象函数
【教学难点】数形结合意识，抽象函数的具体化
【教学内容】知识回顾：
1、函数的单调性：对于函数定义域内任意两个、，
当时，若有函数是（ ， ）上的增函数
当时，若有函数是（ ， ）上的减函数
应用：若是增函数，
应用：若是减函数，
2、熟悉常见的函数的单调性：、、
(2)若，在上都是减函数，则在上
是 函数（增、减）
3、函数的奇偶性：
定义域关于原点对称，若有 是偶函数
定义域关于原点对称，若有 是奇函数
(3)已知函数是定义在上的奇函数，且，求、
(4)若是偶函数，则的递减区间是 。
4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】
(1) 已知为奇函数，当时，，则当时，
(2)根据函数的图像说明，若偶函数在上是减函数，则在上
是 函数（增、减）
(3)R上的偶函数在上是减函数，
(4)设为定义在（上的偶函数，且在为增函数，则、、
的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
(5)如果奇函数在区间上的最小值是5，那么在区间上( )
A. 最小值是5 B. 最小值是－５ C. 最大值是－５ D. 最大值是5
(6)如果偶函数在上是增函数，且最小值是－５那么在上是( )
A. 增函数且最小值为－５ B. 增函数且最大值为－５
C. 减函数且最小值为－５ D. 减函数且最大值为－５
(3) 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调增函数，那么当，且时，有（ ）
A. B. C. D. 不确定
(4)如果是奇函数，而且在开区间上是增函数，又，那么
的解是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
(5) 已知函数为偶函数，，当时，单调递增，对于，，有，则（ ）
A. B. C. D.
CCBAA
5、综合应用单调性和奇偶性 【类型2 利用单调性解不等式】
(1)已知是R上的减函数，解不等式
(2)定义在上的奇函数是减函数，且满足条件，求的取值范围。
(3)函数是上的偶函数，当时，是减函数，解不等式。
练习：已知是定义在的偶函数，且在上为增函数，若，求的取值范围。
(4)已知函数是R上的奇函数且是增函数，解不等式。
(5)是定义在上的增函数，且。(1)求的值；(2)若，解不等式。
练习：上的增函数满足，且，解不等式≥
x≥34
思考题：
已知定义在R上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又。
(1)求；(2)求证为奇函数；(3)求证为R上的减函数；(4)求在上的最小值与最大值；(5)解关于的不等式，。(1)0(4)，(5)。
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对称有点对称和轴对称
数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若是增函数，
应用：若是减函数，
(1)若是R上的减函数，则
2、熟悉常见的函数的单调性：、、
(2)若，在上都是减函数，则在上
是 函数（增、减）
3、函数的奇偶性：
定义域关于原点对称， 是偶函数
定义域关于原点对称， 是奇函数
（当然，对于一般的函数，都没有恰好，所以大部分函数都不具有奇偶性）
(3)已知函数是定义在上的奇函数，且，求、
(4)若是偶函数，则的递减区间是 。
(5)若函数是定义在R上的奇函数，则 。
(6)函数的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像
4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】
(1) 根据函数的图像说明，若偶函数在上是减函数，则在上
是 函数（增、减）
(2) 已知为奇函数，当时，，则当时，
(3)R上的偶函数在上是减函数，
(4)设为定义在（上的偶函数，且在为增函数，则、、
的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
(5)如果奇函数在区间上的最小值是5，那么在区间上( )
A. 最小值是5 B. 最小值是－５ C. 最大值是－５ D. 最大值是5
(6)如果偶函数在上是增函数，且最小值是－５那么在上是( )
A. 增函数且最小值为－５ B. 增函数且最大值为－５
C. 减函数且最小值为－５ D. 减函数且最大值为－５
(3) 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调增函数，那么当，且时，有（ ）
A. B. C. D. 不确定
(4)如果是奇函数，而且在开区间上是增函数，又，那么
的解是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
(5) 已知函数为偶函数，，当时，单调递增，对于，，有，则（ ）
A. B. C. D.
CCBAA
5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型2 利用单调性解不等式】
(1)已知是上的减函数，解不等式
(2)定义在上的奇函数是减函数，且满足条件，求的取值范围。
(3)函数是上的偶函数，当时，是减函数，解不等式。
练习：已知是定义在的偶函数，且在上为增函数，若，求的取值范围。
(4)已知函数是R上的奇函数且是增函数，解不等式。
(5)是定义在上的增函数，且。(1)求的值；(2)若，解不等式。
练习：上的增函数满足，且，解不等式≥
x≥34
思考题：
已知定义在R上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又。
(1)求；(2)求证为奇函数；(3)求证为R上的减函数；(4)求在上的最小值与最大值；(5)解关于的不等式，。(1)0(4)，(5)。
补充：函数对任意的、，都有，且当时，。(1)求证：在R上是增函数；(2)若，求解不等式。
O
点对称：对称中心O 轴对称：
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