2015年中考数学易错题赏析: (三)函数及其图象

（三）函数及其图象
易错题赏析
易错点1：求函数自变量取值范围时注意：①二次根式中被开方数为非负数；②分式中分母不等于零；零指数幂中底数不等于零.【来源：21cnj*y.co*m】
易错题：使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是_____________.
错解：x＞﹣2
正解：x＞﹣2且x≠1
赏析：本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面，分式中分母不为零的条件应是x≠﹣2且x≠1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件，同时要与不等式的解集综合求解.2·1·c·n·j·y
易错点2：在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义，如一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的a、b、c.21教育名师原创作品
易错题：在一次函数y＝（2－k）x＋1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_________.
错解：k＞0
正解：k＞2
赏析：错误的原因是以为﹣k是一次项的系数，由﹣k＜0得到错解.本题中一次项系数应是2－k，由2－k＜0得到正解.
易错点3：用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确.
易错题：将直线y＝﹣3x－4向左平移2个单位长度后，其解析式为___________________.21*cnjy*com
错解：y＝﹣3x－6
正解：y＝﹣3x－10
赏析：本题可设平移后函数解析式为y＝kx+b，由平移中平行的关系可得k＝﹣3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点（﹣2,0），代入解析式从而求得错解.正确的解法是：先由平行得k＝﹣3，再由直线y＝﹣3x－4过点（0，﹣4），将此点向左平移2个单位长度得到点（﹣2，﹣4），再把点（﹣2，﹣4）及k＝﹣3代入所设解析式从而求得正解.
易错点4：利用图象求不等式（组）的解集与方程（组）的解时，混淆函数图象的增减性与解（解集）的关系.
易错题：已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是……………………（ ）
A.x＜﹣1或0＜x＜3 B.﹣1＜x＜0或0＜x＜3
C.﹣1＜x＜0或x＞3 D.0＜x＜3
错解：D
正解：A
赏析：错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻，没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系，从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是：由题目条件，画出两个函数的大致图象，如图：2-1-c-n-j-y
以交点A、B及原点O为界，把两个函数图象各分成四个部分，从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是：①A点左侧：x＜﹣1；②点A与原点O之间：﹣1＜x＜0；③原点O与B点之间：0＜x＜3；④B点右侧：x＞3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大，因此，由y1＞y2可得，自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3.
易错点5：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的位置与a，b，c的关系.
易错题：已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2＋bm＋a＞0（m≠﹣1）.其中正确的个数是……………………………………………………………………………………（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
错解：B
正解：C
赏析：本题错解的主要原因是不能很好地利用对称轴进行化简变形，没有理解最值的意义，从而对③、④判断错误.正确的解法是：由图象得抛物线与y轴交点为原点O，把（0,0）代入得c＝0，∴①正确；由抛物线与x轴交点为（﹣2,0）和（0,0）可得对称轴是直线x＝＝﹣1，∴②正确；当x＝1时，代入解析式得y＝a+b+c，又由对称轴是直线x＝﹣1，得＝﹣1，∴b＝2a，又c＝0，∴代入得y＝3a，∴③错误；当x＝m时，代入得y＝am2+bm+c,当x＝﹣1时，代入得y＝a－b+c,又x＝﹣1时，函数有最小值，∴a－b+c＜am2+bm+c,∴a－b＜am2+bm，又b＝2a，∴a－2a＜am2+bm，∴am2＋bm＋a＞0，∴④正确.故选项C正确.21教育网
易错点6：利用函数图表求解问题时易从中获取出错错误信息；利用函数模型求解问题是注意结果要符合实际.
易错题：科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：
温度t/℃
﹣4
﹣2
0
1
4
植物高度增长量l/mm
41
49
49
46
25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______________℃.21·cn·jy·com
错解：﹣2～0
正解：﹣1
赏析：错误的原因可能是由表格中的数据信息直接得出错解，而没有认真审题，没有仔细观察分析图表信息.正确的解法是：先设l＝at2+bt+c，再任选三点代入求得解析式l＝﹣t2－2t+49,可化为顶点式l＝﹣(t＋1)2＋50，当t＝﹣1时，l最大值＝50，故填﹣1.
易错点7：实际问题中函数自变量取值范围与最值问题.
易错题：经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时.研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数.　　21*cnjy*com
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？【出处：21教育名师】
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【版权所有：21教育】
错解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得，
解得，∴v＝﹣x＋88.
当x＝100时，v＝﹣×100＋88＝48.
答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.
（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88，
由题意，得，
解得70＜x＜120.
答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.
（3）由题意，得当0≤x≤20时，y＝vx＝80x，
∵k＝80＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝20时，车流量y最大为80×20＝1600.
答：车流量y的最大值为1600辆/小时.
正解：（1）设v＝kx＋b，把点（220，0）和（20，80）代入得，
解得，
∴v＝﹣x＋88.
当x＝100时，v＝﹣×100＋88
＝48.
答：大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度为48千米/小时.
（2）由（1）得，当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88，
由题意，得，
解得70＜x＜120.
答：应控制大桥上的车流密度范围是大于70辆/千米且小于120辆/千米.
（3）①当0≤x≤20时，车流量y1＝vx
＝80x，
∵k＝80＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝20时，车流量y1最大为80×20＝1600.
②当20≤x≤220时，车流量y2＝vx
＝（﹣x＋88）x
＝﹣(x－110)2＋4840，
当x＝110时，车流量y2取得最大值为4840.
∵4840＞1600，
∴车流量y的最大值为4840辆/小时.
答：车流量y的最大值为1600辆/小时.
赏析：本题在第（3）小题求最值时出错，原因是没有分两种情况分别求出车流量的最大值，再从两种情况的结果比较中得出车流量的最大值.实际上，从题目的条件分析可得车流速度与车流密度的关系式有两个：当0≤x≤20时，v＝80；当20≤x≤220时，v＝﹣x＋88.由此可得，车流量与车流密度也相应地有两个关系式，进而分类求解.
易错练
1.已知点P（2－m，m＋1）在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）


2.将一次函数y＝﹣x的图象向下平移1个单位长度，平移后，若y＞0，则x的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x＞﹣2 D.x＜﹣2
3.已知点A（﹣1，y1）和点B（1，y2）都在双曲线y＝上，且y1＜y2，则a的取值范围是________________.21cnjy.com
4.如图，抛物线抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且点M（﹣2,0）在该抛物线上，则＝____________.www.21-cn-jy.com
5.如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动.则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是………………………………（ ）
6.如图，△PAB的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两个分支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴、y轴相交于点E、F.已知B（1,3）.21·世纪*教育网
（1）k＝___________；
（2）试说明AE＝BF；
（3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标.
7.用长8m的铝合金制成如图形状的矩形窗户框，试问怎样制作窗户框，使得其采光面积最大，最大采光面积是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案
3.a＜ 解析：由点A、B的横坐标可知，点A、B在三、一或二、四象限，又y1＜y2，则A在第三象限，B在第一象限，∴双曲线在一、三象限，∴1－2a＞0，解得a＜.
4.﹣1 解析：∵抛物线对称轴是直线x＝1，且点M（﹣2,0）在该抛物线上，∴由抛物线的对称性可得，点（3,0）也在抛物线上，∴将（3,0）代入解析式，得9a＋3b＋c＝0，∴9a＋3b＝ c，∴＝＝﹣1.21世纪教育网版权所有
5.D 解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D. s与t之间的函数关系属于分段函数：点P在AC上时，s随t的增大而减小；点P在BC上时，s随t的增大而增大；点P在BD上时，s随t的增大而减小；点P在AD上时，s随t的增大而增大.故选D.
（2）∵反比例函数解析式为y＝，∴可设A点坐标为（a，），∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1,0），∴PB＝3－，PC＝﹣，PA＝1－a，PD＝1，∴，，∴,又∵∠CPD＝∠BPA,∴△PCD∽△PBA，∴∠PCD＝∠PBA，∴CD∥BA，∵BC∥DE，AD∥FC，∴四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，∴BE＝CD，AF＝CD，∴BE＝AF，∴AF＋EF＝BE＋EF，即AE＝BF；（3）∵四边形ABCD的面积＝S△PAB－S△PCD，∴·（3－）·（1－a）－·1·（－）＝，整理得2a2＋3a＝0，解得a1＝0（∵a≠0，∴舍去），a2＝﹣，∴P点坐标为（1，﹣2）.www-2-1-cnjy-com