第八章 向量的数量积与三角恒等变换 综合测评(A卷)（含解析）

第八章　向量的数量积与三角恒等变换综合测评(A卷)
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023广西模拟]若P(3,4)是角α的终边上一点,则sin 2α=(　　)
A. B. C. D.
2.[2023江苏鼓楼校级月考]若α为第三象限角,且sin α=-,则tan=(　　)
A.-3 B.- C.2 D.-2
3.[2023全国甲卷(文)]已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos=(　　)
A. B. C. D.
4.已知α∈0,,若sin α=,则cosα-=(　　)
A. B. C. D.
5.若sin α=,则cos+αcos-α=(　　)
A. B. C.- D.-
6.已知平面向量|a|=2,b=(3,1),且|a-b|=,则(b-a)·(2b+a)=(　　)
A.10 B.14 C. D.
7. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,F为AB的中点,CE=2,CB=4,AB=6,则=(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.2
8.在矩形ABCD中,AB=2BC=2,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上,则的取值范围为(　　)
A.[-5,-1] B.[-5,1]
C.[-3+,-1] D.[-3+,3-]
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.[2023贵州松桃校级月考]下列说法中,正确的是(　　)
A.对于任意向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|
B.若a·b=0,则a=0或b=0
C.对于任意向量a,b,有|a·b|≤|a||b|
D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|
10.下列化简正确的是(　　)
A.cos2-sin2
B.2sin275°-1=
C.
D.=-
11.[2023江苏如东期中]下列说法中正确的为(　　)
A.若向量a=(1,3),a-b=(-1,-3),则a∥b
B.若是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上
C.若平面上不共线的四点O,A,B,C满足-3+2=0,则=2
D.若非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是
12.[2023河北武强校级期中]已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),向量e是与b方向相同的单位向量,其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是(　　)
A.a与b的夹角为钝角
B.向量a在b方向上的投影为e
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.计算:sin 46°cos 16°-cos 314°sin 16°=　　　　　.
14.[2023北京西城校级期中]当x=θ时,函数f(x)=sin x-cos x取得最大值,则θ的一个取值为　　　　　.
15.已知向量a=(λ,-3),b=(1,λ).若(a+b)⊥b,则λ=　　　　　.
16.若角α的终边经过点P(1,-2),则cos α=　　　　　,tan 2α=　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知向量a,b满足a=(1,-1),|b|=1.
(1)若a,b的夹角为,求a·b;
(2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角.
18.(12分)[2023黑龙江南岗校级期中]已知cos α=-,α∈,π,sin β=-,β是第三象限角,求sin(α+β),cos(α-β),tan(α+β)的值.
19.(12分)[2023湖北黄冈期中]已知向量m=(,cos α),n=(sin α,-6),且m⊥n.
(1)求sin2α+sin αcos α的值;
(2)若sin(α-β)=,α,β∈(0,π),求角β.
20.(12分)某房地产开发公司为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园,如图所示.已知扇形AOB的圆心角∠AOB=,半径为200米.现需要修建的花园为平行四边形OMNH,其中M,H分别在半径OA,OB上,N在上.
(1)求扇形AOB的弧长和面积;
(2)设∠MON=θ,平行四边形OMNH的面积为S.求S关于角θ的函数解析式,并求S的最大值.
21.(12分)[2023上海虹口校级期中]在平行四边形ABCD中,E是DC的中点,AE交BD于点M.
(1)若=λ+μ,求实数λ与μ的值;
(2)若||=4,||=2,且<>=,则当点P在BC边上运动时,求的取值范围.
22.(12分)[2023四川成都期中]已知函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+a的最大值为1.
(1)求实数a的值;
(2)将f(x)图象上所有点向右平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到g(x)的图象,若g(x)-m=2在上有两个不同的解,求实数m的取值范围.
参考答案
一、单选题
1.A　∵P(3,4)是角α终边上一点,
∴sin α=,cos α=,
∴sin 2α=2sin αcos α=2×.故选A.
2.A　因为α为第三象限角,且sin α=-,所以cos α=-,则tan=-3.故选A.
3.B　∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).则有cos=.故选B.
4.A　因为α∈0,,sin α=,
所以cos α=,
cosα-=cos αcos+sin αsin.故选A.
5.D　由题意,得cos+αcos-α=coscos α-sinsin αcoscos α+sinsin α=cos2α-sin2α=-sin2α==-.故选D.
6.B　因为|a-b|=,所以a2+b2-2a·b=10,又因为a2=4,b2=10,所以a·b=2,则(b-a)·(2b+a)=2b2-a·b-a2=20-2-4=14,故选B.
7.A　由题得CF=5,因为-=-,
所以=-·=-=-×36+×16=0.故选A.
8.A　由题意||=||=,
设C到BD的距离为d,则d=,
故=()·,
其中=()·()=-3,设的夹角为θ,=||||·cos θ∈[-2,2],当且仅当反向和同向时取得最小值和最大值.
综上,的取值范围为[-5,-1].故选A.
二、多选题
9.ACD　对于A,由向量加法的三角形法则可知A正确;
对于B,∵当a·b=0时,a⊥b,∴B错误;
对于C,∵|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|,∴C正确;
对于D,∵当a,b共线同向时,a·b=|a||b|cos 0°=|a||b|,
当a,b共线反向时,a·b=|a||b|cos 180°=-|a||b|,
∴当a,b共线时,a·b=±|a||b|,∴D正确.故选ACD.
10.ACD　cos2-sin2=cos,故A正确;
2sin275°-1=-cos 150°=,故B错误;
=tan(45°+15°)=tan 60°=,故C正确;
因为tan 60°=tan(20°+40°)==-tan 120°,所以=tan 120°,
即=-,故D正确.D正确;故选ACD.
11.AC　对于选项A,向量a=(1,3),a-b=(-1,-3),则b=a-(a-b)=(2,6),则b=2a,则a∥b,即选项A正确;
对于选项B,若是共线向量,则点A,B,C,D在同一条直线上或AB∥CD,即选项B错误;
对于选项C,若平面上不共线的四点O,A,B,C满足-3+2=0,则=2(),即=2,则=2,即选项C正确;
对于选项D,已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,设|a|=|b|=|a-b|=1,则a2=b2=a2+b2-2a·b,即a·b=,设a与a+b的夹角是θ,则cos θ=,又因为θ∈[0,π],则θ=,即选项D错误.故选AC.
12.CD　对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a·b=2-1=1>0,则a,b的夹角为锐角,A错误;
对于B,向量a=(2,1),b=(1,-1),则向量a在b方向上的投影数量为,向量e是与b方向相同的单位向量,则向量a在b方向上的投影向量为e,故B错误;
对于C,向量a=(2,1),b=(1,-1),则a-b=(1,2),若(a-b)∥c,则-n=2(m-2),变形可得2m+n=4,C正确;
对于D,由选项C的结论,2m+n=4,而m,n均为正数,则有mn=(2m·n)≤2=2,当且仅当时,等号成立,即mn的最大值为2,D正确.故选CD.
三、填空题
13.　sin 46°cos 16°-cos 314°sin 16°=sin 46°cos 16°-cos(360°-46°)sin 16°=sin 46°cos 16°-cos 46°sin 16°=sin(46°-16°)=sin 30°=.
14.(答案不唯一)　因为f(x)=sin x-cos x=2sinx-,所以当x-+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值,
所以θ=+2kπ,k∈Z,所以θ可以取.
15.1　a+b=(1+λ,λ-3),又(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=λ2-2λ+1=(λ-1)2=0,解得λ=1.
16.　∵角α的终边经过点P(1,-2),∴cos α=,∴tan α==-2,tan 2α=.
四、解答题
17.解(1)a=(1,-1),所以|a|=,
所以a·b=|a||b|cos×1×.
(2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0,
所以a·b-b2=0,所以a·b=1,令=θ,
所以cos θ=,
因为θ∈[0,π],所以θ=,故a与b的夹角为.
18.解cos α=-,α∈,π,
则sin α=,tan α==-,
∵sin β=-,β是第三象限角,
∴cos β=-=-,∴tan β=,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×-+-×-=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×-+×-=-,
∴tan(α+β)=.
19.解(1)因为m=(,cos α),n=(sin α,-6),且m⊥n,
所以m·n=2sin α-6cos α=0,即tan α=3,
原式=.
(2)因为tan α=3,α∈(0,π),所以α∈0,,
因为β∈(0,π),则α-β∈-π,,
因为sin(α-β)=>0,所以α-β∈0,,
则cos(α-β)=,可得tan(α-β)=,则tan β=tan[α-(α-β)]==1,因为β∈(0,π),故β=.
20.解(1)扇形AOB的弧长为×200=50π(米),
扇形AOB的面积为×50π×200=5 000π(平方米).
(2)过N作NP⊥OA于点P,过H作HE⊥OA于点E,如图所示.
因为∠AOB=,所以OE=EH=NP=200sin θ,OP=200cos θ,
所以HN=EP=OP-OE=200(cos θ-sin θ).
于是S=HN·NP=40 000(cos θ-sin θ)sin θ
=40 000sin θcos θ-40 000sin2θ
=20 000sin 2θ-40 000·
=20 000sin2θ+-20 000,θ∈0,.
因为0<θ<,所以<2θ+,
当2θ+,即θ=时,S取到最大值,且最大值为20 000-1平方米.
21. 解(1)如图,=λ+μ=λ()+μ()=(λ-μ)+(λ+μ),且D,M,B三点共线,∴λ-μ+λ+μ=1,解得λ=.
设=k=k()=+k,且=-μ++μ,∴解得μ=.
(2)设=t=t,0≤t≤1,+t,且||=4,||=2,<>=,
∴=(+t)·=+t++1=8+4t+4+1=6t+12.
∵0≤t≤1,12≤6t+12≤18,
∴的取值范围为[12,18].
22.解(1)函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+a=2sin xcos x-2cos2x+a=2sin2x-+a-1.
由于函数的最大值为1,所以2+a-1=1,解得a=0.
(2)由(1)得,f(x)=2sin2x--1,将f(x)图象上所有点向右平移个单位长度,得到y=2sin2x--1的图象,再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到g(x)=2sin4x--1的图象.
由于函数g(x)-m=2在x∈上有两个不同的解,
即m+2=g(x)=2sin4x--1在上有两个不同的解.
设4x-=t,则t∈,h(t)=2sin t-1,则2sin t-1=2+m在上有两个不同的解,转化为sin t=在t∈上有两个不同的解,
转化为函数y=sin t与y=在t∈上有两个不同的交点.
当t=时,y=sin;当t=时,y=-;当t=-时,y=-1,∴-1<≤-,∴-5∴m的取值范围为(-5,-3-].