第七章 三角函数 综合测评(B卷)（含解析）

第七章　三角函数综合测评(B卷)
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023陕西雁塔期末]若α=945°,则sin α的值为(　　)
A.- B. C.- D.
2.若角α的终边不在坐标轴上,且sin α+2cos α=2,则tan α=(　　)
A. B. C. D.
3.已知sinα+=,则cosα-=(　　)
A.- B.- C. D.
4.[2023江西景德镇期中]若扇形的周长为36,要使这个扇形的面积最大,则此时扇形的圆心角α的弧度数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.[2023重庆九龙坡校级期末]已知函数f(x)=tan2x+,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在定义域内是增函数
B.f(x)的最小正周期是π
C.f(x)图象的对称中心是,0,k∈Z
D.f(x)图象的对称轴是x=,k∈Z
6. 下列图象对应的函数解析式正确的是(　　)
A.f(x)=xcos x B.f(x)=xsin x
C.f(x)=xsin x+cos x D.f(x)=xcos x+sin x
7. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π的部分图象如图所示,则f(x)在区间π,上的值域为(　　)
A.[-,1] B.[-2,1] C.[-2,] D.[-2,-]
8.已知函数f(x)=cosωx-(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3条对称轴,则ω的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列结论正确的是(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形面积为
C.cos-A=sin(π-A)
D.若角α的终边过点P(-3,4),则cos α=-
10.[2023江苏靖江校级期末]函数f(x)=2sin2x-+1,则下列结论正确的为(　　)
A.函数f(x)的图象关于,0对称
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.若x∈0,,则函数f(x)的值域为[1-,1+]
D.函数f(x)的单调递减区间为kπ+,kπ+,k∈Z
11. [2023浙江余姚校级期中]如图所示,点M,N是函数f(x)=2cos(ωx+φ)ω>0,-<φ<的图象与x轴的交点,点P在M,N之间的图象上运动,若M(-1,0),且当三角形MPN的面积最大时,PM⊥PN,则(　　)
A.f(0)=
B.ω+φ=0
C.f(x)的单调递增区间为[-1+8k,1+8k](k∈Z)
D.f(x)的图象关于直线x=5对称
12.已知函数f(x)=sin(3x+φ)-<φ<的图象关于直线x=对称,则(　　)
A.函数fx+为奇函数
B.函数f(x)在区间上单调递增
C.若=2,则的最小值为
D.函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数y=-cos 3x的图象
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知sin(α+π)=,α∈π,,则cos α=　　　　　.
14.[2023上海青浦校级期中]函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的振幅为3,最小正周期为,初始相位为,则它的解析式为　　　　　　　　.
15.《九章算术》是我国古代数学名著,其中有这样一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何 ”意思是说:现有扇形田,弧长三十步,直径十六步,问面积多少 书中给出计算方法:以径乘周,四而一,即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中,扇形的圆心角的弧度数是　　　　　.
16.函数y=cos2x+sin x-2在区间-上的最大值为　　　　　.(用数字作答)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)[2023江苏沛县校级期末]已知tan α=.
(1)求的值;
(2)求sin2α-sin αcos α-cos2α的值.
18.(12分)[2023广东荔湾校级期末]已知函数f(x)=sin2x+.
(1)用“五点法”画出f(x)在一个周期内的图象;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)说明此函数图象可由y=sin x的图象经怎样的变换得到.
19.(12分)已知θ∈(0,π),sin θ-cos θ=.
(1)求sin θ+cos θ的值;
(2)求tan θ的值.
20.(12分)已知f(x)=2sin2x++a+1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若a=1,求满足f(x)=1且x∈[-π,π]的x的取值集合.
21.(12分)我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车,水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具,体现了中华民族的创造力.如图是水车示意图,其半径为6 m,中心O距水面3 m,一水斗从水面处的点P0处出发,逆时针匀速旋转,80 s转动一周,经t s后,水斗旋转到点P处,此时水斗距离水面高度为h.
(1)以O为坐标原点,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,试将点P距离水面的高度h(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数;
(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面 在旋转一周的过程中,水斗位于水下的时间是多少
22.(12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,0<φ<的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程;
(2)将函数f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到了函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在0,上的单调递增区间.
参考答案
一、单选题
1.A　因为α=945°,所以sin α=sin(360°×2+180°+45°)=-sin 45°=-.故选A.
2.A　解得cos α=或cos α=1,
∵α的终边不在坐标轴上,∴cos α=,
∴sin α=2-2×,∴tan α=.故选A.
3.C　cosα-=cos-α=sin--α=sin+α=,故选C.
4.B　设扇形的半径为r,弧长为l,则由题意可得2r+l=36,所以l=36-2r,扇形面积S=lr=×(36-2r)r=-r2+18r=-(r-9)2+81,当r=9时扇形面积最大,此时扇形的圆心角的弧度数为=2.故选B.
5.C　函数f(x)=tan2x+的定义域是-,k∈Z;
在定义域内的每一个区间上是单调递增函数,整个定义域上没有单调性,A错误;
函数f(x)=tan2x+的最小正周期为T=,B错误;
对于C,令2x+,k∈Z,解得x=,k∈Z,
∴f(x)的对称中心是,0,k∈Z,C正确;
对于D,正切函数图象不是轴对称图形,f(x)=tan2x+图象没有对称轴,D错误.故选C.
6.D　由题图可知,函数f(x)的图象关于原点成中心对称,
所以函数f(x)为奇函数,且f>0,
对于A,因为f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcos x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,
但f=cos=0,故选项A错误;
对于B,因为f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故选项B错误;
对于C,因为f(-x)=(-x)sin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故选项C错误;
对于D,因为f(-x)=(-x)cos(-x)+sin(-x)=-xcos x-sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,且f=cos+sin=1>0,符合题意,故选项D正确.
故选D.
7.B　由题中图象知,A=2,--=,
则T=π,ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).
又函数图象过点,2,所以2×+φ=+2kπ,k∈Z,
则φ=-+2kπ,k∈Z,因为|φ|<π,所以φ=-,
所以f(x)=2sin2x-,
因为x∈π,,则2x-∈,所以sin2x-∈-1,,所以f(x)∈[-2,1].故选B.
8.C　f(x)=cosωx-(ω>0),
令ωx-=kπ,k∈Z,则x=,k∈Z,
函数f(x)图象在区间[0,π]上有且仅有3条对称轴,
即0≤≤π有3个整数k符合,0≤≤π,
得0≤≤1,即0≤1+4k≤4ω,则k=0,1,2,
即1+4×2≤4ω<1+4×3,∴≤ω<.故选C.
二、多选题
9.BD　A选项,-=-π-是第二象限角,A错误;
B选项,扇形的半径为=3,面积为×π×3=,B正确;
C选项,cos-A=-sin A,sin(π-A)=sin A,C错误;
D选项,cos α==-,D正确.
故选BD.
10.BD　对于函数f(x)=2sin2x-+1,令x=,求得f(x)=1,可得函数f(x)的图象关于点,1对称,故A错误;
令x=,求得f(x)=3,为最大值,可得函数f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;
若x∈0,,则2x-∈-,函数f(x)的值域为[1-,3],故C错误;
令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,故函数的单调递减区间为kπ+,kπ+,k∈Z,故D正确,故选BD.
11.AD　由题图知,设P(x0,y0),当点P(x0,y0)位于曲线最高点(此时y0=2)时,△MPN面积最大,且PM⊥PN,
∴△MPN为等腰直角三角形,设MN的中点为Q,则PQ⊥MN且|PQ|=|MN|,即y0=|MN|=2,
∴|MN|=4,又ω>0,|MN|==4,∴ω=.
∴f(x)=2cosx+φ;
∵M(-1,0)在图象上,则2cos(-1)×+φ=0,
即(-1)×+φ=kπ+,解得φ=kπ+,k∈Z,
∵-<φ<,∴φ=-,∴f(x)=2cosx-,
∴f(0)=2cos-=,A正确,ω+φ=0,B错误,
令x-∈[2kπ-π,2kπ]得x∈[8k-3,8k+1],k∈Z,C错误,
令x-=kπ,得x=4k+1,k∈Z,当k=1时,x=5,D正确.故选AD.
12.ACD　因为函数f(x)=sin(3x+φ)-<φ<的图象关于直线x=对称,所以3×+φ=+kπ,k∈Z.
因为-<φ<,所以φ=-,
所以f(x)=sin3x-.
对于A,函数fx+=sin3x+-=sin 3x,根据正弦函数的奇偶性,因此函数fx+是奇函数,故A正确;
对于B,由于x∈,3x-∈0,,函数f(x)=sin3x-在上不单调,故B错误;
对于C,因为f(x)max=1,f(x)min=-1,又因为=2,f(x)=sin3x-的周期为T=,
所以的最小值为,C正确;
对于D,函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数fx-=sin3x--=-cos 3x,故D正确.
故选ACD.
三、填空题
13.-　因为sin(α+π)=,所以sin α=-,
又因为α∈π,,所以cos α=-=-.
14.y=3sin7x+　∵函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的振幅A为3,最小正周期为,∴ω=7.
初始相位φ为,则它的解析式为y=3sin7x+.
15.　扇形中,弧长为l=30,直径为d=16,
扇形的圆心角弧度数是α=.
16.-　函数y=cos2x+sin x-2=1-sin2x+sin x-2=-sin x-2-,
因为x∈-,所以sin x∈-,1,
当sin x=,即x=时,函数y取得最大值-.
四、解答题
17.解(1)因为tan α=,
所以=-.
(2)sin2α-sin αcos α-cos2α==-.
18.解(1)列表如下:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 1 0 -1 0
f(x)在一个周期内的图象如图所示,
(2)f(x)=sin2x+,令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以函数y=f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
(3)函数y=sin x先向左平移个单位长度得到函数y=sinx+,再将函数的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,即可得函数f(x)=sin2x+(答案不唯一).
19.解(1)把sin θ-cos θ=平方后,得1-2sin θcos θ=,可得sin θcos θ=-,可得sin θcos θ<0,
由θ∈(0,π),可得sin θ>0,cos θ<0,有θ∈,π.由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1-,有sin θ+cos θ=±.
(2)由(1)有,①解得
可得tan θ==-.
②解得
可得tan θ==-.
20.解(1)f(x)=2sin2x++a+1,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
(2)由f(x)=2sin2x++2=1,可得sin2x+=-,则2x++2k1π,k1∈Z或2x++2k2π,k2∈Z,即x=+k1π,k1∈Z或x=+k2π,k2∈Z,
又x∈[-π,π],解得x=-,-,
∴x的取值集合为.
21.解(1)依题意,当t=0 s时,以x轴正半轴为始边,OP0为终边的角是-,设离水高度的函数h=6sin+3,
因为80 s转动一周,则周期T=80,ω=,
因此,以x轴正半轴为始边,OP为终边的角是t-,
于是得点P的纵坐标为6sint-,
则h=6sint-+3,
所以所求函数关系为h=6sint-+3(t≥0).
(2)由(1)令h=6sint-+3=0,
即sint-=-,
当再次到达水面时,0解得t-,则有t=(s),
即此水斗经过s后再次到达水面,在旋转一周的过程中,水斗位于水下的时间是80-(s).
22.解(1)由题图知,A=2,T=4=π,则ω==2,由2sin2×+φ=2,即sin+φ=1,
故+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,
又φ∈0,,则φ=,故f(x)=2sin2x+.
令2x++kπ(k∈Z),得x=(k∈Z),
所以f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z).
(2)将f(x)图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到g(x)=2sin4x+的图象,
因为x∈0,,则≤4x+,
当≤4x+,即0≤x≤时,g(x)单调递增;
当≤4x+,即≤x≤时,g(x)单调递增,
所以g(x)在0,上的单调递增区间为0,,.