【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略2 二次函数的应用
一、选择题
1．（2023九上·江源月考）关于二次函数y=-（x-3）2+2的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值2 D．有最小值2
2．（2023九上·太原月考）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·茶山期中）二次函数y＝ax2-2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2-2ax+c＝0的解为（ ）
A．x1＝-3，x2＝-1 B．x1＝-1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝-3，x2＝1
4．（2023九上·凤山月考）现有一根长为50cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm 2 ，一边长为xcm，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y=x(50-x) B．y=x(50-2x) C．y=x(25-2x) D．y=x(25-x)
5．（2023九上·恩施期中）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．实数根 D．无法确定
6．（2022九上·霍邱月考）一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为（ ）
A．-43或x<-4
7．（2021九上·临沭期中）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．x＜-1 B．-1＜x＜3 C．x＜-1或x＞3 D．x＜-1或x＞4
8．（2023九上·云南开学考）如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．或
9．（2023九上·铁东月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·新河模拟）如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
二、填空题
11．（2022九上·通州期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ．
12．（2024九上·天津市期中）已知二次函数的图象与轴交于两点．若，则 ．
13．（2017·市北区模拟）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．
x（元∕件） 15 18 20 22 …
y（件） 250 220 200 180 …
按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是 ．
14．（2023·滨州）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为 ．
15．（2023九上·大冶期末）开口向上的抛物线过点，，，若，，三个数中有且只有一个数大于零，则a的取值范围是 .
16．（2023·莱阳模拟）如图1，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是 ．
三、解答题
17．已知抛物线的对称轴是直线x=2，顶点在直线y=x-1上，并且经过点(3，-8)．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）若点(1，y1)和(4，y2)都在这条抛物线上，试判断y1、y2的大小关系．
18．（2023九上·柯桥月考）已知二次函数y＝x2＋2(m－1)x－2m（m为常数）．
（1）求证无论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点A(x1，－1) B(x2，－1)在该函数图象上，将图像沿直线AB翻折，顶点恰好落在x轴上，求m的值．
19．（2023九上·相山期中）用10米的铝合金制成如图窗框矩形ABCD，其中点E，F分别在边AB，CD上，点G，H分别在边EF，BC上，且EF∥BC，GH⊥BC，BE=BC，BE≥3AE，记窗框矩形ABCD的面积为s平方米，边长BC为x米．
（1）求s关于x的表达式及自变量x的取值范围．
（2）求s的最大值．
20．（2023九上·六安期中）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”（如图1）便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图2所示．
图1 图2
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（），如果规定该玩具售价不超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求a的值．
21．（2023九上·裕安月考）小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点建立平面直角坐标系，篮球出手时在点正上方处的点已知篮球运动时的高度与水平距离之间满足函数表达式．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离．
22．（2023·曹县模拟）如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求的最大值；
（3）过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．
23．（2023·北京市模拟）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为（）．
（1）在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表：
水平距离 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
竖直高度 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是 m；
②求出与满足的函数解析式（）；
（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．则比较与的大小关系是： （填“”或“”或“”）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：a=-1<0，
二次函数y=-（x-3）2+2的最大值，
最大值为2，
故答案为：C.
【分析】先根据a<0判断二次函数的开口方向，再根据二次函数的顶点式即可求解.
2．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格知：当时，x=1.8，
∴ 一元二次方程的一个近似解是x=1.8，
故答案为：D.
【分析】由表格知：当时x=1.8，据此即可求解.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2-2ax+c的图象与x 轴的交点为（3，0），对称轴为直线x==1，
∴二次函数y＝ax2-2ax+c的图象与x 轴的另一个交点为（1，0），
∴方程ax2-2ax+c＝0的解为x1=1，x2=3，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的对称性得出二次函数y＝ax2-2ax+c的图象与x 轴的两个交点分别为（3，0），（1，0），即可得出方程ax2-2ax+c＝0的解为x1=1，x2=3.
4．【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵矩形的周长为50cm，一条边长为xcm
∴矩形的另一条边长为（-x）cm，即（25-x）cm
∴矩形的面积y=x（25-x）
故答案为：D.
【分析】根据矩形的周长=2（长+宽），已知周长和一条边，可以求出另一条边；根据矩形面积=长宽，可以求出函数表达式.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点，可得b2-4ac＞0，继而判断方程根的情况.
6．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：
不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为： -4故答案为：A.
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与性质求解集即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】因为抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点( 1，0)，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为(3，0)，
因为抛物线开口向上，当y>0时，x< 1或x>3.
故答案为：C.
【分析】先求出函数与x轴的交点坐标，再结合函数图象利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：解：令x=0，则y=-3，
所以，点C的坐标为（0，-3），
∵点D的坐标为（0，-1），
∴线段CD中点的纵坐标为×（-1-3）=-2，
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为-2，
当y=-2时，
解得：
∵点P在第四象限，
∴点的横坐标为
故答案为：A.
【分析】
根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】根据题意，
每天销售数量
每件的利润应为售价-成本，即（x-50）元
故
故答案为：D
【分析】分析题意，每天的利润应为每件利润和每天销售数量的乘积，分别写出每件利润和每天销售数量的表达式，对比4个选项，D符合题意。
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
故①符合题意；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线经过点，
∴-4a=2，解得：，
∴抛物线关系式为：，
∴当时，y有最大值，
故②不符合题意；
∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB=5．
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③符合题意；
当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值为．
故④符合题意；
故正确的有：①③④，
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的性质、三角形的面积及三角形的勾股定理的逆定理逐项判断即可。
11．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为
故答案为：
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】当y=0 ，则ax2-4ax+8=0 ，设方程ax2-4ax+8=0的两个根分别是x1 ，x2，
∴ x1+x2=4 ，x1x2=
∵AB=6
∴ AB ====6
∴=6 ∴ 16- =36 ∴a= 经检验符合题意。
故答案为： 。
【分析】设方程ax2-4ax+8=0的两个根分别是x1 ， x2 可得 x1+x2=4 ，x1x2= ，利用AB ====6 ，再解方程即可。
13．【答案】w=﹣10x2+500x﹣4000
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+400；
故日销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
w=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣10x+400）
=﹣10x2+500x﹣4000．
故答案为：w=﹣10x2+500x﹣4000．
【分析】根据题意得出日销售量y是销售价x的一次函数，再利用待定系数法求出即可，再根据销量×每件利润=总利润，即可得出所获利润w为二次函数．
14．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以池中心为原点，竖直的水管为y轴，垂直于水管方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意得设抛物线的解析式为，
将（3，0）代入得，
∴抛物线的解析式为，
当x=0时，y=2.25，
∴水管的长度为，
故答案为：
【分析】先根据题意建立平面直角坐标系，进而设抛物线的解析式为，代入（3，0）即可求出a，再令x=0时求出y即可求解。
15．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
设，
∴和关于对称轴对称，即，
∴，
若，抛物线开口向下，，则必小于0，不合题意，
∴，，，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】利用函数解析式求出抛物线的对称轴为直线x=1，设（3，y4），可知点（-1，y1）和（3，y4）关于对称轴对称，可知y1=y4≤0，可知当a＜0，不符合题意；当a＞0，可知y3＞0，由此可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到a的取值范围.
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；特殊角的三角函数值；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】结合题意，由图2可知，点F 的运动时间共计6秒，
∴BC+CD=4×6=24个单位，
又∵在中，，
∴BC+CD=BC+AB=2AB+AB=3AB=4×6=24个单位，
∴AB=24÷3=8 ，BC=2AB=2×8=16 ，
如下图所示，作EG┴BF于G ，易知BF=4t ， ，
∴ =
当时，有最大值为： ，此时，点F与点C重合为点，点E位于AB的中点处，入下图，4秒钟后，如果点E，继续向下运动到点处、如果点F继续向上运动到点处，得△，作┴AB于点H，此时，可以明显看出，△与△同高为，但是两三角形的底边，所以，△面积小于△的面积，即：4秒钟后，如果点E，继续向下运动、点F继续向上运动， 的面积逐渐减小至0 ，
综上所述，当运动时间为4秒时， 的面积最大为： ，即图2中 的值是。
故结果为：。
【分析】此题重点考察动点问题、利用二次函数求极值，综合考虑动点运动的全过程是解题的关键；此题需要学生具备良好的综合素养，难度较大。
17．【答案】（1）解：由题意得，将x=2代入直线y=x-1上得，
y=2-1=1，
则抛物线的顶点坐标为（2，1），
设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+1，
将点(3，-8) 代入抛物线得，
-8= a(3-2)2+1，
解得：a=-9，
则抛物线的解析式为：y=-9(x-2)2+1
（2）解：分别将点(1，y1)和(4，y2)代入y=-9(x-2)2+1中得：
y1=-9(1-2)2+1=-8，
y2=-9(4-2)2+1=-35，
所以y1＞y2.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）利用已知抛物线的对称轴是直线x=2，顶点在直线y=x-1上，可得到抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点（3，-8）代入函数解析式，可求出抛物线的解析式.
（2）分别将x=1和4代入函数解析式，可得到对应的y1、y2的值，然后比较大小即可.
18．【答案】（1）证明：当y＝0时，
x2＋2(m－1)x－2m＝0，
a＝1，b＝2(m－1)，c＝－2m，
∴b2－4ac＝4m2＋4，
∵m2≥0，
∴4m2＋4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
（2）解：∵y＝x2＋2(m－1)x－2m，
∴y＝(x＋m－1)2－m2－1．
∴顶点坐标为(1－m，－m2－1)．
∵沿AB折叠，－m2－1=-2
∴m2＝1．
∴m＝±1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；翻折变换（折叠问题）；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）令，得到一元二次方程：计算一元二次方程根的判别式即可；
（2）根据二次函数的性质得到其顶点坐标，根据题干：将图像沿直线AB翻折，顶点恰好落在x轴上，得到，即可得到m的值.
19．【答案】（1）解：设边长BC为x米，则边长AB为（10-4x）÷2＝（5-2x）米，
根据题意得：s＝x（5-8x）＝-2x2+5x，
∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，
∴四边形EBCF为矩形，
又∵BE＝EC，
∴四边形EBCF为正方形，
∵BC＝x，
∴AD＝BE＝BC＝CF＝EF＝GH＝x，
∴AE＝DF＝＝5-3x，
∵5-3x＞0，
∴x＜，
∵BE≥3AE，
∴x≥3（5-3x），
解得x≥，
∴≤x＜，
∴s关于x的表达式为s＝-2x2+5x，自变量x的取值范围为≤x＜；
（2）解：s＝-2x2+5x＝-2（x-）2+，
∴对称轴为x＝，
∵≤x＜，
∴当≤x＜时，y随x的增大而减小，
∴当x＝时，s有最大值-2(-）2+＝3．
答：s的最大值为3平方米．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设边长BC为x米，则边长AB为＝（5-2x）米，利用矩形面积公式列出函数解析式，再根据四边形EBCF为正方形， 求得AE ＝5-3x>0，BE≥3AE， 即可求出x的取值范围；
（2）根据（1）中解析式和自变量的取值范围，由二次函数的性质即可得出结论.
20．【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为，
由题意得解得，
∴y关于x的函数解析式为；
（2）解：由题意得，利润，
对称轴为直线，∵，∴，
∵规定该玩具售价不超过40元/件，∴时，ω取最大值2400，
∴，解得a=2．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设关于x的函数表达式为y=kx+b，在图象上找到两个点的坐标，用待定系数法求解；
（2）根据总利润=（售价-进价）数量建立总利润的二次函数，根据二次函数的性质求解。
21．【答案】（1）解：，
当时，，代入，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）解：，
，
，
当时，有最大值，
故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为；
（3）解：令，则有，
解得，，
根据题意可知不合题意，应舍去，
故小亮离小明的最短距离为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）结合图象找到P点坐标，函数中只有一个未知系数，代入即可求取；（2）离地最大高度即函数的最大值，函数图象开口向下，将解析式整理成顶点式或者根据顶点坐标公式都可以求得，当时，有最大值；（3）充分理解题意，求函数值为2.5时的x值，下落过程发生在过对称轴的右侧图象部分，故x值应大于4，小于4要舍去。
22．【答案】（1）解：∵抛物线与坐标轴相交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标是，则点E的坐标是，
∴，
∴当时，的最大值是2；
（3）解：过点B的直线交y轴于点C，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵过点D作x轴的垂线，垂足为G，
∴轴 ，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∴点H的坐标是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出直线AB的解析式，设点D的坐标是，则点E的坐标是，求出，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）过点D作x轴的垂线，垂足为G，先证出，可得，再求出，可得，即可得到点H的坐标是。
23．【答案】（1）解：①2.25②把，；，；，，分别代入，得，解得，∴
（2）解：①∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，∴向上平移1个单位，∴平移后的解析式为，即，当时，，解得，（不符合题意，舍去），∴，②<
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（1）第1空，令x=0，则y=2.25∴水管的长度是2.25m；
【分析】（1）①根据当x=0时，y=2.25即可求解；
②根据待定系数法求解即可；
（2）先求出调试①的抛物线解析式，然后令x=0可求出求出，，然后比较大小即可．
1 / 1【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略2 二次函数的应用
一、选择题
1．（2023九上·江源月考）关于二次函数y=-（x-3）2+2的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值3 B．有最小值3 C．有最大值2 D．有最小值2
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：a=-1<0，
二次函数y=-（x-3）2+2的最大值，
最大值为2，
故答案为：C.
【分析】先根据a<0判断二次函数的开口方向，再根据二次函数的顶点式即可求解.
2．（2023九上·太原月考）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格知：当时，x=1.8，
∴ 一元二次方程的一个近似解是x=1.8，
故答案为：D.
【分析】由表格知：当时x=1.8，据此即可求解.
3．（2023九上·茶山期中）二次函数y＝ax2-2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2-2ax+c＝0的解为（ ）
A．x1＝-3，x2＝-1 B．x1＝-1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝-3，x2＝1
【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2-2ax+c的图象与x 轴的交点为（3，0），对称轴为直线x==1，
∴二次函数y＝ax2-2ax+c的图象与x 轴的另一个交点为（1，0），
∴方程ax2-2ax+c＝0的解为x1=1，x2=3，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的对称性得出二次函数y＝ax2-2ax+c的图象与x 轴的两个交点分别为（3，0），（1，0），即可得出方程ax2-2ax+c＝0的解为x1=1，x2=3.
4．（2023九上·凤山月考）现有一根长为50cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm 2 ，一边长为xcm，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y=x(50-x) B．y=x(50-2x) C．y=x(25-2x) D．y=x(25-x)
【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵矩形的周长为50cm，一条边长为xcm
∴矩形的另一条边长为（-x）cm，即（25-x）cm
∴矩形的面积y=x（25-x）
故答案为：D.
【分析】根据矩形的周长=2（长+宽），已知周长和一条边，可以求出另一条边；根据矩形面积=长宽，可以求出函数表达式.
5．（2023九上·恩施期中）已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点，可得b2-4ac＞0，继而判断方程根的情况.
6．（2022九上·霍邱月考）一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为（ ）
A．-43或x<-4
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：
不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为： -4故答案为：A.
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与性质求解集即可。
7．（2021九上·临沭期中）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A．x＜-1 B．-1＜x＜3 C．x＜-1或x＞3 D．x＜-1或x＞4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】因为抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点( 1，0)，
根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为(3，0)，
因为抛物线开口向上，当y>0时，x< 1或x>3.
故答案为：C.
【分析】先求出函数与x轴的交点坐标，再结合函数图象利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
8．（2023九上·云南开学考）如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：解：令x=0，则y=-3，
所以，点C的坐标为（0，-3），
∵点D的坐标为（0，-1），
∴线段CD中点的纵坐标为×（-1-3）=-2，
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，
∴点P的纵坐标为-2，
当y=-2时，
解得：
∵点P在第四象限，
∴点的横坐标为
故答案为：A.
【分析】
根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可．
9．（2023九上·铁东月考）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】根据题意，
每天销售数量
每件的利润应为售价-成本，即（x-50）元
故
故答案为：D
【分析】分析题意，每天的利润应为每件利润和每天销售数量的乘积，分别写出每件利润和每天销售数量的表达式，对比4个选项，D符合题意。
10．（2022·新河模拟）如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
故①符合题意；
设抛物线关系式为：，
∵抛物线经过点，
∴-4a=2，解得：，
∴抛物线关系式为：，
∴当时，y有最大值，
故②不符合题意；
∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0），
∴AB=5．
当x=0时，y=2，
∴点C坐标为（0，2），
∴，
∵，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
故③符合题意；
当OP⊥AC时，OP取最小值，
此时根据三角形的面积可得，
∴，
解得OP=，
∴OP的最小值为．
故④符合题意；
故正确的有：①③④，
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的性质、三角形的面积及三角形的勾股定理的逆定理逐项判断即可。
二、填空题
11．（2022九上·通州期中）某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为
故答案为：
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
12．（2024九上·天津市期中）已知二次函数的图象与轴交于两点．若，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】当y=0 ，则ax2-4ax+8=0 ，设方程ax2-4ax+8=0的两个根分别是x1 ，x2，
∴ x1+x2=4 ，x1x2=
∵AB=6
∴ AB ====6
∴=6 ∴ 16- =36 ∴a= 经检验符合题意。
故答案为： 。
【分析】设方程ax2-4ax+8=0的两个根分别是x1 ， x2 可得 x1+x2=4 ，x1x2= ，利用AB ====6 ，再解方程即可。
13．（2017·市北区模拟）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．
x（元∕件） 15 18 20 22 …
y（件） 250 220 200 180 …
按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是 ．
【答案】w=﹣10x2+500x﹣4000
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+400；
故日销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
w=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣10x+400）
=﹣10x2+500x﹣4000．
故答案为：w=﹣10x2+500x﹣4000．
【分析】根据题意得出日销售量y是销售价x的一次函数，再利用待定系数法求出即可，再根据销量×每件利润=总利润，即可得出所获利润w为二次函数．
14．（2023·滨州）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以池中心为原点，竖直的水管为y轴，垂直于水管方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意得设抛物线的解析式为，
将（3，0）代入得，
∴抛物线的解析式为，
当x=0时，y=2.25，
∴水管的长度为，
故答案为：
【分析】先根据题意建立平面直角坐标系，进而设抛物线的解析式为，代入（3，0）即可求出a，再令x=0时求出y即可求解。
15．（2023九上·大冶期末）开口向上的抛物线过点，，，若，，三个数中有且只有一个数大于零，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
设，
∴和关于对称轴对称，即，
∴，
若，抛物线开口向下，，则必小于0，不合题意，
∴，，，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】利用函数解析式求出抛物线的对称轴为直线x=1，设（3，y4），可知点（-1，y1）和（3，y4）关于对称轴对称，可知y1=y4≤0，可知当a＜0，不符合题意；当a＞0，可知y3＞0，由此可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到a的取值范围.
16．（2023·莱阳模拟）如图1，在中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；特殊角的三角函数值；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】结合题意，由图2可知，点F 的运动时间共计6秒，
∴BC+CD=4×6=24个单位，
又∵在中，，
∴BC+CD=BC+AB=2AB+AB=3AB=4×6=24个单位，
∴AB=24÷3=8 ，BC=2AB=2×8=16 ，
如下图所示，作EG┴BF于G ，易知BF=4t ， ，
∴ =
当时，有最大值为： ，此时，点F与点C重合为点，点E位于AB的中点处，入下图，4秒钟后，如果点E，继续向下运动到点处、如果点F继续向上运动到点处，得△，作┴AB于点H，此时，可以明显看出，△与△同高为，但是两三角形的底边，所以，△面积小于△的面积，即：4秒钟后，如果点E，继续向下运动、点F继续向上运动， 的面积逐渐减小至0 ，
综上所述，当运动时间为4秒时， 的面积最大为： ，即图2中 的值是。
故结果为：。
【分析】此题重点考察动点问题、利用二次函数求极值，综合考虑动点运动的全过程是解题的关键；此题需要学生具备良好的综合素养，难度较大。
三、解答题
17．已知抛物线的对称轴是直线x=2，顶点在直线y=x-1上，并且经过点(3，-8)．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）若点(1，y1)和(4，y2)都在这条抛物线上，试判断y1、y2的大小关系．
【答案】（1）解：由题意得，将x=2代入直线y=x-1上得，
y=2-1=1，
则抛物线的顶点坐标为（2，1），
设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+1，
将点(3，-8) 代入抛物线得，
-8= a(3-2)2+1，
解得：a=-9，
则抛物线的解析式为：y=-9(x-2)2+1
（2）解：分别将点(1，y1)和(4，y2)代入y=-9(x-2)2+1中得：
y1=-9(1-2)2+1=-8，
y2=-9(4-2)2+1=-35，
所以y1＞y2.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）利用已知抛物线的对称轴是直线x=2，顶点在直线y=x-1上，可得到抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点（3，-8）代入函数解析式，可求出抛物线的解析式.
（2）分别将x=1和4代入函数解析式，可得到对应的y1、y2的值，然后比较大小即可.
18．（2023九上·柯桥月考）已知二次函数y＝x2＋2(m－1)x－2m（m为常数）．
（1）求证无论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）若点A(x1，－1) B(x2，－1)在该函数图象上，将图像沿直线AB翻折，顶点恰好落在x轴上，求m的值．
【答案】（1）证明：当y＝0时，
x2＋2(m－1)x－2m＝0，
a＝1，b＝2(m－1)，c＝－2m，
∴b2－4ac＝4m2＋4，
∵m2≥0，
∴4m2＋4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
（2）解：∵y＝x2＋2(m－1)x－2m，
∴y＝(x＋m－1)2－m2－1．
∴顶点坐标为(1－m，－m2－1)．
∵沿AB折叠，－m2－1=-2
∴m2＝1．
∴m＝±1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；翻折变换（折叠问题）；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）令，得到一元二次方程：计算一元二次方程根的判别式即可；
（2）根据二次函数的性质得到其顶点坐标，根据题干：将图像沿直线AB翻折，顶点恰好落在x轴上，得到，即可得到m的值.
19．（2023九上·相山期中）用10米的铝合金制成如图窗框矩形ABCD，其中点E，F分别在边AB，CD上，点G，H分别在边EF，BC上，且EF∥BC，GH⊥BC，BE=BC，BE≥3AE，记窗框矩形ABCD的面积为s平方米，边长BC为x米．
（1）求s关于x的表达式及自变量x的取值范围．
（2）求s的最大值．
【答案】（1）解：设边长BC为x米，则边长AB为（10-4x）÷2＝（5-2x）米，
根据题意得：s＝x（5-8x）＝-2x2+5x，
∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，
∴四边形EBCF为矩形，
又∵BE＝EC，
∴四边形EBCF为正方形，
∵BC＝x，
∴AD＝BE＝BC＝CF＝EF＝GH＝x，
∴AE＝DF＝＝5-3x，
∵5-3x＞0，
∴x＜，
∵BE≥3AE，
∴x≥3（5-3x），
解得x≥，
∴≤x＜，
∴s关于x的表达式为s＝-2x2+5x，自变量x的取值范围为≤x＜；
（2）解：s＝-2x2+5x＝-2（x-）2+，
∴对称轴为x＝，
∵≤x＜，
∴当≤x＜时，y随x的增大而减小，
∴当x＝时，s有最大值-2(-）2+＝3．
答：s的最大值为3平方米．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设边长BC为x米，则边长AB为＝（5-2x）米，利用矩形面积公式列出函数解析式，再根据四边形EBCF为正方形， 求得AE ＝5-3x>0，BE≥3AE， 即可求出x的取值范围；
（2）根据（1）中解析式和自变量的取值范围，由二次函数的性质即可得出结论.
20．（2023九上·六安期中）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”（如图1）便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图2所示．
图1 图2
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（），如果规定该玩具售价不超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求a的值．
【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为，
由题意得解得，
∴y关于x的函数解析式为；
（2）解：由题意得，利润，
对称轴为直线，∵，∴，
∵规定该玩具售价不超过40元/件，∴时，ω取最大值2400，
∴，解得a=2．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设关于x的函数表达式为y=kx+b，在图象上找到两个点的坐标，用待定系数法求解；
（2）根据总利润=（售价-进价）数量建立总利润的二次函数，根据二次函数的性质求解。
21．（2023九上·裕安月考）小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点建立平面直角坐标系，篮球出手时在点正上方处的点已知篮球运动时的高度与水平距离之间满足函数表达式．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离．
【答案】（1）解：，
当时，，代入，
解得：，
与的函数表达式为；
（2）解：，
，
，
当时，有最大值，
故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为；
（3）解：令，则有，
解得，，
根据题意可知不合题意，应舍去，
故小亮离小明的最短距离为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）结合图象找到P点坐标，函数中只有一个未知系数，代入即可求取；（2）离地最大高度即函数的最大值，函数图象开口向下，将解析式整理成顶点式或者根据顶点坐标公式都可以求得，当时，有最大值；（3）充分理解题意，求函数值为2.5时的x值，下落过程发生在过对称轴的右侧图象部分，故x值应大于4，小于4要舍去。
22．（2023·曹县模拟）如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求的最大值；
（3）过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与坐标轴相交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标是，则点E的坐标是，
∴，
∴当时，的最大值是2；
（3）解：过点B的直线交y轴于点C，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵过点D作x轴的垂线，垂足为G，
∴轴 ，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∴点H的坐标是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出b、c的值即可；
（2）先求出直线AB的解析式，设点D的坐标是，则点E的坐标是，求出，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）过点D作x轴的垂线，垂足为G，先证出，可得，再求出，可得，即可得到点H的坐标是。
23．（2023·北京市模拟）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为（）．
（1）在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表：
水平距离 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
竖直高度 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0
根据表格中的数据，解答下列问题：
①水管的长度是 m；
②求出与满足的函数解析式（）；
（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为；
②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．则比较与的大小关系是： （填“”或“”或“”）
【答案】（1）解：①2.25②把，；，；，，分别代入，得，解得，∴
（2）解：①∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，∴向上平移1个单位，∴平移后的解析式为，即，当时，，解得，（不符合题意，舍去），∴，②<
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（1）第1空，令x=0，则y=2.25∴水管的长度是2.25m；
【分析】（1）①根据当x=0时，y=2.25即可求解；
②根据待定系数法求解即可；
（2）先求出调试①的抛物线解析式，然后令x=0可求出求出，，然后比较大小即可．
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