【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略4 圆的认识
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）．
A．弧是半圆 B．过圆心的线段是直径
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】 解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以A错误；
B、过圆心的弦是直径， 过圆心的线段不一定是直径，所以B错误；
C、圆中所有弦都不大于直径，直径是圆中最长的弦，所以C正确；
D、圆是圆中最长的弧，半圆就不是圆中最长的弧了，所以D错误.
故答案为：C.
【分析】根据圆的有关概念：弧、半圆、弦、直径等分别作分析.
2．如图所示，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点在上，且不与点M，N重合.当点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长（ ）.
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断
【答案】C
【知识点】矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵ 四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当点P在 在上移动时，半径一定，
∴AB的长度不变
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等可得AB=OP=半径，据此即可得出答案.
3．（2021九上·湖南月考）下列说法正确的有（ ）
A．圆中最长的弦是直径 B．弦是直径
C．弧是半圆 D．圆只有一条对称轴
【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、圆中最长的弦是直径，正确，符合题意；
B、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
C、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
D、圆有无数条对称轴，故错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】圆中任意两点间的距离就是圆的弦，直径是弦，但弦不一定是直径，圆中最长的弦是直径，据此即可判断A、B；圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，据此可判断C；圆是轴对称图形，有无数条对称轴，任意一条直径所在的直线都是圆的一条对称轴，据此可判断D.
4．（2022九上·南宁开学考）下列命题中，正确的个数是（ ）
①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上的两点间的部分；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径相等的两个圆是等圆；⑤等于半径两倍的线段是直径．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：连接圆上任意两点间的线段就是弦，过圆心的弦是直径，所以直径是弦，弦不一定直径，故①错误；
弦是圆上两点之间的线段，所以②错误；
圆上任意两点间的部分就是弧，直径的两个端点间的部分就是半圆，所以半圆是弧，但弧不一定是半圆，故③正确；
直径相等的两个圆是等圆，所以④正确；
等于半径两倍的弦是直径，所以⑤错误.
故答案为：A.
【分析】连接圆上两点的线段为弦，过圆心的弦是直径，据此判断①②；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，据此判断③；根据等圆的概念可判断④；等于半径两倍的弦是直径，据此判断⑤.
5．（2020九上·河池期末）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故答案为：B.
【分析】由连接圆上任意两点间的距离就是弦即可判断得出答案.
6．下列说法，正确的是( )
A．半径相等的两个圆大小相等 B．长度相等的两条弧是等弧
C．直径不一定是圆中最长的弦 D．圆上两点之间的部分叫做弦
【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】A.根据半径确定圆的大小，故正确；
B.根据等弧的概念，长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误；
C.根据三角形的两边之和大于第三边，可以证明直径是圆中最长的弦，故错误；
D.圆上任意两点间的部分叫弧，故错误．
故选A．
【分析】理解等弧.直径.弦.弧的概念．
7．（2023九上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C．9 D．6
【答案】D
【知识点】圆的认识；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°， 点D恰好为线段AB的中点，
∴AB=2CD，
∵AC=CD=3，
∴AB=2×3=6，
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，再结合AC=CD=3，求出AB的长即可.
8．（2023·平凉模拟） 如图，、、是圆上的三点，且四边形是平行四边形，交圆于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆的认识
【解析】【解答】连接OB，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB=OC，AB//CO，
∵OB=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOA=30°，
故答案为：B.
【分析】连接OB，先证出△OAB是等边三角形，可得∠BOA=60°，再利用“三线合一”的性质可得∠AOF=∠BOA=30°.
9．（2023九上·南昌开学考） 如图，点A在数轴上表示的数是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】根据题意：
OB=OC=
O是原点
C点表示的数是
故答案为：D
【分析】根据勾股定理和同圆的半径都相等的性质来判定。
10．（2018九上·瑞安期末）如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE， BE，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】C
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系
【解析】【解答】当BE为三角形BCE的斜边的时候 C E 2 + B E 2有最大值
∴EC⊥x轴，
∵AO⊥x轴
∴AO=EC=1
则BE2=BC2+CE2=5
C E 2 + B E 2=1+5=6
故答案选C。
【分析】题目属于分析动点最大值的问题，E在圆上运动，分析什么时候 C E 2 + B E 2有最大值，根据平方的关系联想勾股定理，如果有一边为斜边，即有最大值。
二、填空题
11．（2019九上·温岭月考）战国时期的数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话中的“中”字的意思可以理解为
【答案】半径
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜(圆)，一中同长也”。表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；
故答案为：半径
【分析】根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等；由此判断即可．
12．（2020九上·杭州月考）如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b c（填＜、=、＞）
【答案】=
【知识点】矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连OM,OD.
四边形OEDF是矩形.
同理
.
故答案为：=.
【分析】根据矩形的两条对角线相等及同圆的半径相等即可作出判断.
13．某校计划在校园内修建一座周长为20m的花坛，同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是 （填图形）．
【答案】圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵周长相等的所有图形中圆的面积最大，
∴同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是圆，
故答案为：圆．
【分析】根据周长相等的所有图形中圆的面积最大求解．
14．如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠AOC的大小是 °．
【答案】48
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：连结OD，如图，
∵AB=2DE，
∴DE=DO，
∴∠E=∠DOE=16°，
∴∠CDO=∠E+∠DOE=32°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠CDO=32°，
∴∠AOC=∠C+∠E=32°+16°=48°．
故答案为48．
【分析】连结OD，如图，利用半径相等得到DE=DO，根据等腰三角形的性质得∠E=∠DOE=16°，则利用三角形外角性质可计算出∠CDO=32°，加上∠C=∠CDO=32°，然后再根据三角形外角性质可计算出∠AOC的度数．
15．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且CD=R，则AC的长为
【答案】R或R
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：如图1，∵CD⊥AB，
∴OD2=OC2+CD2，
∵OD=R，CD=R，
∴CO=R，
∴AC=R；
如图2，∵CD⊥AB，
∴OD2=OC2+CD2，
∵OD=R，CD= R，
∴CO=R，
∴AC=R；
故答案为R或 R
【分析】先画出图形，根据勾股定理求出OC的长，再分两种情况求出AC的长即可．
16．（2019九上·慈溪期中）过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E两点的圆的圆心为D，如果∠A=60°，那么∠B为 .
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】连接DE、CE，如图,设∠B=x
∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，
∴EA=EC=ED
∴∠A=∠ACE
∴∠4=180°-2∠A=180°-120°=60°
∵过B，E两点的圆的圆心为D，
∴DE=DB
∴∠1=∠B=x
∴∠2=∠1+∠B=2x
而EC=ED
∴∠3=∠2=2x
∵4=∠3+∠B
∴2x+x=60°，即x=20°
即∠B=20°
故答案为：20°
【分析】连接DE、CE，如图,设∠B=x，根据等腰三角形的性质由EA=EC得到∠A=∠ACE，再根据三角形内角和定理得到∠4=180°-2∠A=180°-120°=60°，而DE=DB，∠1=∠B=x，利用三角形外角性质得到∠2=∠1+∠B=2x，然后根据三角形外角性质得到2x+x=60°，即可解答.
三、解答题
17．（2018·金乡模拟）一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点O即为所求．
【知识点】圆的认识；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据圆上各点到圆心的距离相等可知，在圆弧上任取三点A、B、C，连接AB、AC，用尺规分别作AB、AC的垂直平分线相较于点O，则点O即为所求作的弧所在圆的圆心。
18．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C，D分别在OA，OB上，且AC=BD．求证：AD=BC．
【答案】证明：∵OA，OB是⊙O的两条半径，
∴AO= BO，
∵点C，D分别在OA，OB上，且AC=BD，
∴ OC=OD ，
在△OCB与△ODA中，
∴△OCB≌△ODA(SAS)，
∴ AD= BC．
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】先分别说明AO= BO，OC=OD，通过SAS来证明 △OCB≌△ODA ，从而可得AD= BC．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E．若AB=2DE，∠E=16°，求∠AOC的度数．
【答案】解：∵AB=2DE，
∴DE=DO，
∴∠E=∠DOE=16°，
∴∠CDO=∠E+∠DOE=32°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠CDO=32°，
∴∠AOC=∠C+∠E=32°+16°=48°．
【知识点】等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【分析】先说明DE=DO，利用“在同一个三角形中，等边对等角”求出∠E，再利用三角形外角的性质求得∠CDO，再利用“在同一个三角形中，等边对等角”求出∠C，从而可利用三角形外角的性质求得∠AOC.
20．如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的函数表达式为为半圆的直径，求这个“果圆”被轴截得的CD的长.
【答案】解：如图，设半圆AB的圆心为点M，连接CM，
∵令y=(x-1)2-4中的x=0，得y=-3，
∴OD=3，
令y=(x-1)2-4中的y=0，得(x-1)2-4=0，
解得x1=3，x2=-1，
∴点的坐标为A（-1，0），B的坐标为（3，0）
∴AB=4，OA=1，
∴AM=CM=2，
∴OM=1，
在Rt△COM中，利用勾股定理得OC=
∴CD=OC+OD=.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆的认识
【解析】【分析】如图，设半圆AB的圆心为点M，连接CM，分别令y=(x-1)2-4中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得A、B、D三点的坐标，从而得到OD、OA、OB、AB的长，进而得到OM、CM的长，用勾股定理算出OC的长，最后根据CD=OC+OD可算出答案.
21．（2024九上·丰台期中） 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N．此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．
已知点A（0，1）．
（1）若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；
（2）若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；
（3）若点P（3，-3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标yB的取值范围．
【答案】（1）解：如图1，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，
由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，
∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，
∴∠APO＝∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′（AAS），
∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，
∴A′（4，3），
∴点A关于点P的“二次变换图形”的坐标A′′（2，3）；
（2）解：分析可知点P在x轴的下方，如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，
设点P的纵坐标为m，
同（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），
∴AE＝PF＝1-m，EP＝A′F＝3，
∴A′（4-m，3+m），
由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，
∴4-m＝6，3+m＝1，
解得m＝-2，
∴P（3，-2）；
（3）yB的取值范围为：0≤yB≤
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识；轴对称的应用-最短距离问题；数学思想
【解析】【解答】解：（3）同（2）知A′（4-m，3+m），
∴A′′（m+2，3+m），
若点A′′在⊙O上，则（m+2）2+（3+m）2＝1，
解得m＝-2（舍）或m＝-3；
∴P（3，-3），
如图3，
∵线段AB＝1，
∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，
若AB其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B′′是一个临界点，
连接OB''，
∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，
∴△OA′′B′′是等边三角形，
过点B′′作B′′M⊥x轴于点M，则A′′M＝OM＝，B′′M＝，
∴B′′（-，-），
∴B′（，-），
∴B（，），
由对称性可知，另外一点的坐标为（-，），
∴yB的取值范围为：0≤yB≤．
【分析】（1）根据题意画出图形， 过点A′作A′D⊥x轴于点D， 可得到 △AOP≌△PDA′（AAS）， 进而得到 A′（4，3）， 即可得出结论；
（2） 分析可知点P在x轴的下方，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，设点P的纵坐标为m，表示出A′的坐标，列出方程求解即可得出结论；
（3）由（2）可知，A′′（m+2，3+m），由A关于点P的“二次变换图形”上任意一点都在⊙O及其内部，找到临界点B′′，可得出B′′的坐标，进而可得到点B的坐标，进而可得出yB的取值范围.
22．（2023九上·玉环期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）若∠ACO=25°，求∠BCD的度数．
（2）若EB=4cm，CD=16cm，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，CB= BD，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=25° ，
∴∠BCD=25° ；
（2）解：设⊙O的半径为Rcm， ．
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，CD=16cm，
∴CE=CD=×16=8 (cm)，在Rt△CEB中，EB2=BC2-CE2，EB=4cm，
∴OE= (R-4) cm，
在Rt△CEO中，OC2=OE2+CE2，
∴R2= (R-4) 2+82，
∴R=10，∴⊙O的半径为10cm
【知识点】圆的认识；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质可求解；
（2）设⊙O的半径为Rcm，在Rt△CEO中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程可求解.
23．（2017·鄞州模拟）设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如正方形ABCD满足A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点O(0，0)到正方形ABCD的距离为1.
（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O(0，0)到⊙P的距离为
（2）求点 到直线 的距离；
（3）如果点 到直线 的距离为3，求a的值.
【答案】（1）4
（2）解：直线 记为 ，过点 作 ，垂足为点 ，
设 与 轴的交点分别为 ，则 ．
∴ ．
∵
∴ ，即 ．∴ ．
∴点 到直线 的距离为 ．
（3）
【知识点】圆的认识；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）OP==5，
点O（0，0）到⊙P的距离为5-1=4；
(2)直线 y = 2 x + 1 记为 l ，过点 M 作 M H ⊥ l ，垂足为点 H ，
设 与 轴的交点分别为 ，则 ．
图1
∴ ．
∵
∴ ，即 ．∴ ．
∴点 到直线 的距离为 ．
（3）②N在F点的上边，如图2，过点N作NG⊥l，垂足为点G，
∵△EOF∽△NGF，
∴=，
即，
∴a=1+3；
N在F点的下边，
同理可得a=1-3；
故a＝1±3．
【分析】（1）根据勾股定理可得点O（0，0）到⊙P的距离；
（2）过点M作MH⊥l，垂足为点H，通过证明△EOF∽△MHE，由相似三角形的性质可得MH，从而得到点M到直线y=2x+1的距离；
（3）分两种情况：N在F点的上边；N在F点的下边；进行讨论先得到EN的长，进一步即可得到a的值.
1 / 1【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略4 圆的认识
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）．
A．弧是半圆 B．过圆心的线段是直径
C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧
2．如图所示，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点在上，且不与点M，N重合.当点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长（ ）.
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断
3．（2021九上·湖南月考）下列说法正确的有（ ）
A．圆中最长的弦是直径 B．弦是直径
C．弧是半圆 D．圆只有一条对称轴
4．（2022九上·南宁开学考）下列命题中，正确的个数是（ ）
①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上的两点间的部分；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径相等的两个圆是等圆；⑤等于半径两倍的线段是直径．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2020九上·河池期末）如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．下列说法，正确的是( )
A．半径相等的两个圆大小相等 B．长度相等的两条弧是等弧
C．直径不一定是圆中最长的弦 D．圆上两点之间的部分叫做弦
7．（2023九上·吉林期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
A． B．3 C．9 D．6
8．（2023·平凉模拟） 如图，、、是圆上的三点，且四边形是平行四边形，交圆于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·南昌开学考） 如图，点A在数轴上表示的数是3，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C表示的数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018九上·瑞安期末）如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE， BE，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
二、填空题
11．（2019九上·温岭月考）战国时期的数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话中的“中”字的意思可以理解为
12．（2020九上·杭州月考）如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b c（填＜、=、＞）
13．某校计划在校园内修建一座周长为20m的花坛，同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是 （填图形）．
14．如图：AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠AOC的大小是 °．
15．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且CD=R，则AC的长为
16．（2019九上·慈溪期中）过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E两点的圆的圆心为D，如果∠A=60°，那么∠B为 .
三、解答题
17．（2018·金乡模拟）一个圆形零件的部分碎片如图所示．请你利用尺规作图找到圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
18．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C，D分别在OA，OB上，且AC=BD．求证：AD=BC．
19．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E．若AB=2DE，∠E=16°，求∠AOC的度数．
20．如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的函数表达式为为半圆的直径，求这个“果圆”被轴截得的CD的长.
21．（2024九上·丰台期中） 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：将图形M绕直线x＝3上某一点P顺时针旋转90°，得到图形M'，再将图形M'关于直线x＝3对称，得到图形N．此时称图形N为图形M关于点P的“二次变换图形”．
已知点A（0，1）．
（1）若点P（3，0），直接写出点A关于点P的“二次变换图形”的坐标；
（2）若点A关于点P的“二次变换图形”与点A重合，求点P的坐标；
（3）若点P（3，-3），⊙O半径为1．已知长度为1的线段AB，其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O上或⊙O内，直接写出点B的纵坐标yB的取值范围．
22．（2023九上·玉环期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）若∠ACO=25°，求∠BCD的度数．
（2）若EB=4cm，CD=16cm，求⊙O的半径．
23．（2017·鄞州模拟）设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如正方形ABCD满足A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点O(0，0)到正方形ABCD的距离为1.
（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O(0，0)到⊙P的距离为
（2）求点 到直线 的距离；
（3）如果点 到直线 的距离为3，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】 解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，所以A错误；
B、过圆心的弦是直径， 过圆心的线段不一定是直径，所以B错误；
C、圆中所有弦都不大于直径，直径是圆中最长的弦，所以C正确；
D、圆是圆中最长的弧，半圆就不是圆中最长的弧了，所以D错误.
故答案为：C.
【分析】根据圆的有关概念：弧、半圆、弦、直径等分别作分析.
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：∵ 四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，
∴AB=OP=半径，
当点P在 在上移动时，半径一定，
∴AB的长度不变
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等可得AB=OP=半径，据此即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A、圆中最长的弦是直径，正确，符合题意；
B、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
C、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
D、圆有无数条对称轴，故错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】圆中任意两点间的距离就是圆的弦，直径是弦，但弦不一定是直径，圆中最长的弦是直径，据此即可判断A、B；圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，据此可判断C；圆是轴对称图形，有无数条对称轴，任意一条直径所在的直线都是圆的一条对称轴，据此可判断D.
4．【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：连接圆上任意两点间的线段就是弦，过圆心的弦是直径，所以直径是弦，弦不一定直径，故①错误；
弦是圆上两点之间的线段，所以②错误；
圆上任意两点间的部分就是弧，直径的两个端点间的部分就是半圆，所以半圆是弧，但弧不一定是半圆，故③正确；
直径相等的两个圆是等圆，所以④正确；
等于半径两倍的弦是直径，所以⑤错误.
故答案为：A.
【分析】连接圆上两点的线段为弦，过圆心的弦是直径，据此判断①②；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，据此判断③；根据等圆的概念可判断④；等于半径两倍的弦是直径，据此判断⑤.
5．【答案】B
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故答案为：B.
【分析】由连接圆上任意两点间的距离就是弦即可判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】A.根据半径确定圆的大小，故正确；
B.根据等弧的概念，长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误；
C.根据三角形的两边之和大于第三边，可以证明直径是圆中最长的弦，故错误；
D.圆上任意两点间的部分叫弧，故错误．
故选A．
【分析】理解等弧.直径.弦.弧的概念．
7．【答案】D
【知识点】圆的认识；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°， 点D恰好为线段AB的中点，
∴AB=2CD，
∵AC=CD=3，
∴AB=2×3=6，
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2CD，再结合AC=CD=3，求出AB的长即可.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆的认识
【解析】【解答】连接OB，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB=OC，AB//CO，
∵OB=OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOA=30°，
故答案为：B.
【分析】连接OB，先证出△OAB是等边三角形，可得∠BOA=60°，再利用“三线合一”的性质可得∠AOF=∠BOA=30°.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】根据题意：
OB=OC=
O是原点
C点表示的数是
故答案为：D
【分析】根据勾股定理和同圆的半径都相等的性质来判定。
10．【答案】C
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系
【解析】【解答】当BE为三角形BCE的斜边的时候 C E 2 + B E 2有最大值
∴EC⊥x轴，
∵AO⊥x轴
∴AO=EC=1
则BE2=BC2+CE2=5
C E 2 + B E 2=1+5=6
故答案选C。
【分析】题目属于分析动点最大值的问题，E在圆上运动，分析什么时候 C E 2 + B E 2有最大值，根据平方的关系联想勾股定理，如果有一边为斜边，即有最大值。
11．【答案】半径
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜(圆)，一中同长也”。表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等；
故答案为：半径
【分析】根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等；由此判断即可．
12．【答案】=
【知识点】矩形的性质；圆的认识
【解析】【解答】解：连OM,OD.
四边形OEDF是矩形.
同理
.
故答案为：=.
【分析】根据矩形的两条对角线相等及同圆的半径相等即可作出判断.
13．【答案】圆
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：∵周长相等的所有图形中圆的面积最大，
∴同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是圆，
故答案为：圆．
【分析】根据周长相等的所有图形中圆的面积最大求解．
14．【答案】48
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：连结OD，如图，
∵AB=2DE，
∴DE=DO，
∴∠E=∠DOE=16°，
∴∠CDO=∠E+∠DOE=32°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠CDO=32°，
∴∠AOC=∠C+∠E=32°+16°=48°．
故答案为48．
【分析】连结OD，如图，利用半径相等得到DE=DO，根据等腰三角形的性质得∠E=∠DOE=16°，则利用三角形外角性质可计算出∠CDO=32°，加上∠C=∠CDO=32°，然后再根据三角形外角性质可计算出∠AOC的度数．
15．【答案】R或R
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：如图1，∵CD⊥AB，
∴OD2=OC2+CD2，
∵OD=R，CD=R，
∴CO=R，
∴AC=R；
如图2，∵CD⊥AB，
∴OD2=OC2+CD2，
∵OD=R，CD= R，
∴CO=R，
∴AC=R；
故答案为R或 R
【分析】先画出图形，根据勾股定理求出OC的长，再分两种情况求出AC的长即可．
16．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【解答】连接DE、CE，如图,设∠B=x
∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，
∴EA=EC=ED
∴∠A=∠ACE
∴∠4=180°-2∠A=180°-120°=60°
∵过B，E两点的圆的圆心为D，
∴DE=DB
∴∠1=∠B=x
∴∠2=∠1+∠B=2x
而EC=ED
∴∠3=∠2=2x
∵4=∠3+∠B
∴2x+x=60°，即x=20°
即∠B=20°
故答案为：20°
【分析】连接DE、CE，如图,设∠B=x，根据等腰三角形的性质由EA=EC得到∠A=∠ACE，再根据三角形内角和定理得到∠4=180°-2∠A=180°-120°=60°，而DE=DB，∠1=∠B=x，利用三角形外角性质得到∠2=∠1+∠B=2x，然后根据三角形外角性质得到2x+x=60°，即可解答.
17．【答案】解：如图，点O即为所求．
【知识点】圆的认识；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据圆上各点到圆心的距离相等可知，在圆弧上任取三点A、B、C，连接AB、AC，用尺规分别作AB、AC的垂直平分线相较于点O，则点O即为所求作的弧所在圆的圆心。
18．【答案】证明：∵OA，OB是⊙O的两条半径，
∴AO= BO，
∵点C，D分别在OA，OB上，且AC=BD，
∴ OC=OD ，
在△OCB与△ODA中，
∴△OCB≌△ODA(SAS)，
∴ AD= BC．
【知识点】圆的认识
【解析】【分析】先分别说明AO= BO，OC=OD，通过SAS来证明 △OCB≌△ODA ，从而可得AD= BC．
19．【答案】解：∵AB=2DE，
∴DE=DO，
∴∠E=∠DOE=16°，
∴∠CDO=∠E+∠DOE=32°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠CDO=32°，
∴∠AOC=∠C+∠E=32°+16°=48°．
【知识点】等腰三角形的性质；圆的认识
【解析】【分析】先说明DE=DO，利用“在同一个三角形中，等边对等角”求出∠E，再利用三角形外角的性质求得∠CDO，再利用“在同一个三角形中，等边对等角”求出∠C，从而可利用三角形外角的性质求得∠AOC.
20．【答案】解：如图，设半圆AB的圆心为点M，连接CM，
∵令y=(x-1)2-4中的x=0，得y=-3，
∴OD=3，
令y=(x-1)2-4中的y=0，得(x-1)2-4=0，
解得x1=3，x2=-1，
∴点的坐标为A（-1，0），B的坐标为（3，0）
∴AB=4，OA=1，
∴AM=CM=2，
∴OM=1，
在Rt△COM中，利用勾股定理得OC=
∴CD=OC+OD=.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理；圆的认识
【解析】【分析】如图，设半圆AB的圆心为点M，连接CM，分别令y=(x-1)2-4中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得A、B、D三点的坐标，从而得到OD、OA、OB、AB的长，进而得到OM、CM的长，用勾股定理算出OC的长，最后根据CD=OC+OD可算出答案.
21．【答案】（1）解：如图1，过点A′作A′D⊥x轴于点D，
∴∠A′DP＝∠AOP＝90°，
由旋转可知，∠APA′＝90°，AP＝A′P，
∴∠APO+∠A′PD＝∠A′PD+∠PA′D＝90°，
∴∠APO＝∠PA′D，
∴△AOP≌△PDA′（AAS），
∴OA＝PD＝1，OP＝A′D＝3，
∴A′（4，3），
∴点A关于点P的“二次变换图形”的坐标A′′（2，3）；
（2）解：分析可知点P在x轴的下方，如图2，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，
设点P的纵坐标为m，
同（1）知△AEP≌△PFA′（AAS），
∴AE＝PF＝1-m，EP＝A′F＝3，
∴A′（4-m，3+m），
由题意可知，点A与点A′关于直线x＝3对称，
∴4-m＝6，3+m＝1，
解得m＝-2，
∴P（3，-2）；
（3）yB的取值范围为：0≤yB≤
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的认识；轴对称的应用-最短距离问题；数学思想
【解析】【解答】解：（3）同（2）知A′（4-m，3+m），
∴A′′（m+2，3+m），
若点A′′在⊙O上，则（m+2）2+（3+m）2＝1，
解得m＝-2（舍）或m＝-3；
∴P（3，-3），
如图3，
∵线段AB＝1，
∴点B在以点A为圆心，1为半径的圆上，
若AB其关于点P的“二次变换图形”上的任意一点都在⊙O及其内部，如图3，可知点B′′是一个临界点，
连接OB''，
∵OA′′＝A′′B′′＝OB′′＝1，
∴△OA′′B′′是等边三角形，
过点B′′作B′′M⊥x轴于点M，则A′′M＝OM＝，B′′M＝，
∴B′′（-，-），
∴B′（，-），
∴B（，），
由对称性可知，另外一点的坐标为（-，），
∴yB的取值范围为：0≤yB≤．
【分析】（1）根据题意画出图形， 过点A′作A′D⊥x轴于点D， 可得到 △AOP≌△PDA′（AAS）， 进而得到 A′（4，3）， 即可得出结论；
（2） 分析可知点P在x轴的下方，过点P作PE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴交EP于点F，设点P的纵坐标为m，表示出A′的坐标，列出方程求解即可得出结论；
（3）由（2）可知，A′′（m+2，3+m），由A关于点P的“二次变换图形”上任意一点都在⊙O及其内部，找到临界点B′′，可得出B′′的坐标，进而可得到点B的坐标，进而可得出yB的取值范围.
22．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，CB= BD，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=25° ，
∴∠BCD=25° ；
（2）解：设⊙O的半径为Rcm， ．
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，CD=16cm，
∴CE=CD=×16=8 (cm)，在Rt△CEB中，EB2=BC2-CE2，EB=4cm，
∴OE= (R-4) cm，
在Rt△CEO中，OC2=OE2+CE2，
∴R2= (R-4) 2+82，
∴R=10，∴⊙O的半径为10cm
【知识点】圆的认识；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质可求解；
（2）设⊙O的半径为Rcm，在Rt△CEO中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程可求解.
23．【答案】（1）4
（2）解：直线 记为 ，过点 作 ，垂足为点 ，
设 与 轴的交点分别为 ，则 ．
∴ ．
∵
∴ ，即 ．∴ ．
∴点 到直线 的距离为 ．
（3）
【知识点】圆的认识；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）OP==5，
点O（0，0）到⊙P的距离为5-1=4；
(2)直线 y = 2 x + 1 记为 l ，过点 M 作 M H ⊥ l ，垂足为点 H ，
设 与 轴的交点分别为 ，则 ．
图1
∴ ．
∵
∴ ，即 ．∴ ．
∴点 到直线 的距离为 ．
（3）②N在F点的上边，如图2，过点N作NG⊥l，垂足为点G，
∵△EOF∽△NGF，
∴=，
即，
∴a=1+3；
N在F点的下边，
同理可得a=1-3；
故a＝1±3．
【分析】（1）根据勾股定理可得点O（0，0）到⊙P的距离；
（2）过点M作MH⊥l，垂足为点H，通过证明△EOF∽△MHE，由相似三角形的性质可得MH，从而得到点M到直线y=2x+1的距离；
（3）分两种情况：N在F点的上边；N在F点的下边；进行讨论先得到EN的长，进一步即可得到a的值.
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