【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略6 垂径定理
一、选择题
1．（2022九上·舟山月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
2．（2022九上·龙港期中）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A． B．4 C．5 D．6
3．（2021·拱墅模拟）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A． m B． m C．5m D． m
4．（2022九上·长顺期末）如图，在中，是直径，是弦，于，，，则的长为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
5．（2016九上·瑞安期中）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为（ ）
A．1 cm B．2 cm C．3cm D．4cm
6．（2023九上·柯桥月考）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接．若，，则的长为（ ）
A．10 B．5 C． D．
7．（2022九上·桐庐期中）已知的半径为，若，则经过点的弦长可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·杭州期末）如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E分别为AB，AC边上的中点，延长DE交⊙O于点F，若BC=2，则EF=（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九上·浦江期中）如图，四边形为矩形，AB = 3，BC = 4．点P是线段上一动点，点M为线段AP上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·南湖期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与BCFG，点M，N，P，Q分别是DE，FG，弧AC，弧BC的中点.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是（ ）
A． B． C．13 D．16
二、填空题
11．（2019九上·鄞州月考）如图， 弦CD垂直平分半径OB，若直径AB=8，则CD= .
12．（2019九上·三门期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在墙壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”问题题意为：如图，有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径大小.用锯去锯这木材，锯口深1寸(即CD＝1寸)，锯道长1尺(即AB＝1尺)，问这圆形木材直径是多少？(注：1尺＝10寸)由此，可求出这圆形木材直径为 寸.
13．（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为
米.
14．（2022九上·台州月考）已知⊙O的半径为10，弦AB//CD， AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 .
15．（2022九上·江北期末）如图，在Rt中，，点为上一点，连结，若，则的最大值为 .
16．（2021九上·上城期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 .
三、解答题
17．（2022九上·南湖期中）如图，为的直径，弦于点E，若，，求弦的长.
18．（2017·七里河模拟）如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．
19．（2022九上·金东月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．
20．（2021九上·北仑期中）已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
21．某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图）．
（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；
（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=12cm，水面最深地方的高度为6cm，请你求出这个圆形截面的半径r及破裂管道有水部分的截面图的面积S．
22．（2022九上·义乌期中）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，．
（1）求证：平分；
（2）过点O作于点E，交于点P．若，，求的长．
23．（2022九上·定海期中）如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE
②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等弧的定义、圆的对称轴、垂径定理、半圆的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA.
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，
∴AM＝＝4，OM⊥AB.
在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，
∴OA＝＝5.
∴⊙O的半径等于5.
故答案为：C.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得∠AMO=90°，AM=4，利用勾股定理算出OA，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝ （m），
即这个轮子的半径长为 m，
故答案为：D.
【分析】连接OB，利用垂径定理可求出BD的长，再利用勾股定理可求出OB的长.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
是直径，是弦，于，，
，
，
，
.
.
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得AM=4，在Rt△AMO中，利用勾股定理算出OM，进而根据DM=OD-OM即可算出答案.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】过点O作OF⊥DE，垂足为F，
∵OF过圆心，
∵DE=8cm，
∴EF= DE=4cm，
∵OC=5cm，
∴OE=5cm，
∴OF= cm．
故答案为：C．
【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，根据吹经定理得出EF的长，根据勾股定理即可求出OF的长。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，如下图：
∵AB为的直径，且
∴
∵是的弦，且，
∴
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接OD，根据已知条件求得然后根据垂径定理求出MD的长度，再根据勾股定理得到OM的长度，进而得到AM的长度，最后再根据勾股定理即可求出AD的长度.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当过点P的弦不是直径时，
如图，连接OB，过点O作OP⊥AB于点P，
∴∠OPB=90°，AB=2BP，
∴，
∴AB=2×4=8；
当过点P的弦是直径时，AB=2×5=10；
∴8≤AB≤10，故A，B，D不符合题意，C符合题意；
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当过点P的弦不是直径时，连接OB，过点O作OP⊥AB于点P，利用垂径定理可知AB=2BP，利用勾股定理求出BP的长，可得到AB的长；当过点P的弦是直径时，AB=2×5=10；据此可得到AB的取值范围，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交BC于点H，交DE于点M，再连接OF、OC；
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵等边△ABC内接于⊙O ，
∴AH⊥BC，AH⊥DE，∠CAH=∠HCO=30°，AC=BC=2，
∴HC=BC=1，
在Rt△AHC中，由勾股定理得AH=，
∵E是AC的中点，DE∥BC，
∴ME=HC=，HM=AH=，
在Rt△OHC中，∠HCO=30°，
∴OH=，OC=，
∴OM=MH-OH=，
在Rt△OFM中，由勾股定理得MF=，
∴EF=MF-ME=.
故答案为：.
【分析】连接AO并延长，交BC于点H，交DE于点M，再连接OF、OC；根据三角形中位线定理得DE∥BC，根据圆的内接正多边形的性质得AH⊥BC，AH⊥DE，∠CAH=∠HCO=30°，AC=BC=2，根据垂径定理得HC=BC=1，在Rt△AHC中，由勾股定理算出AH，根据三角形中位线的定理得ME=HC=，HM=AH=，在Rt△OHC中，根据含30°角直角三角形的性质算出OH、OC的长，从而可得OM的长，在Rt△OFM中，由勾股定理算出MF的长，最后根据EF=MF-ME即可算出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：以AD为直径作圆O，连接OB，OM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=4，
∵∠BAP+∠DAM=90°，
∵∠ADM=∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AD是直径，
∴AO=OD=OM=AD=2，
∴，
∵，
∴当点B，M，O三点共线时，BM最小，最小值就是.
故答案为：D
【分析】以AD为直径作圆O，连接OB，OM，利用矩形的性质可证得∠BAD=90°，AD=BC=4，利用∠ADM=∠BAP，∠BAP+∠DAM=90°，可推出∠AMD=90°，利用圆周角定理可证得AD是直径，可求出OM，OA的长，利用勾股定理求出OB的长，利用三角形的三边关系定理可得到BM≤OB-ON，可知当点B，M，O三点共线时，BM最小，即可求出BM的最小值.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图，连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，
∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI=(AC+BC)=9，
∴MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，
∴PH+QI=18-14=4，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，
故答案为：C.
【分析】连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，由垂径定理得OP⊥AC，OQ⊥BC，H、I是AC、BD的中点，进而由三角形的中位线定理得OH+OI=(AC+BC)=9，结合已知得PH+QI=4，据此就不难算出AB的长了.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵弦CD垂直平分半径OB，垂足为E，AB=8cm，
∴OE= AB=2cm，OD=4
设ED=x，则
∴OE2+DE2=OD2，即22+x2=42，解得x=2 ，
∴CD=4 （cm）.
故答案为：4
【分析】连接OD，根据垂直平分线的定义得出OE的长，在Rt△OED中，根据勾股定理算出DE的长，进而根据垂径定理即可得出CD的长.
12．【答案】26
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：延长CD，交⊙O于点E，连接OA，
由题意知CE过点O，且OC⊥AB，
则AD＝BD＝ AB＝5（寸），
设圆形木材半径为r，
则OD＝r﹣1，OA＝r，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
解得r＝13，
所以⊙O的直径为26寸。
故答案为：26。
【分析】延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，根据垂径定理得出AD的长，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解即可算出该圆的半径。
13．【答案】26
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作 ，作 ，如下图：
则四边形 为矩形， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
∵ ，∴ ，
解得 ，
，
故半径长为26米.
故答案为：26.
【分析】作OE⊥AB，DF⊥OE，则四边形CDFE为矩形，DF=FC，EF=CD=14，由垂径定理可得BE=10，则CE=DF=24，设OF=x，则OE=x+14，由勾股定理可得OD2，OB2，然后根据OB=OD可得x，接下来利用勾股定理进行求解就可得到OD.
14．【答案】2或14
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，OB，
当AB和CD在圆心的同一侧时，、
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴∠OED=∠OFB=90°，DE=CD=8，BF=AB=6，
∴，
∴EF=OF-OE=8-6=2；
当AB和CD在圆心的异侧时，
EF=OE+OF=6+8=14；
∴AB和CD的距离为2或14.
故答案为：2或14
【分析】过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，OB，分情况讨论：当AB和CD在圆心的同一侧时，利用垂直的定义可证得∠OED=∠OFB=90°，利用垂径定理可求出OE，OF的长；然后根据EF=OF-OE，代入计算求出EF的长；当AB和CD在圆心的异侧时，可知EF=OE+OF，代入计算求出EF的长；综上所述可得到AB和CD的距离.
15．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图1，作△BCD的外接圆⊙O，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，连结OB，
∵∠AEO=∠AFO=∠BAC=90°，
∴四边形OFAE是矩形，
∴AE=OF，
∵DE=CE=CD，
∴CD=2CE，
CD，CE的长度不变，当OF最大时，则AE最大，此时AD最大，
∴的值也最大，
∵OF≤OB，
∴当OF=OB时，OF的最大，
此时，点B与点F重合，
如图2，当点B与点F重合时，连结OD、OC，
设DE=CE=m，则CD=2m，
∵∠DBC=45°，
∴∠DOC=2∠DBC=90°，
∵OD=OC，
∴OE=CD=DE=m，
∴AE=OB=OD=，
∴AD=AE-DE=m-m，
∴，
故答案为：.
【分析】作△BCD的外接圆⊙O，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，连结OB，由题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFAE是矩形，则AE=OF，由垂径定理可得CD=2CE，而CD，CE的长度不变，当OF最大时，则AE最大，此时AD最大，即的值也最大，结合题意当OF=OB时，OF的值最大，此时，点B与点F重合，连结OD、OC，设DE=CE=m，则CD=2m，易得AE=OB=OD，在直角三角形ODE中，用勾股定理可求得AE=OB=OD的值，由线段的构成AD=AE-DE可将AD用含m的代数式表示出来，再把AD、CD代入计算可求解.
16．【答案】 ≤PM≤
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN.
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝ DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为 ，
当DN＝AC时，PM最小，最小值为 ，
∴PM的范围是 ≤PM≤ .
故答案为： ≤PM≤ .
【分析】延长CP交⊙O于N，连接DN，由垂径定理可得CP＝PN，进而推出PM＝DN，当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，据此求解.
17．【答案】解：连接，如图所示：
∵为的直径，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理得CD=2CE，然后根据勾股定理算出CE即可得出答案.
18．【答案】解：如图，连接OB．
∵AD是△ABC的高．
∴BD= BC=6
在Rt△ABD中，AD= = =8．
设圆的半径是R．
则OD=8﹣R．
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2
解得：R= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂经定理求出BD的长，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，设圆的半径是R，则OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.
19．【答案】解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，
∴CE＝＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过点C作CE⊥AD于点E，由垂径定理可得AE＝DE，根据勾股定理可得AB=5，由等面积法可得CE，利用勾股定理求出AE，进而可得AD.
20．【答案】解：证明：过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，
∵AO平分∠BAC，∠ADO=∠AEO=90°，AB=2AD，AC=2AE，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）
∴AD=AE，
∴AB=AC.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；垂径定理
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，利用垂径定理可证得AB=2AD，AC=2AE，利用角平分线的性质可证得OD=OE，利用HL可证得Rt△ADO≌Rt△AEO，可推出AE=AD，由此可证得结论.
21．【答案】解：（1）如图：
（2）过点O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，则CD=6cm．
∵OC⊥AB，
∴BD=AD=AB，
∵AB=12cm，
∴BD=AD=6cm，
∵半径为rcm，则OD=（r﹣6）cm，
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：
BD2+OD2=BO2，
∴，
解得r=12，
∴这个圆形截面的半径为12cm．
又∵设弧长AB所对圆心角为θ，则，
在Rt△BOD中，BD=6，OB=12，
∴，且∠DOB为Rt△BOD的一个内角，
求得=60°
∴θ=120°
∵S=S扇形OACB面积﹣S△OAB面积=
=（cm2）．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；
（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出BD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径，解直角三角函数求得∠DOB=60°，然后根据S=S扇形OACB面积﹣S△OAB面积求得即可．
22．【答案】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC，
∴∠OAC＝∠BAC，
∴AC平分∠OAB；
（2）解：∵OE⊥AB，O为圆心，
∴AE AB ，
在Rt△AOE中，∠AOE＝30°，∠AEO＝90°，
∴∠OAE＝60°，
由（1）得，AC平分∠OAB，
∴∠EAP ∠OAE＝30°，
在Rt△APE中，∠EAP＝30°，
∴PE＝
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得∠OAC＝∠C，根据二直线平行，内错角相等得∠C＝∠BAC，则∠OAC＝∠BAC，据此即可得出答案；
（2）根据垂径定理得AE=，根据三角形的内角和定理得∠OAE＝60°，根据角平分线的定义得∠EAP=30°，在Rt△APE中，根据含30°直角三角形的性质即可得出PE的长.
23．【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠BPC=∠BAC=60° ，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABCC三边的垂直平分线的交点，
∴∠BAC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE 在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴
（2）解：①如图所示，连接PC，
同理可得 ，
∵
∴
∴ =30°，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ HE=PE ；
②由①得 ，
∴
∵
∴H是在以 B C为弦，圆周角 的圆上运动，
如图所示，劣弧 即为H的运动轨迹，过点 作 于 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，PC，证出△OPC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OE=PE；
（2）①连接PC，证出△CPH是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OHE=PE；
②根据题意得出H是在以BC为弦，圆周角的圆上运动，从而得出劣弧 即为H的运动轨迹，利用弧长公式求出的长度，即可得出答案.
1 / 1【浙教版】2023-2024学年数学九年级上册期末冲刺满分攻略6 垂径定理
一、选择题
1．（2022九上·舟山月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等弧的定义、圆的对称轴、垂径定理、半圆的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2022九上·龙港期中）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA.
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，
∴AM＝＝4，OM⊥AB.
在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，
∴OA＝＝5.
∴⊙O的半径等于5.
故答案为：C.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得∠AMO=90°，AM=4，利用勾股定理算出OA，即可得出答案.
3．（2021·拱墅模拟）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A． m B． m C．5m D． m
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝ （m），
即这个轮子的半径长为 m，
故答案为：D.
【分析】连接OB，利用垂径定理可求出BD的长，再利用勾股定理可求出OB的长.
4．（2022九上·长顺期末）如图，在中，是直径，是弦，于，，，则的长为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
是直径，是弦，于，，
，
，
，
.
.
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得AM=4，在Rt△AMO中，利用勾股定理算出OM，进而根据DM=OD-OM即可算出答案.
5．（2016九上·瑞安期中）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为（ ）
A．1 cm B．2 cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】过点O作OF⊥DE，垂足为F，
∵OF过圆心，
∵DE=8cm，
∴EF= DE=4cm，
∵OC=5cm，
∴OE=5cm，
∴OF= cm．
故答案为：C．
【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，根据吹经定理得出EF的长，根据勾股定理即可求出OF的长。
6．（2023九上·柯桥月考）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接．若，，则的长为（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，如下图：
∵AB为的直径，且
∴
∵是的弦，且，
∴
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接OD，根据已知条件求得然后根据垂径定理求出MD的长度，再根据勾股定理得到OM的长度，进而得到AM的长度，最后再根据勾股定理即可求出AD的长度.
7．（2022九上·桐庐期中）已知的半径为，若，则经过点的弦长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当过点P的弦不是直径时，
如图，连接OB，过点O作OP⊥AB于点P，
∴∠OPB=90°，AB=2BP，
∴，
∴AB=2×4=8；
当过点P的弦是直径时，AB=2×5=10；
∴8≤AB≤10，故A，B，D不符合题意，C符合题意；
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当过点P的弦不是直径时，连接OB，过点O作OP⊥AB于点P，利用垂径定理可知AB=2BP，利用勾股定理求出BP的长，可得到AB的长；当过点P的弦是直径时，AB=2×5=10；据此可得到AB的取值范围，即可求解.
8．（2023九上·杭州期末）如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E分别为AB，AC边上的中点，延长DE交⊙O于点F，若BC=2，则EF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交BC于点H，交DE于点M，再连接OF、OC；
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵等边△ABC内接于⊙O ，
∴AH⊥BC，AH⊥DE，∠CAH=∠HCO=30°，AC=BC=2，
∴HC=BC=1，
在Rt△AHC中，由勾股定理得AH=，
∵E是AC的中点，DE∥BC，
∴ME=HC=，HM=AH=，
在Rt△OHC中，∠HCO=30°，
∴OH=，OC=，
∴OM=MH-OH=，
在Rt△OFM中，由勾股定理得MF=，
∴EF=MF-ME=.
故答案为：.
【分析】连接AO并延长，交BC于点H，交DE于点M，再连接OF、OC；根据三角形中位线定理得DE∥BC，根据圆的内接正多边形的性质得AH⊥BC，AH⊥DE，∠CAH=∠HCO=30°，AC=BC=2，根据垂径定理得HC=BC=1，在Rt△AHC中，由勾股定理算出AH，根据三角形中位线的定理得ME=HC=，HM=AH=，在Rt△OHC中，根据含30°角直角三角形的性质算出OH、OC的长，从而可得OM的长，在Rt△OFM中，由勾股定理算出MF的长，最后根据EF=MF-ME即可算出答案.
9．（2022九上·浦江期中）如图，四边形为矩形，AB = 3，BC = 4．点P是线段上一动点，点M为线段AP上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：以AD为直径作圆O，连接OB，OM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=4，
∵∠BAP+∠DAM=90°，
∵∠ADM=∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AD是直径，
∴AO=OD=OM=AD=2，
∴，
∵，
∴当点B，M，O三点共线时，BM最小，最小值就是.
故答案为：D
【分析】以AD为直径作圆O，连接OB，OM，利用矩形的性质可证得∠BAD=90°，AD=BC=4，利用∠ADM=∠BAP，∠BAP+∠DAM=90°，可推出∠AMD=90°，利用圆周角定理可证得AD是直径，可求出OM，OA的长，利用勾股定理求出OB的长，利用三角形的三边关系定理可得到BM≤OB-ON，可知当点B，M，O三点共线时，BM最小，即可求出BM的最小值.
10．（2022九上·南湖期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与BCFG，点M，N，P，Q分别是DE，FG，弧AC，弧BC的中点.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是（ ）
A． B． C．13 D．16
【答案】C
【知识点】正方形的性质；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图，连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，
∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI=(AC+BC)=9，
∴MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，
∴PH+QI=18-14=4，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13，
故答案为：C.
【分析】连接OP，OQ分别与AC、BC相交于点I、H，由垂径定理得OP⊥AC，OQ⊥BC，H、I是AC、BD的中点，进而由三角形的中位线定理得OH+OI=(AC+BC)=9，结合已知得PH+QI=4，据此就不难算出AB的长了.
二、填空题
11．（2019九上·鄞州月考）如图， 弦CD垂直平分半径OB，若直径AB=8，则CD= .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵弦CD垂直平分半径OB，垂足为E，AB=8cm，
∴OE= AB=2cm，OD=4
设ED=x，则
∴OE2+DE2=OD2，即22+x2=42，解得x=2 ，
∴CD=4 （cm）.
故答案为：4
【分析】连接OD，根据垂直平分线的定义得出OE的长，在Rt△OED中，根据勾股定理算出DE的长，进而根据垂径定理即可得出CD的长.
12．（2019九上·三门期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在墙壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”问题题意为：如图，有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径大小.用锯去锯这木材，锯口深1寸(即CD＝1寸)，锯道长1尺(即AB＝1尺)，问这圆形木材直径是多少？(注：1尺＝10寸)由此，可求出这圆形木材直径为 寸.
【答案】26
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：延长CD，交⊙O于点E，连接OA，
由题意知CE过点O，且OC⊥AB，
则AD＝BD＝ AB＝5（寸），
设圆形木材半径为r，
则OD＝r﹣1，OA＝r，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
解得r＝13，
所以⊙O的直径为26寸。
故答案为：26。
【分析】延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，根据垂径定理得出AD的长，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解即可算出该圆的半径。
13．（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为
米.
【答案】26
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作 ，作 ，如下图：
则四边形 为矩形， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
∵ ，∴ ，
解得 ，
，
故半径长为26米.
故答案为：26.
【分析】作OE⊥AB，DF⊥OE，则四边形CDFE为矩形，DF=FC，EF=CD=14，由垂径定理可得BE=10，则CE=DF=24，设OF=x，则OE=x+14，由勾股定理可得OD2，OB2，然后根据OB=OD可得x，接下来利用勾股定理进行求解就可得到OD.
14．（2022九上·台州月考）已知⊙O的半径为10，弦AB//CD， AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 .
【答案】2或14
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，OB，
当AB和CD在圆心的同一侧时，、
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴∠OED=∠OFB=90°，DE=CD=8，BF=AB=6，
∴，
∴EF=OF-OE=8-6=2；
当AB和CD在圆心的异侧时，
EF=OE+OF=6+8=14；
∴AB和CD的距离为2或14.
故答案为：2或14
【分析】过点O作OF⊥AB于点F，交CD于点E，连接OD，OB，分情况讨论：当AB和CD在圆心的同一侧时，利用垂直的定义可证得∠OED=∠OFB=90°，利用垂径定理可求出OE，OF的长；然后根据EF=OF-OE，代入计算求出EF的长；当AB和CD在圆心的异侧时，可知EF=OE+OF，代入计算求出EF的长；综上所述可得到AB和CD的距离.
15．（2022九上·江北期末）如图，在Rt中，，点为上一点，连结，若，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图1，作△BCD的外接圆⊙O，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，连结OB，
∵∠AEO=∠AFO=∠BAC=90°，
∴四边形OFAE是矩形，
∴AE=OF，
∵DE=CE=CD，
∴CD=2CE，
CD，CE的长度不变，当OF最大时，则AE最大，此时AD最大，
∴的值也最大，
∵OF≤OB，
∴当OF=OB时，OF的最大，
此时，点B与点F重合，
如图2，当点B与点F重合时，连结OD、OC，
设DE=CE=m，则CD=2m，
∵∠DBC=45°，
∴∠DOC=2∠DBC=90°，
∵OD=OC，
∴OE=CD=DE=m，
∴AE=OB=OD=，
∴AD=AE-DE=m-m，
∴，
故答案为：.
【分析】作△BCD的外接圆⊙O，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F，连结OB，由题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OFAE是矩形，则AE=OF，由垂径定理可得CD=2CE，而CD，CE的长度不变，当OF最大时，则AE最大，此时AD最大，即的值也最大，结合题意当OF=OB时，OF的值最大，此时，点B与点F重合，连结OD、OC，设DE=CE=m，则CD=2m，易得AE=OB=OD，在直角三角形ODE中，用勾股定理可求得AE=OB=OD的值，由线段的构成AD=AE-DE可将AD用含m的代数式表示出来，再把AD、CD代入计算可求解.
16．（2021九上·上城期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 .
【答案】 ≤PM≤
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN.
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝ DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为 ，
当DN＝AC时，PM最小，最小值为 ，
∴PM的范围是 ≤PM≤ .
故答案为： ≤PM≤ .
【分析】延长CP交⊙O于N，连接DN，由垂径定理可得CP＝PN，进而推出PM＝DN，当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，据此求解.
三、解答题
17．（2022九上·南湖期中）如图，为的直径，弦于点E，若，，求弦的长.
【答案】解：连接，如图所示：
∵为的直径，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理得CD=2CE，然后根据勾股定理算出CE即可得出答案.
18．（2017·七里河模拟）如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．
【答案】解：如图，连接OB．
∵AD是△ABC的高．
∴BD= BC=6
在Rt△ABD中，AD= = =8．
设圆的半径是R．
则OD=8﹣R．
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2
解得：R= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂经定理求出BD的长，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，设圆的半径是R，则OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.
19．（2022九上·金东月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．
【答案】解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，
∴CE＝＝＝，
∴AE＝＝，
∴AD＝2AE＝．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过点C作CE⊥AD于点E，由垂径定理可得AE＝DE，根据勾股定理可得AB=5，由等面积法可得CE，利用勾股定理求出AE，进而可得AD.
20．（2021九上·北仑期中）已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
【答案】解：证明：过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，
∵AO平分∠BAC，∠ADO=∠AEO=90°，AB=2AD，AC=2AE，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）
∴AD=AE，
∴AB=AC.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；垂径定理
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，利用垂径定理可证得AB=2AD，AC=2AE，利用角平分线的性质可证得OD=OE，利用HL可证得Rt△ADO≌Rt△AEO，可推出AE=AD，由此可证得结论.
21．某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图）．
（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；
（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=12cm，水面最深地方的高度为6cm，请你求出这个圆形截面的半径r及破裂管道有水部分的截面图的面积S．
【答案】解：（1）如图：
（2）过点O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，则CD=6cm．
∵OC⊥AB，
∴BD=AD=AB，
∵AB=12cm，
∴BD=AD=6cm，
∵半径为rcm，则OD=（r﹣6）cm，
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：
BD2+OD2=BO2，
∴，
解得r=12，
∴这个圆形截面的半径为12cm．
又∵设弧长AB所对圆心角为θ，则，
在Rt△BOD中，BD=6，OB=12，
∴，且∠DOB为Rt△BOD的一个内角，
求得=60°
∴θ=120°
∵S=S扇形OACB面积﹣S△OAB面积=
=（cm2）．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；
（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出BD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径，解直角三角函数求得∠DOB=60°，然后根据S=S扇形OACB面积﹣S△OAB面积求得即可．
22．（2022九上·义乌期中）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，．
（1）求证：平分；
（2）过点O作于点E，交于点P．若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC，
∴∠OAC＝∠BAC，
∴AC平分∠OAB；
（2）解：∵OE⊥AB，O为圆心，
∴AE AB ，
在Rt△AOE中，∠AOE＝30°，∠AEO＝90°，
∴∠OAE＝60°，
由（1）得，AC平分∠OAB，
∴∠EAP ∠OAE＝30°，
在Rt△APE中，∠EAP＝30°，
∴PE＝
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得∠OAC＝∠C，根据二直线平行，内错角相等得∠C＝∠BAC，则∠OAC＝∠BAC，据此即可得出答案；
（2）根据垂径定理得AE=，根据三角形的内角和定理得∠OAE＝60°，根据角平分线的定义得∠EAP=30°，在Rt△APE中，根据含30°直角三角形的性质即可得出PE的长.
23．（2022九上·定海期中）如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE
②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。
【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠BPC=∠BAC=60° ，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABCC三边的垂直平分线的交点，
∴∠BAC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE 在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴
（2）解：①如图所示，连接PC，
同理可得 ，
∵
∴
∴ =30°，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ HE=PE ；
②由①得 ，
∴
∵
∴H是在以 B C为弦，圆周角 的圆上运动，
如图所示，劣弧 即为H的运动轨迹，过点 作 于 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，PC，证出△OPC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OE=PE；
（2）①连接PC，证出△CPH是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OHE=PE；
②根据题意得出H是在以BC为弦，圆周角的圆上运动，从而得出劣弧 即为H的运动轨迹，利用弧长公式求出的长度，即可得出答案.
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