北师大版数学七年级下册1.6 完全平方公式（第1课时）同步课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
1.6 完全平方公式
（第1课时）
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;（重点）
2.会运用公式进行简单的运算；(难点)
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
(a+b)(m+n)
=
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多项式的乘法法则
am+an+bm+bn
我们上一节学方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，即(a+b)2，这是我们这节课要研究的新问题．
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3）（p－1)2=(p－1)(p－1)= .
p2－2p+1
（4）（m－2)2=(m－2)(m－2)= .
m2－4m+4
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
(a＋b)2= .
a2+2ab+b2
(a－b)2= .
a2－2ab+b2
我们来计算下列(a+b)2，(a－b)2 .
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a－b)2 =(a－b)(a－b)
=a2－ab－ab+b2
= a2－2ab+b2.
完全平方公式
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
公式的特点：
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1.积为二次三项式；
2.其中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同.
首平方，尾平方，积的2倍在中央
你能用图解释这一公式吗
b
a
b
a
b
a
b
a
= + +
a2
ab
ab
b2
（a + b）2 = a2 + 2ab + b2
思考：你能根据下图解释这个公式吗
a b
a b
a
a
b
b
（a-b)2
阴影部分的面积是：_________
ab
b(a-b)
ab
b(a-b)
所以（a-b)2=a2-ab-b(a-b)
=a2-2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
阴影部分的面积也可以用大正方形面积减去_____和_________
两数和的完全平方公式：
两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍
两数差的完全平方公式：
两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍
上面两个公式称为完全平方公式.
例1.利用完全平方公式计算：
(1) (2x－3)2；(2) (4x+5y)2 ；(3) (mn－a)2 .
解：(1) (2x－3)2 = (2x)2－2·2x·3+32
= 4x2－12x + 9；
(2) (4x+5y)2 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2
= 16x2 +40xy+ 25y2 ；
(3) (mn－a)2 = (mn)2－2·mn·a+a2
= m2n2－2amn+a2.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗
(a-b)2与(b-a)2相等吗
(a-b)2与a2-b2相等吗
为什么
解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2
(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
例2.运用乘法公式计算:
(1) (x+2y－3)(x－2y+3) ;
解: 原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)]
= x2－(2y－3)2
= x2－(4y2－12y+9)
= x2－4y2+12y－9.
(2) (a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= a2+2ab+b2－10a－10b+25
方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用
完全平方公式计算.
方法总结：需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，
∴m＋1＝±60，
∴m＝59或－61.
例3 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平
方式，求m的值．
例4.已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝13＋2×6＝25；
(a－b)2＝a2＋b2－2ab
＝13－2×6＝1.
1.在下列计算中，正确的是(　　)
A．m3＋m2＝m5 B．m5÷m2＝m3
C．(2m)3＝6m3 D．(m＋1)2＝m2＋1
2.若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(　　)
A．9 B．－9
C．±9 D．±3
3. 若(x＋3)2＝x2－ax＋9，则a的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　
A. 3 B. －3 C. 6 D. －6
D
4. 下列各式中，与（-a+1）2相等的是（　　）
A． a2-1 B． a2+1
C． a2-2a+1 D． a2+2a+1
C
5.下列计算正确的是(　　)
A．(a＋2)(a－2)＝a2－2 B．(a＋1)(a－2)＝a2＋a－2
C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
6.利运用完全平方公式计算：
(1)(－2x＋5)2； (2)(－m－2n)2；
解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52
＝4x2－20x＋25；
(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2
7.计算：　　　　　　　　　　　　　　
(1)(3x＋5y)2;
解：原式＝(3x)2＋2·3x·5y＋(5y)2
＝9x2＋30xy＋25y2
解：原式＝(2x)2－2·2x·
＝4x2－2x＋
8. 计算：　　　　　　　　　　　　　　
(1)(4x－3y)2;
解：原式＝(4x)2－2·4x·3y＋(3y)2
＝16x2－24xy＋9y2
解：原式
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差公式的不同点（从公式结构特点及结果两方面）
习题1.11
第1、2题