2009届天河区普通高中毕业班综合测试（一）
文 科 数 学
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件互斥，那么．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则
A． B． C． D．
2．复数，，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是
A． B． C． D．
4．直线与圆的位置关系是
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
5．如图是年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
A．， B．，
C．， D．，
6．偶函数在区间[0,]（>0）上是单调函数，且，则方程在区间[－,]内根的个数是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7． 如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得，,且米.则A、C两点的距离为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱,正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为
A. B. C. D.
9．设曲线在点处的切线与直线垂直，则
A．2 B． C． D．
10．如图，圆周上按顺时针方向标有五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。该青蛙从这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
11．已知等差数列{an}中，a2+a8=8，则该数列前9项和S9等于 ．
12． 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 ．
13. 设、满足条件，则的最小值 ．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆的参数方程为（为参数），则圆的普通方程为__________，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为____ _____ ．
15．（几何证明选讲选做题）如图，圆是的外接圆，
过点C的切线交的延长线于点，，
。则的长_____，的长_______．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．
17． （本小题满分12分）已知向量, , .
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若, , 且, 求．
18．（本小题满分14分）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.
（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（II）求此几何体的体积．
19．（本小题满分14分）已知函数，．
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
20．（本小题满分14分）已知A（1，1）是椭圆＝1（)上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，求直线CD的斜率．
21．（本小题满分14分）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；
的一个通项公式yn，并证明你的结论;
（Ⅲ）求．
2009届天河区普通高中毕业班综合测试（一）
文科数学 参考答案
一、选择题：CADBC BABDA
二、填空题：
11．36 12． 4 13. 4
14． 15． 4
三、解答题：
16．解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为，用表示抽取结果，则所有可能有，，，，，，，，，，，，，，，，共16种． ……4分
（Ⅰ）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有， ， ，， ， ，共6种． ……6分
故所求概率．
答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为． ……8分
（Ⅱ）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有， ， ， ， ，共5种． ……2分
故所求概率为．
答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为． ……4分
17． （Ⅰ）解：， ……1分
……3分
……4分
……6分
（Ⅱ）解： ……1分
由 得 ……2分
由 得 ……4分
……5分
……6分
18．（1）证明：作交于，连．
则． ……2分
是的中点， ．
则是平行四边形， ．……4分
平面且平面，
面． ……6分
（2）如图，过作截面面，分别交，于，．
作于．……2分
面， ，则平面． ……4分
又，， ， ……6分
．
所求几何体体积为： ……8分
19．解：（1）当时, , ……2分
令解得:;
令解得: ……5分
在和递增，在递减，……7分
（2） ……1分
要使函数在区间内是减函数，
则 ……4分
即： ……5分
解得： ……7分
20．解(1）由椭圆定义知2＝4，所以＝2，……2分
即椭圆方程为＝1 ……4分
把(1，1）代人得＝1所以b2=，椭圆方程为＝1 ……6分
(2)由题意知，AC的倾斜角不为900, 故设AC方程为y=k(x－1)十1, ……1分
联立 消去y，得（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0. ……3分
点A（1，1）、C在椭圆上， xC＝ ……5分
AC、AD直线倾斜角互补， AD的方程为y＝－k(x－ｌ）＋1，
同理xD＝ ……6分
又yC＝k（xC－1）＋1， yD＝－k（xD－1）＋1，
yC－yD＝k（xC ＋xD）－2k. ． ……8分
21．解：（Ⅰ）由框图，知数列 ……2分
∴ ……4分
（Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.
由此，猜想 ……2分
证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2
∴
∴ ……4分
∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。
∴+1=3·3n－1=3n
∴=3n－1（） ……6分
（Ⅲ）zn=
=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）
=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]
记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①
则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ……2分
①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1
=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1
=2×=
∴ ……3分
又1+3+…+（2n－1）=n2
∴. ……4分
2009届天河区普通高中毕业班综合测试（一）
理 科 数 学
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件互斥，那么．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等于
A．－1 B．1 C．－ D．
2．直线平分圆的周长，则
A．3 B．5 C．－3 D．－5
3．已知函数，且此函数的图象如图所示，则点的坐标是
A． B．
C． D．
4． 的展开式中常数项是
A．210 B． C． D．－105
5．设是简单命题，则“为真”是“为真”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为、腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为
A． B． C． D．
7．设函数为奇函数，，，则等于
A．5 B． C．1 D．0
8．对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例如[2]=2；[]=2；[]=, 这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么 的值为
A．21 B．76 C． 264 D．642
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做其中两题，三题全答的，只计算前两题得分。
9．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 .
10．在0, 1，2，3，4，5这六个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有 个（用数字做答）
11．将正整数排成下表：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
则数表中的2008出现在第行．
12．如果直线y＝kx＋1与圆交于M、N两点，且M、N关于直线
x＋y＝0对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是
13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A到直线的距离是__ __。
14．（不等式选讲选做题）设，则的最小值为_____________．
15. （几何证明选讲选做题）已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3， BD＝6，则PB＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）在中，，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
17．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ） 求点到平面的距离；
（Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分12分）某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量x，求x的分布列及数学期望.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆与双曲线有公共的焦点，且椭圆过点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线过点M交椭圆于A、B两点，且，求直线的方程．
20．（本小题满分14分）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}
的一个通项公式yn，并证明你的结论；
（Ⅲ）求
21．（本小题满分14分）
已知二次函数,其中t为常数）； 若直线l1、l2与函数f (x)的图象以及l1，y轴与函数f (x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（Ⅰ）根据图象求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；
（Ⅲ）若问是否存在实数m， 使得y=f (x)的图象与y=g (x)的图象有且只有两个不同的交点？ 若存在，求出m的值；
若不存在，说明理由．
2009届天河区普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学参考答案
一、选择题：CDAB ADBC
二、填空题：
9．40 10．16 11． 45 12．
13． 14．8 15. 15
三、解答题：
16. （4+8分）解：（1）在中，由，得， …2分
又由正弦定理 …3分
得：. …4分
（2）由余弦定理：得：，…2分
即，解得或（舍去），所以.
所以， …6分
. 即.
17．（5+5+4分）
解法一：
（I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，
则 F G . …2分
又由已知有
∴四边形AEGF是平行四边形.
…4分
平面PCE，EG
…………5分
（II）
…………3分
. …………5分
（III）由（II）知
直线FC与平面PCE所成角的正弦值为. …………4分
解法二：如图建立空间直角坐标系
A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），
C（，3，0） …………2分
（I）取PC的中点G，连结EG，
则G
…………5分
（II）设平面PCE的法向量为
………3分
…………5分
（III）
………2分
直线FC与平面PCE所成角的正弦值为. …………4分
18．（本小题满分12分）
解： 由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比，而与它们的质量和形状无关。
由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为3：2：1，面积比为9：4：1
所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5：3：1 ………3分
则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k，3k，k
根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1
解得k=0.1 ………6分
得到离散型随机变量x的分布列为
x
0
8
9
10
P
0.1
0.5
0.3
0.1
………9分
Ex=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7 ………12分
19．（7+7分）解：(1)解法一：设椭圆方程为（>b>0）．………1分
双曲线的焦点坐标分别为和
椭圆焦点坐标分别为和 ………2分
c=1，即………① ………3分
又椭圆过点，………② ………4分
由① ②得，， ………6分
∴所求椭圆方程为 ． ………7分
[解法二：设椭圆方程为（>b>0）． ………1分
双曲线的焦点坐标分别为和
椭圆焦点坐标分别为和 ………2分
c=1，即………① ………3分
又椭圆过点，
………6分
∴所求椭圆方程为 ． ………7分
(2) 若直线的斜率k不存在，即轴，由椭圆的对称性知，则不满足．
………1分
当直线的斜率k存在时，设直线的方程为．………2分
设A则
---------① --------------② ………3分
由知M为AB的中点， ………4分
①－②得
∴， ………5分
.∴直线的方程为：
即． ………7分
20．（4+5+5分）解：（Ⅰ）由框图，知数列 ………2分
∴ ………4分
（Ⅱ）由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2 ………1分
∴ ………3分
∴
∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。 ………4分
∴+1=3·3n－1=3n
∴=3n－1（） ………………5分
（Ⅲ）zn=
=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1）
=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] ………2分
记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①
则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ②
①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1
=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1
=2×=
∴ ………4分
又1+3+…+（2n－1）=n2
∴. …………5分
21．（4+5+5分）解：（I）由图形知： ………2分
解之,得
∴函数f（x）的解析式为 ………4分
（Ⅱ）由 得 …2分
∵0≤t≤2，
∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为 ……………3分
由定积分的几何意义知：
………4分
. ……………5分
（Ⅲ）令
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点. ………………1分
.
当x∈（0，1）时，是增函数；
当x∈（1，3）时，是减函数;
当x∈（3，+∞）时，是增函数; ………………2分
当x=1或x=3时，.
∴
.
又因为当x无限趋近于零时，
当x无限大时,
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须
……………………4分
即
∴m=7,或
所以当m=7或时，函数与的图象有且只有两个不同交点. …………5分
