陕西省西安市庆安高级中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题

西安市庆安高级中学2014-2015学年度第二学期期中考试
高二年级数学（理科）试题
（说明：时间120分钟 满分150分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1、复数i＋i2在复平面内表示的点在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 有4部车床需加工3个不同的零件,不同的安排方法有多少种 ? ( )
A. B. C.13 D. 14
3． 若，则等于（ ）
A．2 B．－2 C． D．
4． (x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于 (　 　)
A．－1 B. C．1 D．2
5、曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为 ( )
A． B． C．和 D．和
6．如图，在一个长为，宽为的矩形内，曲线
与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形
内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所
投的点落在阴影部分的概率是（ ）
A． B. C. D.
7. 设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 （ ）
A． B． D．
8. 若关于的方程在上有根，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． D．
9. 对任意的实数，有，则的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．21
10．由0、1、3、5这四个数字组成的不重复数字且0与3不相邻的四位数的个数为 （ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
二、填空题:（本大题共5小题, 每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.）
11． 若z1＝(x－2)＋yi与z2＝3x＋i(x，y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在第 象限
12．若，则实数k的值为 .
13．若，则的值是
14．对于函数
（1）是的单调递减区间；
（2）是的极小值，是的极大值；
（3）有最大值，没有最小值；
（4）没有最大值，也没有最小值．
其中判断正确的是_______________.
15. 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．(本小题共12分)
已知复数z1＝2－3i，z2＝. 求：
(1) z1＋2； (2) z1·z2； (3) .
17．(本小题共12分)
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
18．(本小题共12分)
6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（只列式，不需计算结果）(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
19. 已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，并且的展开式中系数最大的项等于54，求的值．
20．(本小题共13分)
已知(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b的值．
21. (本小题共14分) 给定函数和
(I)求证: 总有两个极值点;
(II)若和有相同的极值点,求的值.
西安市庆安高级中学2014-2015学年度第二学期期中考试
高二年级数学（理科）试题
参考答案
一、选择题(共10小题，满分50分)：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
D
C
A
D
C
B
B
二、填空题（共5小题，满分25分）：
11. 四 12. 13. 84
14. ___ (2)(3)____ 15. 1080
三、解答题（共6小题，满分75分）：

16. (本小题共12分)
解　z2＝＝
＝＝
＝1－3i. ----------------4分
(1)z1＋2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.
(2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i
＝－7－9i. ------------------8分
(3)＝＝
＝＝＋i. -----------------12分
17．(本小题共12分)
解：(1). -------------------------------- 2分
令, -------------------------------4分
解此不等式，得.
因此，函数的单调增区间为.------------------6分
(2) 令,得或.------------------------------8分
当变化时，，变化状态如下表：
-2
-1
1
2
+
0
-
0
+
-1
11
-1
11
-------------------------------------------10分
从表中可以看出，当时，函数取得最小值.
当时，函数取得最大值11.-----------------------------12分
18．(本小题共12分) （只列式，不需计算结果）
解：　(1) 种．---------3分
(2) ---------6分
(3) ( 或写成 )---------9分
(4) ---------12分
19. (本小题共12分)
解：展开式的常数项为： ---------3分
展开式的系数之和， n = 4 ---------6分
∴ 展开式的系数最大的项为，---------10分
∴ ---------12分
20．(本小题共13分)
解　∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，
∴?(x3＋ax)dx＝0，
∴?(x3＋ax＋3a－b)dx
＝?(x3＋ax)dx＋?(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]
＝6a－2b. -----------------------5分
∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①
又f(t)＝＝＋＋(3a－b)t为偶函数，
∴3a－b＝0② -----------------------10分
由①②得a＝－3，b＝－9. -----------------------13分
21. (本小题共14分)
解：证明: (I)因为,
令,则,-----------------------------------2分
则当时, ,当,
所以为的一个极大值点, -----------------------4分
同理可证为的一个极小值点.---------------------------------6分
另解：(I)因为是一个二次函数，
且，-------------------------------------2分
所以导函数有两个不同的零点，
又因为导函数是一个二次函数，
所以函数有两个不同的极值点.-------------------------------5分
(II) 因为，-------------8分
令,则 --------------------------------10分
因为和有相同的极值点, 且和不可能相等,
所以当时, ， 当时, ,
经检验, 和时, 都是的极值点.-------------14分