四川省部分名校2023-2024学年高一上学期期中联合学业质量检测数学试卷（含解析）

四川省部分名校2023-2024学年高一上学期期中联合学业质量检测
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.“，是奇数”的否定是（ ）
A.，不是奇数 B.，不是奇数
C.，不是奇数 D.，是奇数
3.“小宋来自四川省”是“小宋来自成都市”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数，若，则（ ）
A.19 B.17 C.8 D.
7.函数的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题是真命题的是（ ）
A.集合有4个元素
B.等边三角形是轴对称图形
C.“所有的自然数都不小于零”是全称量词命题
D.所有奇函数的图象都关于原点对称
10.已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（ ）
A. B. C. D.
11.溶液酸碱度是通过来计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7.当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性，则下列选项正确的是（参考数据：取）（ ）
A.若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是1.6
B.若纯净水的氢离子浓度是海水的倍，则海水的是9.1
C.若某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，则该溶液呈酸性
D.若某个新鲜的鸡蛋蛋白的是8，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升
12.若，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若是幂函数，则________.
14.已知正数，满足，则的最大值为________.
15.已知函数的零点在区间内，则________.
16.已知函数（且在上是增函数，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
计算：
（1）；
（2）.
18.（12分）
已知集合，.
（1）若，求，
（2）若，求的取值范围.
19.（12分）
已知函数满足.
（1）求的值；
（2）试判断在上的单调性，并用定义证明.
20.（12分）
小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习值看作1，天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取，）
（1）求的值，并写出的解析式；
（2）当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）
21.（12分）
已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为.
（1）证明：是偶函数.
（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围.
22.（12分）
已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围，
（3）已知实数，，满足，当时，恒成立，求的最大值.
四川省部分名校2023-2024学年高一上学期期中联合学业质量检测
数学试题参考答案
1.C 因为，所以.
2.A 全称量词命题的否定是存在量词命题.
3.B “小宋来自四川省”不能推出“小宋来自成都市”，但“小宋来自成都市”可以推出“小宋来自四川省”.
4.A 由得.
5.D 因为，，，所以.
6.B 因为，所以，则.
7.C 当时，令，解得.当时，令，得3，因为函数与的图象在上有唯一公共点，即在上有唯一零点，故的零点个数为2.
8.D 根据题意可得在上单调递增，因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增.令，解得或（舍去），则.
画出的图象，则由不等式，得或，解得或.
9.BCD 集合，有3个元素，A错误.等边三角形是轴对称图形，B正确.“所有的自然数都不小于零”是全称量词命题，C正确.所有奇函数的图象都关于原点对称，D正确.
10.AD 根据题意可得，则选项A，D不符合题意.
11.ACD 胃酸的，A正确.海水的氢离子浓度为摩尔/升，则海水的，B错误.选项C中溶液的，溶液呈酸性，C正确.新鲜的鸡蛋蛋白的，则这个鸡蛋蛋白的氢离子浓度为摩尔/升，D正确.
12.ABD 因为，所以，则，所以，又，所以，A正确.设函数，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，，即，，B正确.取，，则，C错误.，则，因为函数为减函数，所以.因为函数为增函数，所以，则，D正确.
13.2 令，得，解得.
14.4 因为，所以，当且仅当时，等号成立.故的最大值为4.
15.2 因为在上单调递增，且，，，所以的零点在区间内，故.
16. 设函数.当时，函数在上单调递增，则在上为增函数，由解得.当时，函数在上单调递减，则在为减函数，由解得.故的取值范围为.
17.解：（1）原式.………………………………………………5分
（2）原式…………………………………………8分
.………………………………………………………………………………10分
18.解：（1）由题意得，……………………………………1分
，……………………………………………………………………2分
则，……………………………………………………………………4分
.………………………………………………………………6分
（2）由，得.……………………………………………………7分
当时，由，得.………………………………………………9分
当时，由得.…………………………………………11分
综上，的取值范围为.…………………………………………………………12分
19.解：根据题意可得，…………………………………………1分
解得，…………………………………………………………………………2分
得，……………………………………………………………………3分
因为，………………………………………………………………4分
所以.…………………………………………………………5分
（2）在上单调递减.……………………………………………………6分
任取，且，则………………7分
，………………10分
因为，所以，，，，，……11分
所以，即，故在上单调递减.…………………12分
20.解：（1）依题意可得，
则，…………………………………………………………………………1分
因为，所以，因为，所以，………………3分
所以，………………………………………………………………………………4分
.……………………………………………………………………5分
（2）令，…………………………………………………………………………7分
得，…………………………11分
故当小钗的国画学习值达到2.89时，小钗已经坚持学习国画54天.………………12分
21.（1）证明：依题意得，………………………………………………………………1分
解得.………………………………………………………………………………2分
因为有一个零点为，则，……………………………………3分
解得或（舍去），……………………………………………………………………4分
所以.
因为，……………………………………………………5分
所以是偶函数.……………………………………………………………………6分
（2）解：由（1）可知.………………7分
因为在上有两个零点，所以……………………11分
解得，即的取值范围为.………………………………………………12分
22.解：（1）令，得，………………………………………………1分
则，…………………………………………………………………………2分
故的解析式为.……………………………………………………3分
（2）对任意的，不等式恒成立，即，
因为，所以.…………………………………………………………4分
设，……………………………………5分
因为，所以，，所以，
则，……………………………………………………6分
故，即的取值范围为.……………………………………………………7分
（3）由，得，
由，得，……………………8分
即，，当且仅当时，等号成立.……9分
因为，所以，………………………………10分
所以，即，，解得，………………………………11分
因为，所以的最大值为2.………………………....12分