登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——12.2全等三角形的判定
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·淮南期中） 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
2．（2023八上·吉林月考）如图，∠A=∠D，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）
A．∠E=∠B B．ED=BC C．AB=EF D．AF=CD
3．（2023八上·榆树期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
4．（2023八上·东莞期中）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE＝∠BAC；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC．其中结论正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（2023八上·襄都月考）如图，把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，固定住长木棍，摆动短木棍，使端点分别落在射线BC上的C、D两位置时，形成了和．此时，但是和不全等，这说明（ ）
A．三角对应相等的两个三角形不一定全等
B．两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等
C．两角及一角对边对应相等的两个三角形不一定全等
D．两边及夹角对应相等的两个三角形不一定全等
6．（2023八上·天津市月考）如图，，，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．70°
7．（2023八上·舟山月考）如图，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
8．（2023八上·内江期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
9．（2023八上·墨玉期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，点D在线段BC上，，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝3，则DF＝（ ）
A．7 B． C．6 D．
10．（2023八上·从江期中）如图所示，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠ACE=∠DBC.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·莎车期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
12．（2023八上·兴县期中）如图，在中，于点，是上一点，是外一点，且，连接，是上的一点，，，，，，则的长为 .
13．（2023八上·长沙期中）如图，已知，，，，垂足点分别是，，，，则的长为 ．
14．（2023八上·海淀开学考）如图，有一个，，，，一条线段，，分别在和过点且垂直于的射线上运动， 时，才能使与全等．
15．（2023八上·苍溪期中）如图，在中，，于点D，BE平分，且于点E，与CD相交于点F，于点H，交BE于点G．下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2024八上·浏阳期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 ▲ ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
17．（2023八上·西和期中）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
18．已知：如图，AB∥CD，AD交BC于点O，EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，且AE=DF．求证：O是EF的中点．
19．（2023八上·淮南月考）如图，在中，D是的中点，过点D的直线交于点F，交的平行线于点G，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）请你判断与的大小关系，并说明理由．
20．（2023八上·临汾期中）在中，，点D是直线BC上的一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧做，使，连接CE
（1）如图1，点D在线段BC上，若，求的度数：设；
（2）如图2，若点D在线段BC上移动，则和有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）若点D在直线BC上移动，则和有怎样的数量关系，请直接写出结论．
21．（2023八上·阳谷月考）如图，已知中，，分别过、向过点的直线作垂线，垂足分别为点、．
（1）如图，过的直线与斜边不相交时，求证：．
（2）如图，过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，试求的长．
22．（2023八上·聊城月考）问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
23．（2022八上·平谷期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，，求证：．
小明发现，延长AD到点H，使DH=AD，连结BH，构造，通过证明与全等，为等腰三角形，使问题得以解决（如图2）．请写出推导过程．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由题意得：MC=NC．
在△OMC和△ONC中，
∵OM=ON，OC=OC，MC=NC，
∴△OMC≌△ONC（SSS）．
故答案为：A.
【分析】根据题意可得到MC=NC 再结合OM=ON，OC=OC， 从而可得△OMC≌△ONC，于是可得判定两个三角形全等的依据。
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：∠A=∠D，∠1=∠2，∠E=∠B，可得△ABC∽△DEF，不符合题意；
B：ED与BC不是对应边，不能得到△ABC≌△DEF，不符合题意；
C：AB与EF不是对应边，不能得到△ABC≌△DEF，不符合题意；
D：AF=CD，则AC=DF，在△ABC和△DEF中
，可得△ABC≌△DEF（ASA），符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A项为SAS，可判断两个三角形全等，故正确；B项为ASA，可判断两个三角形全等，故正确；C项为SSA，不能够判断两个三角形全等，故错误；D项为AAS，可判断两个三角形全等，故正确.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理有ASA，SAS，AAS，SSS，HL，对选项进行逐一分析即可判定命题真假.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB.
∴ED=CD.
故①对；
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL，
∴∠DAE=∠DAC，∠ADE=∠ADC，AC=AE，
∴DA平分∠CDE，
∴AB=AE+BE=AC+BE，
故②③对；
∵∠BDE=180°-∠ADE-∠ADC，
∠ADE=90°-∠DAE，∠ADC=90°-∠DAC，
∴∠BDE=180°-(90°-∠DAE)-(90°-∠DAC)，
即∠BDE=∠DAE+∠DAC=∠BAC，
故④对；
∵S△ABD=×AB×DE，S△ACD=×AC×DC，DE=DC，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC.
故⑤对，综上正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得CD=ED，据此判断①；利用HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，得∠DAE=∠DAC，∠ADE=∠ADC，AC=AE，据此可判断②③；根据三角形的内角和定理及直角三角形两锐角互余可判断④；根据等高三角形的面积之比等于底之比可判断⑤.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据图形可得：AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，
∴可证出两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：B.
【分析】结合图形可得两边相等且一边对应的角相等的两个三角形不全等可得答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠1=∠ABD，
∵，，
∴∠3=∠2+∠ABD=25°+35°=60°，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠BAD=∠CAE，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵和均是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴则①正确；
∴
∵
∴
∴则②正确；
同理：
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴则③正确；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到然后由"SAS"判定根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确确；由全等三角形的对应角相等，得到根据"ASA"，证得即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到是等边三角形，易得③正确，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
在和中
∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误.
故答案为：C.
【分析】易得∠BAE=∠CAD，用SAS证△ABE≌△ACD，得∠ADC=∠AEB，∠ACD=∠ABE，BE=CD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=72°，由角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据三角形的内角和定理及等量代换可得∠DCB+∠CBA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥AB，从而一一判断得出答案.
9．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如图所示：
过D作DH//AC交AB于H，延长BE与DH的延长线交于G点，
∵DH//AC，
∴∠BDH=∠ACB=45°，
∴△HBD为等腰直角三角形，
∴HB=HD，
∵∠EDB=∠ACB=22.5°，
∴∠EBF=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
∵DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH，
在△BGH和△DFH中，
∴△BGH≌△DFH (AAS)
∴BG=DF，
∴DF=2BE=6，
故答案为：C.
【分析】先证出△HBD为等腰直角三角形，可得HB=HD，再利用角的运算求出∠GBH=∠FDH，再利用“AAS”证出△BGH≌△DFH，可得BG=DF，再求出DF=2BE=6即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①∵ ∠BAC=∠DAE=90° ，
∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{ AB=AC， AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD△CAE（SAS）
故①正确；
②∵△BAD△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∵ ∠BAC=90°， AB=AC，（△ABC为等腰直角三角形）
∴∠BCA=∠ABC=45°，
所以在△DBC中∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠BCA=90°‘
则 BD⊥CE ；故②正确；
③∵ ∠BAC=90°， AB=AC，（△ABC为等腰直角三角形）
∴∠BCA=∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°
由①可知∠ABD=∠ACE，
∴③∠ACE+∠DBC=45°；
故③正确；
④∠ACE=∠DBC
∵∠ABD=∠ACE，
∴只有∠ABD=∠DBC时，∠ACE=∠DBC成立。
故④不能判定；
综上：①②③正确；
故答案为 ：C
【分析】①由AB= AC，AD = AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△AEC' 由全等三角形的对应边相等得到BD = CE；②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC = 45°等量代换得到. ∠ACE+∠DBC = 45°；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断.
11．【答案】①
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】将①带去配，利用“ASA”可得答案，
故答案为：①.
【分析】利用“ASA”证明三角形全等的判定方法及应用求解即可.
12．【答案】14
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在△ABC和△ADE中，
，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
故答案为：14.
【分析】先利用“SAS”证出，可得，再结合，求出，再利用线段的和差求出即可.
13．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】∵，，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CED和△ADC中，
∴△CED△ADC，（AAS)
∴BE=DC=2，CE=AD=5，
∴DE=EC-CD=5-2=3.
故正确答案为：3.
【分析】根据 ，， 可得∠E=∠ADC=90°，根据等式性质可得∠EBC=∠DCA，，进而得出△CED△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值。
14．【答案】8或16
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵∠C=90°，AN⊥AC
∴∠C=∠MAN=90°
①当AM=8=BC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
②当AM=16=AC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
故答案为：8或16
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
15．【答案】①②③
【知识点】垂线；全等三角形的应用；等腰直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90° ∠BFD，∠DCA=90° ∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC.
∴BF=AC；DF=AD.
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在 Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴ Rt△BEA≌Rt△BEC
∴
又由(1)，知BF=AC，
∴；故③正确；
在Rt△CEF中，
∵CF是斜边，CE是直角边，
∴CE∵CE=AE，
∴AE故答案为①②③.
【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定全等，根据全等三角形的性质、结合等腰直角三角形的性质逐一分析判定即可。
16．【答案】（1）解：①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°-2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝ [180°-（60°-2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE-∠ACB＝60°+α-60°＝α．
（2）解：结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF-AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）①根据轴对称性质可得AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AB=AC，进而得到AE=AC；
②首先根据轴对称性质得出∠BAF＝∠EAF＝α，根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=60°，从而得出∠EAC=60°-2α，由①知AE=AC，从而得出∠ACE=∠AEC=60°+α，故而得出∠BCF＝∠ACE-∠AC＝α；
（2）如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF，由（1）②知∠BAF＝∠BCF＝α，故而得出∠ABC＝∠AFC＝60°，从而可判定△CFG是等边三角形，故而GF＝FC，然后再根据SAS证得△ACG≌△BCF，由全等三角形性质得出AG=BF，又根据对称性可知EF=BF，故而AG=EF，即可得出AF=GF+AG=EF+CF.
17．【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先利用等角对等边的性质可得DE=CE，再利用“HL”证出Rt△ADE≌Rt△BEC即可.
18．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AOE和△DOF中，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴OE=OF，
∴O是EF的中点．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行线的性质说明∠A=∠D，结合其他条件，可利用AAS证明△AOE≌△DOF，从而有OE=OF，即有O是EF的中点成立.
19．【答案】（1）证明：∵，
．
∵D为的中点，
∴．
在和中，
，
．
（2）解：．
证明：，
．
又，
．
在与中，
，
，
，
∵在中，，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用中点的性质可得，再利用“ASA”证出即可；
（2）先利用“SAS”证出，可得EG=EF，再利用三角形三边的关系及等量代换可得.
20．【答案】（1）解：∵
∴
即
在和中
∴
∴
在中，，则
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵
∴
即
在和中
∴
∴
在中，
则
∴即
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】 解： （3）∵∠BAC=，AB=AC，
∴∠B=×（180°-∠BAC）=90°-，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用“SAS”证出，可得，再结合，可得，再求出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出，可得，再利用角的运算和等量代换求出，可得；
（3）分类讨论，再利用全等三角形的判定和性质及角的运算求解即可.
21．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
．
即的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出≌，可得CM=BN，AM=CN，再利用线的和差及等量代换可得；
（2）先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出≌，可得CM=BN，AM=CN，再利用线的和差及等量代换可得，再将数据代入求解即可.
22．【答案】（1）EF＝BE+DF
（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】（1）证明：在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
【分析】根据三角形全等的判定定理证明△ABE≌△ADG，通过角的和差关系求出∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，通过线段的和差关系即可求出．
23．【答案】证明：延长到点，使
∵为中点
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】延长AD到点H，使，先利用“SAS”证明，可得，，再结合，可得，证出，最后利用等量代换可得。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——12.2全等三角形的判定
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·淮南期中） 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由题意得：MC=NC．
在△OMC和△ONC中，
∵OM=ON，OC=OC，MC=NC，
∴△OMC≌△ONC（SSS）．
故答案为：A.
【分析】根据题意可得到MC=NC 再结合OM=ON，OC=OC， 从而可得△OMC≌△ONC，于是可得判定两个三角形全等的依据。
2．（2023八上·吉林月考）如图，∠A=∠D，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）
A．∠E=∠B B．ED=BC C．AB=EF D．AF=CD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：∠A=∠D，∠1=∠2，∠E=∠B，可得△ABC∽△DEF，不符合题意；
B：ED与BC不是对应边，不能得到△ABC≌△DEF，不符合题意；
C：AB与EF不是对应边，不能得到△ABC≌△DEF，不符合题意；
D：AF=CD，则AC=DF，在△ABC和△DEF中
，可得△ABC≌△DEF（ASA），符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
3．（2023八上·榆树期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A项为SAS，可判断两个三角形全等，故正确；B项为ASA，可判断两个三角形全等，故正确；C项为SSA，不能够判断两个三角形全等，故错误；D项为AAS，可判断两个三角形全等，故正确.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理有ASA，SAS，AAS，SSS，HL，对选项进行逐一分析即可判定命题真假.
4．（2023八上·东莞期中）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE＝∠BAC；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC．其中结论正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB.
∴ED=CD.
故①对；
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL，
∴∠DAE=∠DAC，∠ADE=∠ADC，AC=AE，
∴DA平分∠CDE，
∴AB=AE+BE=AC+BE，
故②③对；
∵∠BDE=180°-∠ADE-∠ADC，
∠ADE=90°-∠DAE，∠ADC=90°-∠DAC，
∴∠BDE=180°-(90°-∠DAE)-(90°-∠DAC)，
即∠BDE=∠DAE+∠DAC=∠BAC，
故④对；
∵S△ABD=×AB×DE，S△ACD=×AC×DC，DE=DC，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC.
故⑤对，综上正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质得CD=ED，据此判断①；利用HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，得∠DAE=∠DAC，∠ADE=∠ADC，AC=AE，据此可判断②③；根据三角形的内角和定理及直角三角形两锐角互余可判断④；根据等高三角形的面积之比等于底之比可判断⑤.
5．（2023八上·襄都月考）如图，把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，固定住长木棍，摆动短木棍，使端点分别落在射线BC上的C、D两位置时，形成了和．此时，但是和不全等，这说明（ ）
A．三角对应相等的两个三角形不一定全等
B．两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等
C．两角及一角对边对应相等的两个三角形不一定全等
D．两边及夹角对应相等的两个三角形不一定全等
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据图形可得：AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，
∴可证出两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：B.
【分析】结合图形可得两边相等且一边对应的角相等的两个三角形不全等可得答案.
6．（2023八上·天津市月考）如图，，，，点，，在同一直线上，若，，则的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠1=∠ABD，
∵，，
∴∠3=∠2+∠ABD=25°+35°=60°，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠BAD=∠CAE，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
7．（2023八上·舟山月考）如图，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连接，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵和均是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴则①正确；
∴
∵
∴
∴则②正确；
同理：
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴则③正确；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到然后由"SAS"判定根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确确；由全等三角形的对应角相等，得到根据"ASA"，证得即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到是等边三角形，易得③正确，即可求解.
8．（2023八上·内江期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
【答案】C
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
在和中
∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误.
故答案为：C.
【分析】易得∠BAE=∠CAD，用SAS证△ABE≌△ACD，得∠ADC=∠AEB，∠ACD=∠ABE，BE=CD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=72°，由角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据三角形的内角和定理及等量代换可得∠DCB+∠CBA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥AB，从而一一判断得出答案.
9．（2023八上·墨玉期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，点D在线段BC上，，BE⊥DE，DE与AB相交于点F，若BE＝3，则DF＝（ ）
A．7 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】如图所示：
过D作DH//AC交AB于H，延长BE与DH的延长线交于G点，
∵DH//AC，
∴∠BDH=∠ACB=45°，
∴△HBD为等腰直角三角形，
∴HB=HD，
∵∠EDB=∠ACB=22.5°，
∴∠EBF=22.5°，
∴DE平分∠BDG，
∵DE⊥BG，
∴BE=GE，即BE=BG，
∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，
∴∠DFH=∠G，
∵∠GBH=90°-∠G，∠FDH=90°-∠G，
∴∠GBH=∠FDH，
在△BGH和△DFH中，
∴△BGH≌△DFH (AAS)
∴BG=DF，
∴DF=2BE=6，
故答案为：C.
【分析】先证出△HBD为等腰直角三角形，可得HB=HD，再利用角的运算求出∠GBH=∠FDH，再利用“AAS”证出△BGH≌△DFH，可得BG=DF，再求出DF=2BE=6即可.
10．（2023八上·从江期中）如图所示，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠ACE=∠DBC.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①∵ ∠BAC=∠DAE=90° ，
∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
{ AB=AC， AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD△CAE（SAS）
故①正确；
②∵△BAD△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∵ ∠BAC=90°， AB=AC，（△ABC为等腰直角三角形）
∴∠BCA=∠ABC=45°，
所以在△DBC中∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠BCA=90°‘
则 BD⊥CE ；故②正确；
③∵ ∠BAC=90°， AB=AC，（△ABC为等腰直角三角形）
∴∠BCA=∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°
由①可知∠ABD=∠ACE，
∴③∠ACE+∠DBC=45°；
故③正确；
④∠ACE=∠DBC
∵∠ABD=∠ACE，
∴只有∠ABD=∠DBC时，∠ACE=∠DBC成立。
故④不能判定；
综上：①②③正确；
故答案为 ：C
【分析】①由AB= AC，AD = AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△AEC' 由全等三角形的对应边相等得到BD = CE；②由△ABD≌△AEC得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC = 45°等量代换得到. ∠ACE+∠DBC = 45°；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·莎车期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①，②，③，④的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
【答案】①
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】将①带去配，利用“ASA”可得答案，
故答案为：①.
【分析】利用“ASA”证明三角形全等的判定方法及应用求解即可.
12．（2023八上·兴县期中）如图，在中，于点，是上一点，是外一点，且，连接，是上的一点，，，，，，则的长为 .
【答案】14
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在△ABC和△ADE中，
，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴.
故答案为：14.
【分析】先利用“SAS”证出，可得，再结合，求出，再利用线段的和差求出即可.
13．（2023八上·长沙期中）如图，已知，，，，垂足点分别是，，，，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】∵，，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°，
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CED和△ADC中，
∴△CED△ADC，（AAS)
∴BE=DC=2，CE=AD=5，
∴DE=EC-CD=5-2=3.
故正确答案为：3.
【分析】根据 ，， 可得∠E=∠ADC=90°，根据等式性质可得∠EBC=∠DCA，，进而得出△CED△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值。
14．（2023八上·海淀开学考）如图，有一个，，，，一条线段，，分别在和过点且垂直于的射线上运动， 时，才能使与全等．
【答案】8或16
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵∠C=90°，AN⊥AC
∴∠C=∠MAN=90°
①当AM=8=BC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
②当AM=16=AC时
在Rt△ACB和Rt△MAN中
∴Rt△AC≌Rt△MAN（HL）
故答案为：8或16
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案.
15．（2023八上·苍溪期中）如图，在中，，于点D，BE平分，且于点E，与CD相交于点F，于点H，交BE于点G．下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的是 ．
【答案】①②③
【知识点】垂线；全等三角形的应用；等腰直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90° ∠BFD，∠DCA=90° ∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC.
∴BF=AC；DF=AD.
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在 Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，
∴ Rt△BEA≌Rt△BEC
∴
又由(1)，知BF=AC，
∴；故③正确；
在Rt△CEF中，
∵CF是斜边，CE是直角边，
∴CE∵CE=AE，
∴AE故答案为①②③.
【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定全等，根据全等三角形的性质、结合等腰直角三角形的性质逐一分析判定即可。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2024八上·浏阳期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 ▲ ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°-2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝ [180°-（60°-2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE-∠ACB＝60°+α-60°＝α．
（2）解：结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF-AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）①根据轴对称性质可得AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AB=AC，进而得到AE=AC；
②首先根据轴对称性质得出∠BAF＝∠EAF＝α，根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=60°，从而得出∠EAC=60°-2α，由①知AE=AC，从而得出∠ACE=∠AEC=60°+α，故而得出∠BCF＝∠ACE-∠AC＝α；
（2）如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF，由（1）②知∠BAF＝∠BCF＝α，故而得出∠ABC＝∠AFC＝60°，从而可判定△CFG是等边三角形，故而GF＝FC，然后再根据SAS证得△ACG≌△BCF，由全等三角形性质得出AG=BF，又根据对称性可知EF=BF，故而AG=EF，即可得出AF=GF+AG=EF+CF.
17．（2023八上·西和期中）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先利用等角对等边的性质可得DE=CE，再利用“HL”证出Rt△ADE≌Rt△BEC即可.
18．已知：如图，AB∥CD，AD交BC于点O，EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，且AE=DF．求证：O是EF的中点．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AOE和△DOF中，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴OE=OF，
∴O是EF的中点．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行线的性质说明∠A=∠D，结合其他条件，可利用AAS证明△AOE≌△DOF，从而有OE=OF，即有O是EF的中点成立.
19．（2023八上·淮南月考）如图，在中，D是的中点，过点D的直线交于点F，交的平行线于点G，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）请你判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
．
∵D为的中点，
∴．
在和中，
，
．
（2）解：．
证明：，
．
又，
．
在与中，
，
，
，
∵在中，，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用中点的性质可得，再利用“ASA”证出即可；
（2）先利用“SAS”证出，可得EG=EF，再利用三角形三边的关系及等量代换可得.
20．（2023八上·临汾期中）在中，，点D是直线BC上的一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧做，使，连接CE
（1）如图1，点D在线段BC上，若，求的度数：设；
（2）如图2，若点D在线段BC上移动，则和有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）若点D在直线BC上移动，则和有怎样的数量关系，请直接写出结论．
【答案】（1）解：∵
∴
即
在和中
∴
∴
在中，，则
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵
∴
即
在和中
∴
∴
在中，
则
∴即
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】 解： （3）∵∠BAC=，AB=AC，
∴∠B=×（180°-∠BAC）=90°-，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用“SAS”证出，可得，再结合，可得，再求出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出，可得，再利用角的运算和等量代换求出，可得；
（3）分类讨论，再利用全等三角形的判定和性质及角的运算求解即可.
21．（2023八上·阳谷月考）如图，已知中，，分别过、向过点的直线作垂线，垂足分别为点、．
（1）如图，过的直线与斜边不相交时，求证：．
（2）如图，过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，试求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
．
即的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出≌，可得CM=BN，AM=CN，再利用线的和差及等量代换可得；
（2）先利用角的运算求出，再利用“AAS”证出≌，可得CM=BN，AM=CN，再利用线的和差及等量代换可得，再将数据代入求解即可.
22．（2023八上·聊城月考）问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】（1）EF＝BE+DF
（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】（1）证明：在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD-∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
【分析】根据三角形全等的判定定理证明△ABE≌△ADG，通过角的和差关系求出∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，通过线段的和差关系即可求出．
23．（2022八上·平谷期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，，求证：．
小明发现，延长AD到点H，使DH=AD，连结BH，构造，通过证明与全等，为等腰三角形，使问题得以解决（如图2）．请写出推导过程．
【答案】证明：延长到点，使
∵为中点
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】延长AD到点H，使，先利用“SAS”证明，可得，，再结合，可得，证出，最后利用等量代换可得。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
