登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——12.3角平分线的性质
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·河东期中）下列说法中正确的个数是（ ）
到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；
等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一．
A． B． C． D．
2．（2023八上·英吉沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝10，则点D到AB的距离是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2023八上·龙马潭月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正确的结论共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．（2023八上·三台期中） 如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝8，则DF等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
5．（2023八上·张店月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
6．（2024八上·昆明期中）如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
7．（2023八上·苍溪期中）如图，，OP平分，，，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2023八上·遵义月考）如图，，，分别平分，，，于点，，的面积为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·海淀开学考） 若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是三角形（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点
10．（2023八上·洞口期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则（ ）．
A．10 B．7 C．8 D．9
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·吉林期中）如图，在Rt△BC中，∠C=90°。以顶点B为圆心、BC长为半径作圆弧，交AB于点D，再分别以点C和点D为圆心、大于CD长为半径作圆弧，两弧交于点E．作射线BE交AC于点F．若BC=12，AB=15，△BCF的面积为24．则△ABC的面积为
12．（2023八上·三台期中） 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN．若∠DMC＝15°，BN＝1，则MN的长是 ．
13．（2023八上·海林期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立，②OM＋ON的值不变，③四边形PMON的面积不变，④MN的长不变，其中正确的为 （请填写结论前面的序号）．
14．（2023八上·通榆月考）如图，△ABC中∠A＝60°，点M，N分别是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是 °．
15．（2021八上·盘龙期末）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于点F，交于点G，连接．
下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的结论有 ．（填序号）
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·江城期中）如图，已知∠A=∠D=90°，点E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．
（1）求证：AF=DE；
（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
17．（2023八上·三台期中） 如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD与∠BOA的度数．
18．（2023八上·三台期中） 如图，AB∥CD，M是AD的中点，BM⊥CM，连接BC．
（1）求证：CM平分∠BCD；
（2）探究BC、CD、AB之间的数量关系．
19．（2023八上·铁西期中）如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE=8，DE=2，求AB的长．
20．如图，在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BPC的度数．
（2）若∠A=80°，求∠BPC的度数．
（3）若∠A=x度，用含x的代数式表示∠BPC的度数．
21．（2024八上·增城期中）如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC．
求证：
（1）CO平分∠ACD．
（2）AB+CD=AC．
22．（2021八上·红桥期末）如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
23．（2023八上·海淀期中）小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：
问题：如图，中，，，是的角平分线，求：的值．
小聪同学经过思考，发现可以过作于，于，利用与的面积比来解决这个问题．
问题：如图，为等边三角形，点为外一点，，连接，探究，，三者之间的数量关系．
小明同学经过思考，发现可以在上截取，构造等边三角形，从而解决这个问题．
（1）根据两位同学的思考，完成问题、的解答直接写出结果．
（2）根据问题、的结论，解决下面问题：如图，和都是等边三角形，且、、三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性；全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）三角形具有稳定性，说法正确；
（2）到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，说法正确；
（3）在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确；
（4）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，说法正确；
（5）等腰三角形的顶角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一，说法错误；
故说法正确的有4个，
故答案为： C .
【分析】根据三角形的稳定性、垂直平分线的性质、角平分线的判定，全等三角形的判定，三线合一逐一判断即可解题．
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，DC=10，
∴DE=DC=10。
故答案为：C。
【分析】根据角平分线的性质，即可得出点D到AB的距离等于CD的长，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥AB于点G，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠GAD，
∵DE⊥AC，DG⊥AB于点G，
∴DE=DG，
同理可证DF=DG，
∴DE=DF，
所以①正确；
∵BF∥AC，
∴∠C=∠DBF，∠CED=∠F，
又由①知：DE=DF，
∴△CDE≌△BDF，
∴CD=BD，
∴②正确；
∵AC∥BF，
∴∠CAB+∠FBA=180°，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABD=∠ABF，
∴∠DAB+∠ABD=（∠CAB+∠FBA）=90°，
∴∠ADB=180°-90°=90°，
∴AD⊥BC，
∴③正确；
已证△CDE≌△BDF，
∴CE=BF，
∵AE=2BF，
∴AC=AE+CE=3BF，
又因为AD⊥BC，CD=BD，
∴AB=AC=3BF，
∴④正确；
S△ADE=AE×DE=×2BF×DF=BF×DF，
S△DBF=BF×DF，
∴S△ADE=2S△DBF，
又因为AD⊥BC，CD=BD，
AD是BC的垂直平分线，
所以点B和点C关于AD对称，
所以S△ACD=S△ABD，
∵S△ADE＜S△ACD，
∴S△ADE＜S△ABD，
∴S△ABD＞2S△DBF
所以⑤不正确。
所以正确的结论共有4个。
故答案为：B.
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，根据角平分线的性质定理的DE=DG=DF，即可得出①正确；在①成立的条件下，可证明△CDE≌△BDF，从而得出②正确；根据平行线的性质及角平分线的定义可证明③正确；根据全等三角形的性质可得CE=BF，从而可得AC=3BF，再根据垂直平分线的性质得出AB=AC=3BF，即可得出④正确；首先根据直角三角形面积的求法，证明S△ADE=2S△DBF，再根据垂直平分线的对称性，可以证明S△ACD=S△ABD，由由图形知S△ADE＜S△ACD，从而得出S△ABD＞2S△DBF，从而得出⑤不正确。综合以上结论，即可得出正确答案。
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥AC于点G
∵∠DAE＝∠ADE＝15°
∴
∴
∵DE∥AB
∴
∴
∴
∵DF⊥AB，DG⊥AC
∴DF=DG=4
故答案为：D
【分析】过点D作DG⊥AC于点G，根据等边对等角性质可得AE=DE=8，再根据直线平行性质得，，可得，再根据角平分线性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB，
MN∥BC，
∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，
∠MEB=∠ABE，∠NEC=∠ACE，
MB=ME，NE=NC，
AB=3，AC=4，
△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+ME+EN+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=3+4=7，
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质和平行线的性质证明△MEB和△NEC是等腰三角形，从而可得MB=ME，NE=NC，再利用等量代换可得 △AMN的周长 =AB+AC，从而得出结论.
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，因此①正确；②角平分线上的点 到角两边的距离相等，因此②正确；③等腰三角形三线合一，因此③正确；④∠B+∠BDE=∠C+∠CDF=90°，∠B=∠C，则∠BDE=∠CDF，因此④正确；则正确的有①②③④
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、角平分线的性质、解题即可。
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作PE ⊥ OA于点E，如图所示：
∵，OP平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵PE ⊥ OA，
∴，
∵OP平分，， PE ⊥ OA，
∴PD=PE=2.
故答案为：A.
【分析】作PE ⊥ OA于点E，由角平分线的性质定理可得PD=PE，再证是的直角三角形求解即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G，∵AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC，
∴EG=EF=ED=1，
∵的面积为∴（BC+AC+AB） 1=12，∴BC+AC+AB=24．故答案为：C．
【分析】过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G，由角平分线的性质，再根据等面积法求得AB+AC+BC。
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据角平分线的性质可知：
三角形内一点到三角形三条边的距离相等的点是角平分线的交点
故答案为：D
【分析】根据角平分线的判定定理及性质即可求出答案。
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】
解：如图延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM＝∠EAM，∠AMB＝∠AME＝90°，
在△ABM和△AEM中，
∴△ABM≌△AEM（ASA），
∴BM＝ME=2，AE＝AB=6，∠AEB＝∠ABE，
BE=4.
是的外角.
.
=3，
，
.
故A符合题意，B，C，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】延长BM，交AC于E，由ASA易证△ABM≌△AEM得出BM＝ME，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，求出BE＝4，AE＝6，由得出∠EBC＝∠ACB，EC=BE=4即可求出AC.
11．【答案】54
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】
解：∵在Rt△BC中，∠C=90°。以顶点B为圆心、BC长为半径作圆弧，交AB于点D，分别以点C和点D为圆心、大于CD长为半径作圆弧，两弧交于点E．作射线BE交AC于点F
∴ BC=BD=12，AF平分∠ABC
∵ FC⊥BC
∴ 点F到AB的距离h=CF
∵△BCF的面积为24
∴ FC=4
∴△ABF的面积 =
∴ S△ABC=S△BCF+S△ABF=54
∴△ABC的面积为 54.
故答案为：54.
【分析】本题考查角平分线的作图与性质、三角形的面积计算，熟悉角平分线的性质是关键。根据角平分线的性质，得出F到AB的距离等于FC，可得 △ABF的面积，则可知△ABC的面积。
12．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，由题意可得：
，CD平分∠ACB
∴∠DCB=45°
∴
∵，D为AB的中点
∴CD=BD，CD⊥AB
∵DM⊥DN
∴∠CDB=∠MDN=90°
∴∠CDM=∠BDN
在△CDM和△DBN中
∴△CDM≌△DBN（ASA）
∴DM=DN，∠DMC=∠DNB=15°，CM=BN=1
∵∠MDN=90°，DN=DM
∴∠MND=45°
∴∠MNC=30°
∵∠ACB=∠MCN=90°
∴MN=2CM=2BN=2
故答案为：2
【分析】连接CD，根据角平分线性质可得，根据三角形中线性质可得∠CDM=∠BDN，再根据全等三角形判定定理可得△CDM≌△DBN，则DM=DN，∠DMC=∠DNB=15°，CM=BN=1再进行角之间的转换即可求出答案.
13．【答案】①②③
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，
则∠PCM=∠PDN=90°，
∴∠CPD+∠MON=180°，
∵∠NPM+∠MON=180°，
∴∠DPC=∠MPN，
∴∠DPN=∠CPM，
∵P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，
∴PC=PD，且OP、PC、PD都是定长，
在Rt△MPC和Rt△NPD中
∴Rt△MPC≌Rt△NPD（ASA）
∴PM=PN，故①正确；
②由①得：Rt△MPC≌Rt△NPD，
∴CM=DN，
在Rt△OPC和Rt△OPD中
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）
∴OC=OD，
∴OM+ON=OC+CM+OD-DN=OC+OD，
而OC、OD是定值，
∴OM+ON是定值，故②正确；
③由①得：Rt△MPC≌Rt△NPD，
∴SRt△MPC=SRt△NPD，
∴S四边形PMON=S△OPM+S△OPN=S△OPC+S△PCM+S△OPD-S△PDN
=S△OPC+S△OPD=定值，故③正确；
④∵∠MPN与∠AOB互补，
∴∠MPN是定角，
而PM=PN，但∠MPN在绕点P旋转的过程中，PM的长度在发生变化，
∴等腰三角形MPN的底边MN的长度也在变化，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】①过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，由同角的补角相等可得∠DPC=∠MPN，结合角的构成可得∠DPN=∠CPM，用角边角可证Rt△MPC≌Rt△NPD，根据全等三角形的性质可得PM=PN；②由① 中的全等三角形可得CM=DN，用HL定理可证Rt△OPC≌Rt△OPD，于是OC=OD，根据线段的构成可得OM+ON是定值；③由①得：SRt△MPC=SRt△NPD，根据四边形面积的构成可求解；④由题意易得∠MPN是定角，由①得PM=PN，但∠MPN在绕点P旋转的过程中，PM的长度在发生变化，于是可得MN的长度在变化.
14．【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为点M，N分别是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，
所以∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB；
因为∠A=60°，所以∠MBC+∠MCB=80°，
所以∠BMC=100°，
因为BN平分∠MBC，NC平分∠MCB
所以MN平分∠BMC，所以∠BMN=∠BMC=50°；
故答案为：50.
【分析】根据三角形的内角和定理，角平分线的性质和判定，求出答案即可。
15．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB；故①符合题意；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM=PN=PS，
∴PC平分∠BCD，
同理可得，∠CPA=∠ABC，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠ABC=∠BEC+∠BCE=2∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC，
∴∠CPA=∠CEA，
∵S△PAC：S△PAB=（AC PN）：（AB PM）=AC：AB；故②符合题意；
∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③符合题意；
∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故④符合题意．
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的性质和判定、三角形的面积公式及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可。
16．【答案】（1）证明： ∵BE= CF，
∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE．
∵∠A=∠D=90° ，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
∴AF=DE．
（2）由(1)知Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB=∠DEC
∵OP⊥EF，
∴∠OPE=∠OPF=90°．
在△OPE和△OPF中，
∴△OPE≌△OPF(AAS)．
∴∠EOP=∠FOP．
∴OP平分∠EOF．
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，等式两边同时加上一个相同的数，等式不变，可得BF=CE；根据直角三角形全等的判定，可得Rt△ABF≌Rt△DCE；根据全等三角形的性质，可得AF=DE；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠AFB=∠DEC；根据全等三角形的判定（AAS），可以得出△OPE≌△OPF；根据全等三角形的性质，可得∠EOP=∠FOP，进而可得OP平分∠EOF.
17．【答案】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°-90°-70°＝20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝×50°＝25°
∴∠EAD＝∠EAC-∠DAC＝25°-20°＝5°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°-∠BAO-∠ABO＝180°-25°-30°＝125°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意及三角形内角和定理可得 ∠DAC＝20°，再根据角平分线性质可得∠CAE＝25°，则∠EAD＝∠EAC-∠DAC＝5°，可得∠BAO＝25°，∠ABC＝60° ，再根据角平分线性质可得 ∠ABO＝30° ，由三角形内角和定理即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：延长BM交CD于点N，如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABM＝∠DNM，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DNM中，
∴△ABM≌△DNM（AAS），
∴BM＝NM，
∵BM⊥CM，
∴∠CMB＝∠CMN＝90°，
又∵CM＝CM，
∴△CBM≌△CNM（SAS），
∴∠BCM＝∠NCM，即CM平分∠BCD．
（2）解：
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：（2）∵△ABM≌△DNM，CBM≌△CNM
∴AB=DN，BC=EC
∴AB+BC=DE+EC
∴AB+BC=CD
故答案为：AB+BC=CD
【分析】（1）延长BM交CD于点N，根据直线平行性质可得∠A＝∠D，∠ABM＝∠DNM，再根据全等三角形判定定理可得△ABM≌△DNM，则BM＝NM，由∠CMB＝∠CMN＝90°，CM＝CM，可得△CBM≌△CNM，再根据全等三角形性质可得∠BCM＝∠NCM，再根据角平分线的判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质可得AB=DN，BC=EC，则AB+BC=DE+EC，即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：由（1）可得BF＝DE＝2，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE＝AF＝8，
∴AB＝AF-BF＝6．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠D＝∠CBF，再根据全等三角形判定定理可得△CDE≌△CBF，则CE＝CF，再根据角平分线的判定定理即可求出答案；
（2）根据三角形判定定理可得Rt△ACE≌Rt△ACF，则AE＝AF＝8，再根据AB＝AF-BF即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠PBC=∠ABC=30°，∠PCB=∠ACB=20°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=130°；
（2）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=50°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=130°；
（3）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=(90-)°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=(90+)°.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线将角分成两个相等的角；三角形内角和为180°求解即可.
21．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠B=90°，OA平分∠BAC.
∴OB= OE.
∵点O为BD的中点.
∴OB=OD.
∴OE =OD．
又∵∠D= 90°，
∴OC平分∠ACD.
（2）证明：由(1)得OB= OE= OD.
在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴AB=AE.
在Rt△CEO和Rt△CDO中，
∵Rt△CEO≌Rt△CDO(HL)，
∴CD=CE.
∵AE+CE=AC，
∴AB+CD=AC.
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】(1)根据角平分线性质得OB= OE；根据中点得OB=OD进而得OE =OD，再根据角平分线的判定得 CO平分∠ACD 。
(2)根据HL证明Rt△ABO≌Rt△AEO和Rt△CEO≌Rt△CDO得AB=AE和CD=CE， AB+CD=AC 即为所求。
22．【答案】解：（Ⅰ）证明∵，
∴，即．
∵，，
∴≌．∴
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得．
∵，∴．
∴．
（Ⅲ）证明：如图，过分别作，，垂足分别为点，．
∵≌，∴．∴．
∵，∴．
∴ 点在的平分线上．∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“SAS”证明≌，再利用全等的性质可得AC=BD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得，再利用角的运算及等量代换可得；
（Ⅲ）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积可得，即可得到，即可证明 点在的平分线上，即可得到。
23．【答案】（1）问题1：
问题2：
（2）
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）问题：过点作于，于，
是的角平分线，，，
，
，，，，
，
；
问题：在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
；
（2）由（1）可知≌，
，，，
，
过点作于，于，
，
，
平分，
，
在上截取，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据角平分线的性质，三角形的面积公式、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等计算求解即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式等计算求解即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——12.3角平分线的性质
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·河东期中）下列说法中正确的个数是（ ）
到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点
在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；
等腰三角形的角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性；全等三角形的应用；线段垂直平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：（1）三角形具有稳定性，说法正确；
（2）到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，说法正确；
（3）在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确；
（4）有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，说法正确；
（5）等腰三角形的顶角平分线，中线，高线互相重合，简称三线合一，说法错误；
故说法正确的有4个，
故答案为： C .
【分析】根据三角形的稳定性、垂直平分线的性质、角平分线的判定，全等三角形的判定，三线合一逐一判断即可解题．
2．（2023八上·英吉沙期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝10，则点D到AB的距离是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，DC=10，
∴DE=DC=10。
故答案为：C。
【分析】根据角平分线的性质，即可得出点D到AB的距离等于CD的长，即可得出答案。
3．（2023八上·龙马潭月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF；⑤S△ADB＝2S△BDF，其中正确的结论共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥AB于点G，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠GAD，
∵DE⊥AC，DG⊥AB于点G，
∴DE=DG，
同理可证DF=DG，
∴DE=DF，
所以①正确；
∵BF∥AC，
∴∠C=∠DBF，∠CED=∠F，
又由①知：DE=DF，
∴△CDE≌△BDF，
∴CD=BD，
∴②正确；
∵AC∥BF，
∴∠CAB+∠FBA=180°，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABD=∠ABF，
∴∠DAB+∠ABD=（∠CAB+∠FBA）=90°，
∴∠ADB=180°-90°=90°，
∴AD⊥BC，
∴③正确；
已证△CDE≌△BDF，
∴CE=BF，
∵AE=2BF，
∴AC=AE+CE=3BF，
又因为AD⊥BC，CD=BD，
∴AB=AC=3BF，
∴④正确；
S△ADE=AE×DE=×2BF×DF=BF×DF，
S△DBF=BF×DF，
∴S△ADE=2S△DBF，
又因为AD⊥BC，CD=BD，
AD是BC的垂直平分线，
所以点B和点C关于AD对称，
所以S△ACD=S△ABD，
∵S△ADE＜S△ACD，
∴S△ADE＜S△ABD，
∴S△ABD＞2S△DBF
所以⑤不正确。
所以正确的结论共有4个。
故答案为：B.
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，根据角平分线的性质定理的DE=DG=DF，即可得出①正确；在①成立的条件下，可证明△CDE≌△BDF，从而得出②正确；根据平行线的性质及角平分线的定义可证明③正确；根据全等三角形的性质可得CE=BF，从而可得AC=3BF，再根据垂直平分线的性质得出AB=AC=3BF，即可得出④正确；首先根据直角三角形面积的求法，证明S△ADE=2S△DBF，再根据垂直平分线的对称性，可以证明S△ACD=S△ABD，由由图形知S△ADE＜S△ACD，从而得出S△ABD＞2S△DBF，从而得出⑤不正确。综合以上结论，即可得出正确答案。
4．（2023八上·三台期中） 如图：∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝8，则DF等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥AC于点G
∵∠DAE＝∠ADE＝15°
∴
∴
∵DE∥AB
∴
∴
∴
∵DF⊥AB，DG⊥AC
∴DF=DG=4
故答案为：D
【分析】过点D作DG⊥AC于点G，根据等边对等角性质可得AE=DE=8，再根据直线平行性质得，，可得，再根据角平分线性质即可求出答案.
5．（2023八上·张店月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB，
MN∥BC，
∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，
∠MEB=∠ABE，∠NEC=∠ACE，
MB=ME，NE=NC，
AB=3，AC=4，
△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+ME+EN+AN=AM+MB+CN+AN=AB+AC=3+4=7，
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质和平行线的性质证明△MEB和△NEC是等腰三角形，从而可得MB=ME，NE=NC，再利用等量代换可得 △AMN的周长 =AB+AC，从而得出结论.
6．（2024八上·昆明期中）如图，中，，AD平分，，，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③且；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①垂直平分线上的点 到线段两端点的距离相等，因此①正确；②角平分线上的点 到角两边的距离相等，因此②正确；③等腰三角形三线合一，因此③正确；④∠B+∠BDE=∠C+∠CDF=90°，∠B=∠C，则∠BDE=∠CDF，因此④正确；则正确的有①②③④
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、角平分线的性质、解题即可。
7．（2023八上·苍溪期中）如图，，OP平分，，，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作PE ⊥ OA于点E，如图所示：
∵，OP平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵PE ⊥ OA，
∴，
∵OP平分，， PE ⊥ OA，
∴PD=PE=2.
故答案为：A.
【分析】作PE ⊥ OA于点E，由角平分线的性质定理可得PD=PE，再证是的直角三角形求解即可。
8．（2023八上·遵义月考）如图，，，分别平分，，，于点，，的面积为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G，∵AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC，
∴EG=EF=ED=1，
∵的面积为∴（BC+AC+AB） 1=12，∴BC+AC+AB=24．故答案为：C．
【分析】过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G，由角平分线的性质，再根据等面积法求得AB+AC+BC。
9．（2023八上·海淀开学考） 若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是三角形（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据角平分线的性质可知：
三角形内一点到三角形三条边的距离相等的点是角平分线的交点
故答案为：D
【分析】根据角平分线的判定定理及性质即可求出答案。
10．（2023八上·洞口期中）如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则（ ）．
A．10 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】
解：如图延长BM，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BM⊥AD，
∴∠BAM＝∠EAM，∠AMB＝∠AME＝90°，
在△ABM和△AEM中，
∴△ABM≌△AEM（ASA），
∴BM＝ME=2，AE＝AB=6，∠AEB＝∠ABE，
BE=4.
是的外角.
.
=3，
，
.
故A符合题意，B，C，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】延长BM，交AC于E，由ASA易证△ABM≌△AEM得出BM＝ME，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，求出BE＝4，AE＝6，由得出∠EBC＝∠ACB，EC=BE=4即可求出AC.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·吉林期中）如图，在Rt△BC中，∠C=90°。以顶点B为圆心、BC长为半径作圆弧，交AB于点D，再分别以点C和点D为圆心、大于CD长为半径作圆弧，两弧交于点E．作射线BE交AC于点F．若BC=12，AB=15，△BCF的面积为24．则△ABC的面积为
【答案】54
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】
解：∵在Rt△BC中，∠C=90°。以顶点B为圆心、BC长为半径作圆弧，交AB于点D，分别以点C和点D为圆心、大于CD长为半径作圆弧，两弧交于点E．作射线BE交AC于点F
∴ BC=BD=12，AF平分∠ABC
∵ FC⊥BC
∴ 点F到AB的距离h=CF
∵△BCF的面积为24
∴ FC=4
∴△ABF的面积 =
∴ S△ABC=S△BCF+S△ABF=54
∴△ABC的面积为 54.
故答案为：54.
【分析】本题考查角平分线的作图与性质、三角形的面积计算，熟悉角平分线的性质是关键。根据角平分线的性质，得出F到AB的距离等于FC，可得 △ABF的面积，则可知△ABC的面积。
12．（2023八上·三台期中） 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，点M、N分别在AC、CB的延长线上，且MD⊥DN，连MN．若∠DMC＝15°，BN＝1，则MN的长是 ．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：连接CD，由题意可得：
，CD平分∠ACB
∴∠DCB=45°
∴
∵，D为AB的中点
∴CD=BD，CD⊥AB
∵DM⊥DN
∴∠CDB=∠MDN=90°
∴∠CDM=∠BDN
在△CDM和△DBN中
∴△CDM≌△DBN（ASA）
∴DM=DN，∠DMC=∠DNB=15°，CM=BN=1
∵∠MDN=90°，DN=DM
∴∠MND=45°
∴∠MNC=30°
∵∠ACB=∠MCN=90°
∴MN=2CM=2BN=2
故答案为：2
【分析】连接CD，根据角平分线性质可得，根据三角形中线性质可得∠CDM=∠BDN，再根据全等三角形判定定理可得△CDM≌△DBN，则DM=DN，∠DMC=∠DNB=15°，CM=BN=1再进行角之间的转换即可求出答案.
13．（2023八上·海林期中）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立，②OM＋ON的值不变，③四边形PMON的面积不变，④MN的长不变，其中正确的为 （请填写结论前面的序号）．
【答案】①②③
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：①过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，
则∠PCM=∠PDN=90°，
∴∠CPD+∠MON=180°，
∵∠NPM+∠MON=180°，
∴∠DPC=∠MPN，
∴∠DPN=∠CPM，
∵P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，
∴PC=PD，且OP、PC、PD都是定长，
在Rt△MPC和Rt△NPD中
∴Rt△MPC≌Rt△NPD（ASA）
∴PM=PN，故①正确；
②由①得：Rt△MPC≌Rt△NPD，
∴CM=DN，
在Rt△OPC和Rt△OPD中
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）
∴OC=OD，
∴OM+ON=OC+CM+OD-DN=OC+OD，
而OC、OD是定值，
∴OM+ON是定值，故②正确；
③由①得：Rt△MPC≌Rt△NPD，
∴SRt△MPC=SRt△NPD，
∴S四边形PMON=S△OPM+S△OPN=S△OPC+S△PCM+S△OPD-S△PDN
=S△OPC+S△OPD=定值，故③正确；
④∵∠MPN与∠AOB互补，
∴∠MPN是定角，
而PM=PN，但∠MPN在绕点P旋转的过程中，PM的长度在发生变化，
∴等腰三角形MPN的底边MN的长度也在变化，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】①过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，由同角的补角相等可得∠DPC=∠MPN，结合角的构成可得∠DPN=∠CPM，用角边角可证Rt△MPC≌Rt△NPD，根据全等三角形的性质可得PM=PN；②由① 中的全等三角形可得CM=DN，用HL定理可证Rt△OPC≌Rt△OPD，于是OC=OD，根据线段的构成可得OM+ON是定值；③由①得：SRt△MPC=SRt△NPD，根据四边形面积的构成可求解；④由题意易得∠MPN是定角，由①得PM=PN，但∠MPN在绕点P旋转的过程中，PM的长度在发生变化，于是可得MN的长度在变化.
14．（2023八上·通榆月考）如图，△ABC中∠A＝60°，点M，N分别是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是 °．
【答案】50
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为点M，N分别是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，
所以∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB；
因为∠A=60°，所以∠MBC+∠MCB=80°，
所以∠BMC=100°，
因为BN平分∠MBC，NC平分∠MCB
所以MN平分∠BMC，所以∠BMN=∠BMC=50°；
故答案为：50.
【分析】根据三角形的内角和定理，角平分线的性质和判定，求出答案即可。
15．（2021八上·盘龙期末）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于点F，交于点G，连接．
下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中，正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB；故①符合题意；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM=PN=PS，
∴PC平分∠BCD，
同理可得，∠CPA=∠ABC，
∵BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
∵∠ABC=∠BEC+∠BCE=2∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC，
∴∠CPA=∠CEA，
∵S△PAC：S△PAB=（AC PN）：（AB PM）=AC：AB；故②符合题意；
∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），故③符合题意；
∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故④符合题意．
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的性质和判定、三角形的面积公式及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·江城期中）如图，已知∠A=∠D=90°，点E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．
（1）求证：AF=DE；
（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【答案】（1）证明： ∵BE= CF，
∴BE+ EF=CF+EF，即BF=CE．
∵∠A=∠D=90° ，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
∴AF=DE．
（2）由(1)知Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB=∠DEC
∵OP⊥EF，
∴∠OPE=∠OPF=90°．
在△OPE和△OPF中，
∴△OPE≌△OPF(AAS)．
∴∠EOP=∠FOP．
∴OP平分∠EOF．
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质，等式两边同时加上一个相同的数，等式不变，可得BF=CE；根据直角三角形全等的判定，可得Rt△ABF≌Rt△DCE；根据全等三角形的性质，可得AF=DE；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠AFB=∠DEC；根据全等三角形的判定（AAS），可以得出△OPE≌△OPF；根据全等三角形的性质，可得∠EOP=∠FOP，进而可得OP平分∠EOF.
17．（2023八上·三台期中） 如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠EAD与∠BOA的度数．
【答案】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90°
∵∠C＝70°
∴∠DAC＝180°-90°-70°＝20°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝×50°＝25°
∴∠EAD＝∠EAC-∠DAC＝25°-20°＝5°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°-∠BAO-∠ABO＝180°-25°-30°＝125°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】根据题意及三角形内角和定理可得 ∠DAC＝20°，再根据角平分线性质可得∠CAE＝25°，则∠EAD＝∠EAC-∠DAC＝5°，可得∠BAO＝25°，∠ABC＝60° ，再根据角平分线性质可得 ∠ABO＝30° ，由三角形内角和定理即可求出答案.
18．（2023八上·三台期中） 如图，AB∥CD，M是AD的中点，BM⊥CM，连接BC．
（1）求证：CM平分∠BCD；
（2）探究BC、CD、AB之间的数量关系．
【答案】（1）证明：延长BM交CD于点N，如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABM＝∠DNM，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DNM中，
∴△ABM≌△DNM（AAS），
∴BM＝NM，
∵BM⊥CM，
∴∠CMB＝∠CMN＝90°，
又∵CM＝CM，
∴△CBM≌△CNM（SAS），
∴∠BCM＝∠NCM，即CM平分∠BCD．
（2）解：
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：（2）∵△ABM≌△DNM，CBM≌△CNM
∴AB=DN，BC=EC
∴AB+BC=DE+EC
∴AB+BC=CD
故答案为：AB+BC=CD
【分析】（1）延长BM交CD于点N，根据直线平行性质可得∠A＝∠D，∠ABM＝∠DNM，再根据全等三角形判定定理可得△ABM≌△DNM，则BM＝NM，由∠CMB＝∠CMN＝90°，CM＝CM，可得△CBM≌△CNM，再根据全等三角形性质可得∠BCM＝∠NCM，再根据角平分线的判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形性质可得AB=DN，BC=EC，则AB+BC=DE+EC，即可求出答案.
19．（2023八上·铁西期中）如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE=8，DE=2，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠DEC＝∠CFB＝90°，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CE＝CF，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：由（1）可得BF＝DE＝2，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE＝AF＝8，
∴AB＝AF-BF＝6．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠D＝∠CBF，再根据全等三角形判定定理可得△CDE≌△CBF，则CE＝CF，再根据角平分线的判定定理即可求出答案；
（2）根据三角形判定定理可得Rt△ACE≌Rt△ACF，则AE＝AF＝8，再根据AB＝AF-BF即可求出答案.
20．如图，在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BPC的度数．
（2）若∠A=80°，求∠BPC的度数．
（3）若∠A=x度，用含x的代数式表示∠BPC的度数．
【答案】（1）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠PBC=∠ABC=30°，∠PCB=∠ACB=20°，
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=130°；
（2）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=50°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=130°；
（3）解：∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=(90-)°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=(90+)°.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线将角分成两个相等的角；三角形内角和为180°求解即可.
21．（2024八上·增城期中）如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC．
求证：
（1）CO平分∠ACD．
（2）AB+CD=AC．
【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AC于E，
∵∠B=90°，OA平分∠BAC.
∴OB= OE.
∵点O为BD的中点.
∴OB=OD.
∴OE =OD．
又∵∠D= 90°，
∴OC平分∠ACD.
（2）证明：由(1)得OB= OE= OD.
在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴AB=AE.
在Rt△CEO和Rt△CDO中，
∵Rt△CEO≌Rt△CDO(HL)，
∴CD=CE.
∵AE+CE=AC，
∴AB+CD=AC.
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】(1)根据角平分线性质得OB= OE；根据中点得OB=OD进而得OE =OD，再根据角平分线的判定得 CO平分∠ACD 。
(2)根据HL证明Rt△ABO≌Rt△AEO和Rt△CEO≌Rt△CDO得AB=AE和CD=CE， AB+CD=AC 即为所求。
22．（2021八上·红桥期末）如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
【答案】解：（Ⅰ）证明∵，
∴，即．
∵，，
∴≌．∴
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得．
∵，∴．
∴．
（Ⅲ）证明：如图，过分别作，，垂足分别为点，．
∵≌，∴．∴．
∵，∴．
∴ 点在的平分线上．∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“SAS”证明≌，再利用全等的性质可得AC=BD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得，再利用角的运算及等量代换可得；
（Ⅲ）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积可得，即可得到，即可证明 点在的平分线上，即可得到。
23．（2023八上·海淀期中）小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：
问题：如图，中，，，是的角平分线，求：的值．
小聪同学经过思考，发现可以过作于，于，利用与的面积比来解决这个问题．
问题：如图，为等边三角形，点为外一点，，连接，探究，，三者之间的数量关系．
小明同学经过思考，发现可以在上截取，构造等边三角形，从而解决这个问题．
（1）根据两位同学的思考，完成问题、的解答直接写出结果．
（2）根据问题、的结论，解决下面问题：如图，和都是等边三角形，且、、三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值．
【答案】（1）问题1：
问题2：
（2）
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）问题：过点作于，于，
是的角平分线，，，
，
，，，，
，
；
问题：在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
；
（2）由（1）可知≌，
，，，
，
过点作于，于，
，
，
平分，
，
在上截取，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据角平分线的性质，三角形的面积公式、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等计算求解即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式等计算求解即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
