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人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——第十二章综合测试
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·兴县期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．三边分别相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.形状相同的两个三角形全等，是假命题，故A项错误；
B.三边分别相等的两个三角形全等，是真命题， 故B项正确；
C.周长相等的两 个三角形全等，是假命题，故C项错误；
D.两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等，是假命题，故D项错误；
故答案选：B.
【分析】根据全等三角形的判定即可解答.
2．（2023八上·顺平期中）如图，垂直的平分线于点，为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】延长交于点，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点，
又∵为中点，
∴，，，
∴，即，
∴.
故答案为：D．
【分析】延长交于点，证明，根据三角形中线的性质可得，，，进而即可求解．
3．（2023八上·莎车期中）已知，如图所示，AD＝AC，BD＝BC，O为AB上一点，那么，图中共有（ ）对全等三角形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SAS），
在△CBO和△DBO中，
，
∴△CBO≌△DBO（SAS），
综上，共有3对全等的三角形，
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐个分析判断即可.
4．（2023八上·英吉沙期中） 如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（ ）
A．边角边，全等三角形对应角相等
B．角边角，全等三角形对应角相等
C．边边边，全等三角形对应角相等
D．斜边直角边，全等三角形对应角相等
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由作图过程知：和中，OD=OC，DP=CP，OP=OP，所以根据SSS可得和全等。
故答案为：C。
【分析】根据尺规作图过程和三角形全等的判定，即可得出答案。
5．（2023八上·北京市月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B-C-A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（ ）
A．2 B．2.8 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
∴6-2t＝8-3t，解得t＝2；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6-2t＝3t-8，
解得t＝2.8；
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
由题意得，2t-6＝6，
解得t＝6．
综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
【分析】分类讨论：①当P在AC上，Q在BC上时，②当P在AC上，Q在AC上时，③当P在BC上，Q在AC上时，再分别列出方程求解即可.
6．（2023八上·红桥期中）如图，，，，垂足分别是点D，E，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵
∴
∵AC=CB
∴
∴CD=BE=1
∴DE=CE-CD=2
故答案为：A
【分析】根据三角形内角和定理可得，由，则，再根据全等三角形判定定理可得，则CD=BE=1，则DE=CE-CD=2，即可求出答案.
7．（2023八上·海淀月考）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AB，下列说法不一定正确的是 （ ）
A．AE＝BE B．∠AED+∠EBC＝90°
C．∠DAE＝∠EBC D．∠BAE＝∠CAE
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：
A：AE＝BE，说法正确，不符合题意，
B：∠AED+∠EBC＝90°，说法正确，不符合题意，
C：∠DAE＝∠EBC，说法正确，不符合题意，
D：∠BAE＝∠CAE，说法不一定正确，符合题意，只有AE平分 ∠BAC时，本说法才成立。
故答案为：D
【分析】根据垂直平分线性质和角平分线定义，推导各结论的真伪，发现只有D不一定正确。
8．（2023八上·南关期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥AC交CD于点E，连接AE，若ED＝EF，∠ECF＝58°，则∠DAE＝（ ）
A．32° B．18° C．16° D．29°
【答案】C
【知识点】角平分线的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，∠ECF＝58°，
∴∠DAC=90°-∠ECF＝90°-58°=32°，
∵CD⊥AB，EF⊥AC，ED＝EF，
∴AE平分∠BAC，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求∠DAC的度数，再利用角平分线的判定证AE平分∠BAC，最后用角平分线的定义计算。
9．（2023八上·兴县期中）如图，点在同一直线上，于点于点，连结，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵BFAC，DEAC，
∴∠BFO=∠DEO=90°，
∵为的中点，
∴OE=OF，
在△EOD和△FOB中，
∴△EOD△FOB（ASA)，故①正确；
∴DE=BF，
∵AE=CF，OE=OF'
∴AE+OE=CF+OF，即AO=OC，故②正确；
∴AF=EC，
在△AFB和△CED中，
∴△AFB△CED（SAS)，
∴AB=CD，∠A=∠C，故③正确，
∴ABCD，故④正确，
综上①②③④正确，
故答案为：D.
【分析】分别证明△EOD△FOB（ASA)，△AFB△CED（SAS)，即可解答。
10．（2023八上·海淀开学考）如图，平分，，分别是，上的点，，则与的数量关系一定满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N
∵平分
∴EM=EN
∵EF=EG
∴△EMF≌△BGE
∴
∴
故答案为：B
【分析】分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N，根据角平分线性质，全等三角形判定定理可得△EMF≌△BGE，则，即可求出答案.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·榆树期中）如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是 ．
【答案】AC＝DC（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中
∵BC=EC，∠ACB=∠DCE，AC=CD，
△ABC≌△DEC （SAS)，
故答案为： AC＝DC（答案不唯一） .
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．结合已知条件，再找出缺少的条件即可。
12．（2023八上·石家庄期中）如图，AE与BD相交于点C，，，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1 cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发.当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为.连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为 s.
【答案】2或4
【知识点】全等三角形的应用；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：在△ACB和△ECD中，
∵AC=EC，∠ACB=∠ECD，BC=DC，
∴（SAS），
∴∠A=∠E，ED=AB=8cm，
当线段PQ经过点C时，如下图所示：
在△ACP和△ECQ中，
∵∠A=∠E，AC=EC，∠ACP=∠ECQ，
∴（ASA），
∴AP=EQ，
当点P沿 A→B 方向运动时，AP=3t，DQ=t，
EQ=ED-DQ=8-t，
∴3t=8-t，
解得：t=2，
当点P沿 B→A 方向运动时，AP=2AB-3t=16-3t，DQ=t，
EQ=ED-DQ=8-t，
∴16-3t=8-t，
解得：t=4，
综合可得，t的值为2或4.
故答案为：2或4。
【分析】根据SAS证明，ASA证明，利用全等三角形的性质，结合动点运动的路线，分两种情况建立方程求解。
13．（2023八上·吉林期中）如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD，若∠D=40°，∠ECD=115°，则∠B= 度．
【答案】25
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AB∥CD
∴∠BAC=∠ECD=115°
在△ABC和△CED中
∴△ABC≌△CED（SAS）
∴
故答案为：25
【分析】根据直线平行性质可得∠BAC=∠ECD=115°，再根据全等三角形判定定理可得△ABC≌△CED，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．（2023八上·吉林期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A =∠ABE，AC = 10，BC = 6，则BD的长为
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD
∴CE=CB=6
∴AE=AC-CE=4
∵∠A =∠ABE
∴BE=AE=4
∴
故答案为：2
【分析】根据角平分线性质，BE⊥CD可得CE=CB，，再根据等角对等边性质可得BE=AE=4，即可求出答案.
15．（2023八上·淮南期中） 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 ．
【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，
∵、的角平分线、交于点，
∴PM=PN，PN=PD，
∴PM=PN=PD，
又∵于，于，
∴平分， ① 正确；
∵于，，
∴∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△APM和Rt△PAD中，
∵PM=PD，PA=PA，
∴（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理可得：，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2（∠APD+∠CPD）=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确；
∵、的角平分线、交于点，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC=2∠PCN，，
∴，
∴∠BPC=2∠BPC，故③正确；
由②可知：，，
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPM，
∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确，
故答案为：①②③④．
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，根据角平分线的性质和判定可判断①，通过证明全等，利用全等三角形的性质可判断②，根据三角形外角的性质可判断③，通过全等三角形的面积相等可判断④．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·吉林月考）如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD．AD与BE交于点N，BM⊥AD于点M．
求证：
（1）△ABE≌△CAD；
（2）MN= BN．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB= 60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD （SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，
∴∠AMB=90°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB= 60°，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠ABE=∠CAD，则∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，再根据三角形内角和定理可得∠NBM=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
17．（2023八上·江源月考）如图，P为等边△ABC内一点，连接BP、PC，延长PC到点D，使CD= PC；延长BC到点E，使CE=BC，连接AE、DE．
（1）求证：BP∥DE；
（2）求∠BAE的度数；
（3）若BP⊥AC，则∠AED= 度．
【答案】（1）证明：在△PCB与△DCE中，∵PC = DC，∠PCB =∠DCE，BC = EC，
∴PCB≌△DCE（SAS），∴∠PBC =∠DEC，∴BP∥DE
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB = 60° ，AC = BC，∴∠ACE= 120°，∵BC = CE，∴AC = CE，∴∠CAE =∠AEC = （180°- 120°） = 30°
∴∠BAE =∠BAC+∠CAE = 60°+ 30°= 90°．
（3）60
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）分别延长AC，ED交于点F
∵BP∥DE，且BP⊥AC
∴ED⊥AC
∴∠F=90°
∵∠FAE=30°
∴∠AED=60°
故答案为：60
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得 △PCB≌△DCE ，则∠PBC =∠DEC，再根据内错角相等，两直线平行即可求出答案；
（2）根据等边三角形性质和三角形外角性质可得∠ACE= 120°，AC = CE，再根据等边对等角性质，三角形内角和定理可得∠CAE =∠AEC ，再根据∠BAE =∠BAC+∠CAE 即可求出答案；
（3）分别延长AC，ED交于点F，根据直线平行性质可得∠F=90°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．（2023八上·西和期中） 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC-∠ABC＝60°-45°＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE-∠BAD＝45°-15°＝30°，
∴∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°-∠CAF＝45°；
（2）解：证明：由（1）可知，∠DAC＝45°，∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴GF＝DF，
由（1）可知，∠FAG＝30°，
∵∠AFG＝90°，
∴FG＝AG，
∴DF＝AG．
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出△ABE是等腰直角三角形，可得∠BAE=45°，再利用角的运算求出∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，再求出∠ACF＝90°-∠CAF＝45°即可；
（2）先利用“ASA”证出△AFG≌△CFD，可得GF=DF，再结合∠FAG＝30°，∠AFG＝90°，可得FG＝AG，再利用等量代换可得DF＝AG．
19．（2023八上·吉林期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是线段AB上的一点，过点A作AE⊥CP，交CP的延长线于点E，过点B作BF⊥CP于点F．
（1）若BF=8，AE=3，则EF=
（2）在图①中，线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是△ABC内部的一点，且BP⊥CP，连接AP，若CP=5，求△ACP的面积．
【答案】（1）5
（2）解：BF=EF+AE．
理由如下：∵∠CAE+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE =90°，
∴∠CAE=∠BCF，∵∠E=∠BFC，AC=BC，∴△ACE≌△CBF(AAS) ，
∴AE=CF，CE=BF．
∴CE=EF+CF=EF+AD=BF，即BF=EF+ AE．
（3）解：过点A作AD⊥CP，交CP的延长线于点D，∴∠BPC=∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠ACD+BCP=90°=∠ACD+∠CAD．
∴∠CAD=∠BCP．
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBP(AAS)．
∴AD=CP=5．
∴S△ACP=×CP×AD =×5×5=
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCF=90°
∵AE⊥CE，BF⊥CE
∴∠E=∠BFC=90°
∴∠ACE+∠CAE=90°
∴∠CAE=∠BCF
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE=CE=3，CE=BF=8
∴EF=CE-CF=5
故答案为：5
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△CBF，则AE=CE=3，CE=BF=8，即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△CBF，则AE=CF，CE=BF，所有CE=EF+CF=EF+AD=BF，即可求出答案.
（3）过点A作AD上CP，交CP的延长线于点D，根据全等三角形判定定理可得△ACD≌△CBP，则AD=CP=5，再根据三角形面积即可求出答案.
20．（2024八上·增城期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，DC=AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）求证：AC=CB．
（2）若AC=12cm，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵AF⊥DC，
∴∠ACF+∠FAC=90°，
∵∠ACF+∠FCB= =90°，
∴∠EAC= ∠FCB
∵BD⊥BC，∠ACB=90°
∴∠CBD=∠ACB=90°
在△DBC和△ECA中
∴△DBC≌△ECA(AAS)
∴AC=BC
（2）解：∵△DBC≌△ECA，AC=12cm
∴BD= CE，AC=BC= 12cm
∵E是BC的中点，
∴EC=BC=×12 =6cm
∴BD=CE= 6cm
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据同角的余角相等得∠EAC= ∠FCB，利用AAS证明△DBC≌△ECA从而得到 AC=CB ；
(2)根据△DBC≌△ECA得BC=AC，再根据中线得CE=BC，再根据△DBC≌△ECA得BD=CE.
21．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，，为的两条高．
（1）求证：；
（2）若过点作，交于点，求证：．
【答案】（1）证明：、是高，
，
，，，
，
，，
，
，
在和中
≌，
．
（2），
，
，
，
≌，
，
在和中
≌，
，
，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据三角形性质，三角形内角和定理可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，再根据其性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再进行边之间的转换即可求出答案.
22．（2023八上·苍溪期中）如图，在中，AD BC于点D，点E在AD上，，，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使，连接CM．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵，∴．
又∵，，
∴
（2）证明：∵F为BC中点，∴，
∵，．∴，∴．
由（1）得，∴．
∵，∴，∴．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义，结合”HL“证明两个直角三角形全等；
（2）先证 ，利用全等三角形的对应角相等进行证明 即可。
23．（2023九上·南昌期中）将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在上，所在直线交直线于点F．
（1）求证：；
（2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时、与之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：如图1，连接．
．
，
（2）解：，理由如下：
如图，连接．
由（1）知
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）从问题入手，证明线段相等通常考虑证明线段所在三角形全等，故尝试连接BF制造出这样的三角形，已知全等的2个三角形对应边角相等，由此可判断 ，进而CF=EF；
（2）此时条件下（1）的结论仍然成立，根据旋转的性质，仍然可得到全等三角形，对应边相等，等量代换可得AF=DE+EF的结论。
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阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·兴县期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．三边分别相等的两个三角形全等
C．周长相等的两个三角形全等
D．两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
2．（2023八上·顺平期中）如图，垂直的平分线于点，为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
3．（2023八上·莎车期中）已知，如图所示，AD＝AC，BD＝BC，O为AB上一点，那么，图中共有（ ）对全等三角形
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023八上·英吉沙期中） 如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（ ）
A．边角边，全等三角形对应角相等
B．角边角，全等三角形对应角相等
C．边边边，全等三角形对应角相等
D．斜边直角边，全等三角形对应角相等
5．（2023八上·北京市月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B-C-A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（ ）
A．2 B．2.8 C．3 D．6
6．（2023八上·红桥期中）如图，，，，垂足分别是点D，E，若，，则的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
7．（2023八上·海淀月考）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AB，下列说法不一定正确的是 （ ）
A．AE＝BE B．∠AED+∠EBC＝90°
C．∠DAE＝∠EBC D．∠BAE＝∠CAE
8．（2023八上·南关期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，EF⊥AC交CD于点E，连接AE，若ED＝EF，∠ECF＝58°，则∠DAE＝（ ）
A．32° B．18° C．16° D．29°
9．（2023八上·兴县期中）如图，点在同一直线上，于点于点，连结，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10．（2023八上·海淀开学考）如图，平分，，分别是，上的点，，则与的数量关系一定满足的是（ ）
A． B．
C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023八上·榆树期中）如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是 ．
12．（2023八上·石家庄期中）如图，AE与BD相交于点C，，，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1 cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发.当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为.连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为 s.
13．（2023八上·吉林期中）如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD，若∠D=40°，∠ECD=115°，则∠B= 度．
14．（2023八上·吉林期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，若∠A =∠ABE，AC = 10，BC = 6，则BD的长为
15．（2023八上·淮南期中） 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论序号是 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·吉林月考）如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE=CD．AD与BE交于点N，BM⊥AD于点M．
求证：
（1）△ABE≌△CAD；
（2）MN= BN．
17．（2023八上·江源月考）如图，P为等边△ABC内一点，连接BP、PC，延长PC到点D，使CD= PC；延长BC到点E，使CE=BC，连接AE、DE．
（1）求证：BP∥DE；
（2）求∠BAE的度数；
（3）若BP⊥AC，则∠AED= 度．
18．（2023八上·西和期中） 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G，∠CAE＝15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）求证：．
19．（2023八上·吉林期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是线段AB上的一点，过点A作AE⊥CP，交CP的延长线于点E，过点B作BF⊥CP于点F．
（1）若BF=8，AE=3，则EF=
（2）在图①中，线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是△ABC内部的一点，且BP⊥CP，连接AP，若CP=5，求△ACP的面积．
20．（2024八上·增城期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，DC=AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）求证：AC=CB．
（2）若AC=12cm，求BD的长．
21．（2023八上·海淀开学考）如图，在中，，，为的两条高．
（1）求证：；
（2）若过点作，交于点，求证：．
22．（2023八上·苍溪期中）如图，在中，AD BC于点D，点E在AD上，，，点F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使，连接CM．求证：
（1）；
（2）．
23．（2023九上·南昌期中）将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在上，所在直线交直线于点F．
（1）求证：；
（2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时、与之间的数量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A.形状相同的两个三角形全等，是假命题，故A项错误；
B.三边分别相等的两个三角形全等，是真命题， 故B项正确；
C.周长相等的两 个三角形全等，是假命题，故C项错误；
D.两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等，是假命题，故D项错误；
故答案选：B.
【分析】根据全等三角形的判定即可解答.
2．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】延长交于点，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴点为中点，
又∵为中点，
∴，，，
∴，即，
∴.
故答案为：D．
【分析】延长交于点，证明，根据三角形中线的性质可得，，，进而即可求解．
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SAS），
在△CBO和△DBO中，
，
∴△CBO≌△DBO（SAS），
综上，共有3对全等的三角形，
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐个分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】由作图过程知：和中，OD=OC，DP=CP，OP=OP，所以根据SSS可得和全等。
故答案为：C。
【分析】根据尺规作图过程和三角形全等的判定，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
∴6-2t＝8-3t，解得t＝2；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6-2t＝3t-8，
解得t＝2.8；
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
由题意得，2t-6＝6，
解得t＝6．
综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
【分析】分类讨论：①当P在AC上，Q在BC上时，②当P在AC上，Q在AC上时，③当P在BC上，Q在AC上时，再分别列出方程求解即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵
∴
∵AC=CB
∴
∴CD=BE=1
∴DE=CE-CD=2
故答案为：A
【分析】根据三角形内角和定理可得，由，则，再根据全等三角形判定定理可得，则CD=BE=1，则DE=CE-CD=2，即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：
A：AE＝BE，说法正确，不符合题意，
B：∠AED+∠EBC＝90°，说法正确，不符合题意，
C：∠DAE＝∠EBC，说法正确，不符合题意，
D：∠BAE＝∠CAE，说法不一定正确，符合题意，只有AE平分 ∠BAC时，本说法才成立。
故答案为：D
【分析】根据垂直平分线性质和角平分线定义，推导各结论的真伪，发现只有D不一定正确。
8．【答案】C
【知识点】角平分线的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，∠ECF＝58°，
∴∠DAC=90°-∠ECF＝90°-58°=32°，
∵CD⊥AB，EF⊥AC，ED＝EF，
∴AE平分∠BAC，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求∠DAC的度数，再利用角平分线的判定证AE平分∠BAC，最后用角平分线的定义计算。
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵BFAC，DEAC，
∴∠BFO=∠DEO=90°，
∵为的中点，
∴OE=OF，
在△EOD和△FOB中，
∴△EOD△FOB（ASA)，故①正确；
∴DE=BF，
∵AE=CF，OE=OF'
∴AE+OE=CF+OF，即AO=OC，故②正确；
∴AF=EC，
在△AFB和△CED中，
∴△AFB△CED（SAS)，
∴AB=CD，∠A=∠C，故③正确，
∴ABCD，故④正确，
综上①②③④正确，
故答案为：D.
【分析】分别证明△EOD△FOB（ASA)，△AFB△CED（SAS)，即可解答。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N
∵平分
∴EM=EN
∵EF=EG
∴△EMF≌△BGE
∴
∴
故答案为：B
【分析】分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N，根据角平分线性质，全等三角形判定定理可得△EMF≌△BGE，则，即可求出答案.
11．【答案】AC＝DC（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中
∵BC=EC，∠ACB=∠DCE，AC=CD，
△ABC≌△DEC （SAS)，
故答案为： AC＝DC（答案不唯一） .
【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．结合已知条件，再找出缺少的条件即可。
12．【答案】2或4
【知识点】全等三角形的应用；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：在△ACB和△ECD中，
∵AC=EC，∠ACB=∠ECD，BC=DC，
∴（SAS），
∴∠A=∠E，ED=AB=8cm，
当线段PQ经过点C时，如下图所示：
在△ACP和△ECQ中，
∵∠A=∠E，AC=EC，∠ACP=∠ECQ，
∴（ASA），
∴AP=EQ，
当点P沿 A→B 方向运动时，AP=3t，DQ=t，
EQ=ED-DQ=8-t，
∴3t=8-t，
解得：t=2，
当点P沿 B→A 方向运动时，AP=2AB-3t=16-3t，DQ=t，
EQ=ED-DQ=8-t，
∴16-3t=8-t，
解得：t=4，
综合可得，t的值为2或4.
故答案为：2或4。
【分析】根据SAS证明，ASA证明，利用全等三角形的性质，结合动点运动的路线，分两种情况建立方程求解。
13．【答案】25
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AB∥CD
∴∠BAC=∠ECD=115°
在△ABC和△CED中
∴△ABC≌△CED（SAS）
∴
故答案为：25
【分析】根据直线平行性质可得∠BAC=∠ECD=115°，再根据全等三角形判定定理可得△ABC≌△CED，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD
∴CE=CB=6
∴AE=AC-CE=4
∵∠A =∠ABE
∴BE=AE=4
∴
故答案为：2
【分析】根据角平分线性质，BE⊥CD可得CE=CB，，再根据等角对等边性质可得BE=AE=4，即可求出答案.
15．【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，
∵、的角平分线、交于点，
∴PM=PN，PN=PD，
∴PM=PN=PD，
又∵于，于，
∴平分， ① 正确；
∵于，，
∴∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△APM和Rt△PAD中，
∵PM=PD，PA=PA，
∴（HL），
∴∠APM=∠APD，
同理可得：，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2（∠APD+∠CPD）=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确；
∵、的角平分线、交于点，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC=2∠PCN，，
∴，
∴∠BPC=2∠BPC，故③正确；
由②可知：，，
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPM，
∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确，
故答案为：①②③④．
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，根据角平分线的性质和判定可判断①，通过证明全等，利用全等三角形的性质可判断②，根据三角形外角的性质可判断③，通过全等三角形的面积相等可判断④．
16．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB= 60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD （SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，
∵BM⊥AD，
∴∠AMB=90°，
∴∠NBM=30°，
∴MN= BN
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB= 60°，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠ABE=∠CAD，则∠BNM=∠BAN+∠ABN=∠BAN+∠CAD=60°，再根据三角形内角和定理可得∠NBM=30°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：在△PCB与△DCE中，∵PC = DC，∠PCB =∠DCE，BC = EC，
∴PCB≌△DCE（SAS），∴∠PBC =∠DEC，∴BP∥DE
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB = 60° ，AC = BC，∴∠ACE= 120°，∵BC = CE，∴AC = CE，∴∠CAE =∠AEC = （180°- 120°） = 30°
∴∠BAE =∠BAC+∠CAE = 60°+ 30°= 90°．
（3）60
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（3）分别延长AC，ED交于点F
∵BP∥DE，且BP⊥AC
∴ED⊥AC
∴∠F=90°
∵∠FAE=30°
∴∠AED=60°
故答案为：60
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得 △PCB≌△DCE ，则∠PBC =∠DEC，再根据内错角相等，两直线平行即可求出答案；
（2）根据等边三角形性质和三角形外角性质可得∠ACE= 120°，AC = CE，再根据等边对等角性质，三角形内角和定理可得∠CAE =∠AEC ，再根据∠BAE =∠BAC+∠CAE 即可求出答案；
（3）分别延长AC，ED交于点F，根据直线平行性质可得∠F=90°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵∠ABC＝45°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC-∠ABC＝60°-45°＝15°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAE＝∠BAE-∠BAD＝45°-15°＝30°，
∴∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°-∠CAF＝45°；
（2）解：证明：由（1）可知，∠DAC＝45°，∠AFG＝∠CFD＝90°，∠ACF＝∠CAF＝45°，
∴AF＝CF，
∵AE⊥CB，
∴∠CEG＝∠AFG＝90°，
∵∠CGE＝∠AGF，
∴∠FAG＝∠FCD，
在△AFG和△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（ASA），
∴GF＝DF，
由（1）可知，∠FAG＝30°，
∵∠AFG＝90°，
∴FG＝AG，
∴DF＝AG．
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证出△ABE是等腰直角三角形，可得∠BAE=45°，再利用角的运算求出∠CAF＝∠DAE+∠CAE＝30°+15°＝45°，再求出∠ACF＝90°-∠CAF＝45°即可；
（2）先利用“ASA”证出△AFG≌△CFD，可得GF=DF，再结合∠FAG＝30°，∠AFG＝90°，可得FG＝AG，再利用等量代换可得DF＝AG．
19．【答案】（1）5
（2）解：BF=EF+AE．
理由如下：∵∠CAE+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE =90°，
∴∠CAE=∠BCF，∵∠E=∠BFC，AC=BC，∴△ACE≌△CBF(AAS) ，
∴AE=CF，CE=BF．
∴CE=EF+CF=EF+AD=BF，即BF=EF+ AE．
（3）解：过点A作AD⊥CP，交CP的延长线于点D，∴∠BPC=∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠ACD+BCP=90°=∠ACD+∠CAD．
∴∠CAD=∠BCP．
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBP(AAS)．
∴AD=CP=5．
∴S△ACP=×CP×AD =×5×5=
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°
∴∠ACE+∠BCF=90°
∵AE⊥CE，BF⊥CE
∴∠E=∠BFC=90°
∴∠ACE+∠CAE=90°
∴∠CAE=∠BCF
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴AE=CE=3，CE=BF=8
∴EF=CE-CF=5
故答案为：5
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△CBF，则AE=CE=3，CE=BF=8，即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△CBF，则AE=CF，CE=BF，所有CE=EF+CF=EF+AD=BF，即可求出答案.
（3）过点A作AD上CP，交CP的延长线于点D，根据全等三角形判定定理可得△ACD≌△CBP，则AD=CP=5，再根据三角形面积即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵AF⊥DC，
∴∠ACF+∠FAC=90°，
∵∠ACF+∠FCB= =90°，
∴∠EAC= ∠FCB
∵BD⊥BC，∠ACB=90°
∴∠CBD=∠ACB=90°
在△DBC和△ECA中
∴△DBC≌△ECA(AAS)
∴AC=BC
（2）解：∵△DBC≌△ECA，AC=12cm
∴BD= CE，AC=BC= 12cm
∵E是BC的中点，
∴EC=BC=×12 =6cm
∴BD=CE= 6cm
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据同角的余角相等得∠EAC= ∠FCB，利用AAS证明△DBC≌△ECA从而得到 AC=CB ；
(2)根据△DBC≌△ECA得BC=AC，再根据中线得CE=BC，再根据△DBC≌△ECA得BD=CE.
21．【答案】（1）证明：、是高，
，
，，，
，
，，
，
，
在和中
≌，
．
（2），
，
，
，
≌，
，
在和中
≌，
，
，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据三角形性质，三角形内角和定理可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，再根据其性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，再进行边之间的转换即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵，∴．
又∵，，
∴
（2）证明：∵F为BC中点，∴，
∵，．∴，∴．
由（1）得，∴．
∵，∴，∴．
【知识点】垂线的概念；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义，结合”HL“证明两个直角三角形全等；
（2）先证 ，利用全等三角形的对应角相等进行证明 即可。
23．【答案】（1）证明：如图1，连接．
．
，
（2）解：，理由如下：
如图，连接．
由（1）知
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）从问题入手，证明线段相等通常考虑证明线段所在三角形全等，故尝试连接BF制造出这样的三角形，已知全等的2个三角形对应边角相等，由此可判断 ，进而CF=EF；
（2）此时条件下（1）的结论仍然成立，根据旋转的性质，仍然可得到全等三角形，对应边相等，等量代换可得AF=DE+EF的结论。
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