广东省佛山市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测（12月）数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省佛山市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测（12月）数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-12 22:20:34 | ||
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文档简介
佛山市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知全集，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，那么下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．若函数的图像经过点，则（ ）
A． B．在上单调递减
C．的最大值为81 D．的最小值为
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若，则
C．若，且，则的最大值为9
D．若，则的最大值为2
11．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（参考数值）（ ）
A．若，则
B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
12．已知定义域为R的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）
A． B．是偶函数
C．关于中心对称 D．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．计算______．
14．已知且，则______．
15．已知，则的最大值为______．
16．在平面直角坐标系中，已知曲线依次为（k为常数，）．曲线上的点在第一象限，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点，过点作轴的平行线交曲线于点．若四边形为矩形，则的值是______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题12.0分）
集合．
（1）求．
（2）若集合，求的取值范围．
18．（本小题12.0分）
已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求出当时，的解析式；
（2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
（3）结合函数图象，求当时．，函数的值域．
19．（本小题12.0分）
对于实数和，定义运算“*”：，设．
（1）求的解析式；
（2）关于的方程恰有三个互不相等的实数根，求的取值范围．
20．（本小题12.0分）
佛山市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”，经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（単位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
21．（本小题12.0分）
已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（本小题12.0分）
已知函数与，其中是偶函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求实数的值；
（Ⅲ）若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
佛山市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测
数学答案和解析
一、单选1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D
一、多选9．AC 10．AB 11．AC 12．BCD
三、填空 13． 14． 15． 16．
3．【答案】B 解：因为，所以．故答案为：B．
4．【答案】B 解：A．若，则（错），若，则A不成立；
B．若且，则或，所以，所以B正确；
C．若且，则（错），例如，则C不成立．
D．若，则（错），例如，则D不成立；故选B．
5．【答案】C 解：“不等式在R上恒成立”，
显然不满足题意，，解得，
对于A，是充要条件，故A错误；
对于B，因为推不出，故B错误；
对于C，因为，反之不能推出，故C正确；
对于D，因为，所以是充分不必要条件，故D错误．故选：C．
6．【答案】B 解：的定义域为，
又，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除A，C，
又，所以排除D．故答案选B．
7．【答案】A 解：若有三个零点，
即有三个根，即或．
当时，目，即，则或，
即或，则或无解，此时方程只有一个解，
则，有两个不同的恨，作出的图象如图：
由图象知，则，即，
即实数的取值范围是，故选：A．
8．【答案】D
解：由关于轴对称的函数为：，
令，得，
则方程在上有解，
作出与的图象，如图所示：
因为时，，
当函数过点时，，
由图像可知，函数向右平移时，与函数的图像总有交点，
所以，综上可知，实数的取值范围是．故选D．
9．【答案】AC
解：对于A：由题意得，得，故A正确；
对于B：令函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．
因为是减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于CD：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以无最小值．故C正确，D错误；故选：AC．
10．【答案】AB
解：A、因为，
所以，当且仅当时取等号，即的最小值为2，故A正确；
B、，则，当且仅当时取等号，故B正确；
C、且，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故C错误：
D、因为，则，
则，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为1，故D错误．故选AB．
11．【答案】AC
解：由题知，
A选项：若，即，所以，
则，A正确；
B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到需时问大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，故C正确：
D选项：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误．
故选：AC．
12．【答案】BCD
解：令，则或，故A错误，
若时，令，则，此时是偶函数；
若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，
令，则，所以关于中心对称，故C正确，
由关中心对称可得，结合是偶函数，
所以，所以，
所以，
令，则，故，
进而，故D正确，故选BCD．
14．【答案】 解：由题意得．
15．【答案】
解：由，得，则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值．
16．【答案】
解：设，由平行轴得，由平行轴得，
又平行轴，的坐标为，
四边形为矩形，有，
由于，故，即．故答案为：．
17．【答案】解：（1）解不等式可得，
．
．
（2）由于，
若时，，可得，
若吋，或，
解得，
综上可得．
18．【答案】解：（1）依题意，设，则，
于是，
因为为R上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：．
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而当时，有，
所以，当时，函数的值域为．
19．【答案】解：（1）由可得，由可得，
所以根据题意得，
即．
（2）作出函数的图象如图，
当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
函数的图象和直线有三个不同的交点．
可得的取值氾围是．
20．答案解：（1）由已知，
又
整理得：；
（2）当时，，
当时，；
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，，
的最大值为390．
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大；最大利润是390元．
21．【答案】解：（1）因为函数的定义域为R，
所以，解得．
经检验当时，，
，所以．
（2），
函数在R上单调递增，证明如下：
设，所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以函数在R上单调递增．
（3）是奇函数，由已知可得，
所以，
又函数在R上单调递增．
所以，
设，易得，
所以．∴实数的取值范围为，
22．【答案】解：（Ⅰ）由有意义得，即，
当时，，即，
当时，；即．
综上，当时，的定义域为，
当时，的定义域为．
（Ⅱ）的定义域为R，
是偶函数，恒成立，
即恒成立，
；即，
，即．
（Ⅲ）令得，
，即，
令，则，
与的图象只有一个交点，只有一解，
关于的方程只有一正数解，
（1）若，则，不符合题意；
（2）若，且，即或．
当时，方程的解为，不符合题意；
当时，方程的解为，符合题意；
（3）若方程有一正根，一负根，则，∴．
综上，的取值范围是．
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
3．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知全集，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，那么下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．若函数的图像经过点，则（ ）
A． B．在上单调递减
C．的最大值为81 D．的最小值为
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若，则
C．若，且，则的最大值为9
D．若，则的最大值为2
11．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（参考数值）（ ）
A．若，则
B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
12．已知定义域为R的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）
A． B．是偶函数
C．关于中心对称 D．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．计算______．
14．已知且，则______．
15．已知，则的最大值为______．
16．在平面直角坐标系中，已知曲线依次为（k为常数，）．曲线上的点在第一象限，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点，过点作轴的平行线交曲线于点．若四边形为矩形，则的值是______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题12.0分）
集合．
（1）求．
（2）若集合，求的取值范围．
18．（本小题12.0分）
已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求出当时，的解析式；
（2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
（3）结合函数图象，求当时．，函数的值域．
19．（本小题12.0分）
对于实数和，定义运算“*”：，设．
（1）求的解析式；
（2）关于的方程恰有三个互不相等的实数根，求的取值范围．
20．（本小题12.0分）
佛山市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”，经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（単位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
21．（本小题12.0分）
已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义加以证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（本小题12.0分）
已知函数与，其中是偶函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求实数的值；
（Ⅲ）若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
佛山市重点中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测
数学答案和解析
一、单选1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D
一、多选9．AC 10．AB 11．AC 12．BCD
三、填空 13． 14． 15． 16．
3．【答案】B 解：因为，所以．故答案为：B．
4．【答案】B 解：A．若，则（错），若，则A不成立；
B．若且，则或，所以，所以B正确；
C．若且，则（错），例如，则C不成立．
D．若，则（错），例如，则D不成立；故选B．
5．【答案】C 解：“不等式在R上恒成立”，
显然不满足题意，，解得，
对于A，是充要条件，故A错误；
对于B，因为推不出，故B错误；
对于C，因为，反之不能推出，故C正确；
对于D，因为，所以是充分不必要条件，故D错误．故选：C．
6．【答案】B 解：的定义域为，
又，
则是奇函数，图象关于原点对称，排除A，C，
又，所以排除D．故答案选B．
7．【答案】A 解：若有三个零点，
即有三个根，即或．
当时，目，即，则或，
即或，则或无解，此时方程只有一个解，
则，有两个不同的恨，作出的图象如图：
由图象知，则，即，
即实数的取值范围是，故选：A．
8．【答案】D
解：由关于轴对称的函数为：，
令，得，
则方程在上有解，
作出与的图象，如图所示：
因为时，，
当函数过点时，，
由图像可知，函数向右平移时，与函数的图像总有交点，
所以，综上可知，实数的取值范围是．故选D．
9．【答案】AC
解：对于A：由题意得，得，故A正确；
对于B：令函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．
因为是减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于CD：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以无最小值．故C正确，D错误；故选：AC．
10．【答案】AB
解：A、因为，
所以，当且仅当时取等号，即的最小值为2，故A正确；
B、，则，当且仅当时取等号，故B正确；
C、且，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故C错误：
D、因为，则，
则，当且仅当，即时取等号，
故的最大值为1，故D错误．故选AB．
11．【答案】AC
解：由题知，
A选项：若，即，所以，
则，A正确；
B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到需时问大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，故C正确：
D选项：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误．
故选：AC．
12．【答案】BCD
解：令，则或，故A错误，
若时，令，则，此时是偶函数；
若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，
令，则，所以关于中心对称，故C正确，
由关中心对称可得，结合是偶函数，
所以，所以，
所以，
令，则，故，
进而，故D正确，故选BCD．
14．【答案】 解：由题意得．
15．【答案】
解：由，得，则，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值．
16．【答案】
解：设，由平行轴得，由平行轴得，
又平行轴，的坐标为，
四边形为矩形，有，
由于，故，即．故答案为：．
17．【答案】解：（1）解不等式可得，
．
．
（2）由于，
若时，，可得，
若吋，或，
解得，
综上可得．
18．【答案】解：（1）依题意，设，则，
于是，
因为为R上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：．
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而当时，有，
所以，当时，函数的值域为．
19．【答案】解：（1）由可得，由可得，
所以根据题意得，
即．
（2）作出函数的图象如图，
当时，开口向下，对称轴为，
所以当时，函数的最大值为，
函数的图象和直线有三个不同的交点．
可得的取值氾围是．
20．答案解：（1）由已知，
又
整理得：；
（2）当时，，
当时，；
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，，
的最大值为390．
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大；最大利润是390元．
21．【答案】解：（1）因为函数的定义域为R，
所以，解得．
经检验当时，，
，所以．
（2），
函数在R上单调递增，证明如下：
设，所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以函数在R上单调递增．
（3）是奇函数，由已知可得，
所以，
又函数在R上单调递增．
所以，
设，易得，
所以．∴实数的取值范围为，
22．【答案】解：（Ⅰ）由有意义得，即，
当时，，即，
当时，；即．
综上，当时，的定义域为，
当时，的定义域为．
（Ⅱ）的定义域为R，
是偶函数，恒成立，
即恒成立，
；即，
，即．
（Ⅲ）令得，
，即，
令，则，
与的图象只有一个交点，只有一解，
关于的方程只有一正数解，
（1）若，则，不符合题意；
（2）若，且，即或．
当时，方程的解为，不符合题意；
当时，方程的解为，符合题意；
（3）若方程有一正根，一负根，则，∴．
综上，的取值范围是．
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