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人教版2023-2024年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——21.2解一元二次方程
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·晋州期中）把方程转化成的形式，则m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
∴，
∴m=-2，n=2，
故答案为：C.
【分析】利用配方法将方程的一般式化为顶点式为，再求出m、n的值即可.
2．（2023九上·景县期中）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，
∴，
∴，，
∵方程，
∴，
∴，，
故答案为：B.
【分析】利用直接开平方法求出，再根据方程的解求出，，最后计算求解即可。
3．（2023九上·新津月考）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝x+a不经过第二象限，
∴，
当a<0时， 方程ax2+2x+1＝0 是一元二次方程，
∵b2-4ac=4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a=0时，
方程ax2+2x+1＝0变为2x+1=0，解得，.
因此， 方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是 1或2 。
故答案为： 1或2 .
【分析】 直线y＝x+a不经过第二象限可得，分两种情况，结合一元二次方程根的判别式求解。
4．（2023九上·禄劝开学考）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=12-4×1×（-2）=9，有两个不相等的实数根，故不符合题意。
B、△=（-2）2-4×1×0=4，有两个不相等的实数根，故不符合题意。
C、△=12-4×1×5=-19，没有实数根，故符合题意。
D、△=（-2）2-4×1×1=0，有两个相等的实数根，故不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可。
5．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．没有实数解
C．有两个不相等的实数解 D．无法确定
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题知n＜0，m＞0，且m的绝对值小于n的绝对值
△=（-mn）2-4（m+n）＞0
因此此方程有两个不相等的实数根。
故答案为：C
【分析】由数轴判断n，m的取值范围与绝对值大小，然后根据判别式即可求解。
6．（2023九上·宿州月考）已知关于x的方程（k-3）x2-4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当k-3=0，即k=3时，方程化为-4x+2=0，
解得x =；
②当k-3≠0时，b2- 4ac= (-4)2-4(k-3)X2≥0，解得k≤5且k≠3.
综上所述，k的取值范围为k≤5.
故答案为：A.
【分析】根据提意关于含x的方程有可能是一元一次方程或一元二次方程；讨论：是一元一次方程时k-3=0，即k=3，有一个解；是一元二次方程时k-3≠0，方程有实数根=b2-4ac0，即（-4）2-4(k-3)×20，解得k且k≠3.综上两种情况得到k的取值范围。
7．（2023九上·涪城期中）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{-1，-3}＝-1；按照这个规定，若max{x，-x}＝，则x的值是（ ）
A．-1 B．-1或2+ C．2+ D．1或2-
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】若x>-x，即x>0，则解得(负值舍去)，
若x<-x，即x<0，则解得(正值舍去)，
故答案为：B.
【分析】根据新定义x>0，x<0列出方程，分别求解即可得出结论.
8．（2023九上·娄底月考）若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴+=3，=，
∴，
故答案为：A.
【分析】由根与系数的关系可得+=3，=，将原式化为，然后代入计算即可.
9．（2023九上·娄底月考）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2-4b＝7，b2-4c＝-6，c2-6a＝-18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；配方法的应用
【解析】【解答】解： ∵a2-4b＝7，b2-4c＝-6，c2-6a＝-18，
∴a2-4b+b2-4c+c2-6a＝7-6-18，
即（a-3)2+(b-2)2+(c-2)2=0，
∵，
∴a-3=0，b-2=0，c-2=0，
解得：a=3，b=2，c=2，
∵b=c=2，三角形三边长为a，b，c，
∴此三角形的形状是： 等腰三角形。
故答案为：A。
【分析】把三个已知的等式相加，再配方后用非负数原理求出a、b、c的值，最后再判定。
10．（2023九上·恩施期中）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为－3和5，乙把常数项看错了，解得两根为＋2和－3，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为－3和5，
∴常数项c=-3×5=-15，
∵乙把常数项看错了，解得两根为＋2和－3 ，
∴＋2+(－3)=-b，即b=1，
∴ 原方程是
故答案为：D.
【分析】根据根与系数的关系知，由甲因把一次项系数看错可确定常数项，由乙把常数项看错确定一次项系数，继而得出方程.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·前郭尔罗斯期中）一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为 ．
【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长分别为2和3，
∴第三条边的取值范围为1<第三边<5，
∴第三条边的长为3，
故答案为：3.
【分析】先求出方程的解，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
12．（2023九上·南昌期中）若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 根据题意，的图象与x轴只有一个公共点
即有2个相等的实数根
解得k=1
故填：1
【分析】根据题意判定出相应的一元二次方程根的情况，再根据根与判别式的关系确定，则可计算出k的取值。
13．（2023八上·黄浦期中）已知，且有及，则的值为 ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题可知y≠0，所以 ，两边同时除以y2可得：
∴x和，是方程 的两根，
∴
故答案为：10.
【分析】对边两个方程，发现系数有一定的联系，第二个方程两边同时除以y的平方，恰好发现y的倒数满足第一方程，也就是说第一个方程的两根是x和然后根据根与系数的关系可得两根积，也即x：y的值。
14．（2023九上·栾城期中）方程的两根为，，且，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴m=-3.
【分析】根据根与系数之间的关系，由可得，即可得出m的值。
15．（2023九上·遵义月考）已知：m2-2m-1＝0，n2+2n-1＝0且mn≠1，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由 n2+2n-1＝0 可知n
方程边同时除以-得：
即
又
故答案为：3
【分析】观察所给两个等式，形式上非常相似，提醒我们考虑是不是一个方程的两个根；一次项系数互为相反数的问题，可以把其中一个式子恒等变形，就可以得到形式上一致的两个等式，因此可以判定；同时从问题入手，分离常数，发现式子中有两根的和，根据韦达定理可求两根的和，代入即可求值。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、计算题
得分
16．（2023九上·菏泽月考） 解下列方程：
（1）用配方法解一元二次方程：；
（2）用因式分解法解方程；
（3）用公式法解方程；
（4）用合适的方法解方程．
【答案】（1）解：，
，
，即，
，
，；
（2）解：，
，
则，
或，
解得，；
（3）解：，，，
，
则，
，；
（4）解：，
，
，，，
，
则，
即，．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；配方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）移项，根据配方法的定义可得，再两边直接开方即可求出答案.
（2）移项，提公因式即可求出答案.
（3）根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式即可求出答案.
（4）移项，根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式即可求出答案.
17．（2023九上·云南开学考）解方程：
（1）直接开平方法；
（2）配方法；
（3）因式分解法；
（4）公式法．
【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
（3）解：，
，
或，
，
（4）解：，
，
，，，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）两边开平方，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
（4）先写成标准形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解．
阅卷人 四、解答题
得分
18．（2023九上·遵义月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝x1 x2-1，求k的值．
【答案】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2-4×1×（k2+k）
＝4k2+4k+1-4k2-4k
＝1＞0，
∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝-（2k+1），x1x2＝k2+k，
由x1+x2＝x1 x2-1，得：-（2k+1）＝k2+k-1，
解得：k＝0或-3，
∴k的值为0或-3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的关系，先求判别式，可知判别式中k被消元，，故可证得无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）根据韦达定理，代入到已知关系式中，即可求得k值。
19．（2023九上·娄底月考）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，，
，，
，．
（1）【解决问题】
已知，求的值；
（2）【拓展应用】
已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
将拆分为和，可得：
，
根据完全平方公式得，
，，
，，
．
（2）解：，
将拆分为和，可得：
，
根据完全平方公式得，
，
，，
，．
是中最长的边，
，即的取值范围为．
【知识点】三角形三边关系；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）将化为，根据偶次幂的非负性求出m、n的值， 再代入计算即可；
（2） 把化为， 据此确定b、c的值，根据三角形的三边关系确定a的范围即可.
20．（2023九上·雨花月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）从因式分解法可知，方程也可转化为把方程的左边展开化成一般形式后，可以得到方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： ， ；用含的式子表示
（3）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
化简整理，得，
解得：
（2）；
（3）解：，
，
由得，，
，
整理，得，
解得：，，
又由知，
．
存在，当时，使得成立．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（2）∵， ，
∴ ， 。
故答案为： ， 。
【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根的条件是：a不等于零，判别式的值是非负数；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则据此求解即可；
（3）利用（2）的结论，把式子 变形式后，整体代入建立k的方程，解方程即可。
21．已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1-1）（x2-1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得，x1x2＝＝2m-1，x1+x2＝6，
若x1＝1，1+x2＝6，解得x2＝5，
∵5＝＝2m-1，
解得：x2＝5，m＝3；
（2）解：∵（x1-1）（x2-1）＝，
∴x1x2-（x1+x2）+1＝，
∵x1+x2＝6，x1x2＝2m-1，
∴2m-1-6+1＝，
整理得：m2-8m+12＝0，
解得：m1＝2，m2＝6，
经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解，
又∵一元二次方程x2-6x+2m-1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（-6）2-4（2m-1）≥0，
解得：m≤5，
∴m＝2．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得到：x1x2＝＝2m-1，x1+x2＝6，结合已知信息即可求出x2的值，进而求出m的值；
（2）对代数式进行化简得到：m2-8m+12＝0，即可解出m的值，再根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，即可得到m确切的值.
22．（2023九上·江油月考）已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【答案】（1）证明：∵a＝1，b＝-2，c＝-3m2，
∴Δ＝（-2）2-4×1 （-3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵αβ＝-3m2，
∴-3m2＝-3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）计算方程Δ=4+12m2＞0，从而方程总有两个不相等的实数根.
（2）根据根与系数的关系得， αβ＝-3m2， 与α+2β＝5，组成方程组解得α、β的值，代入αβ＝-3m2，即可求解.
23．（2023八下·招远期末） 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且．
（1）求的取值范围；
（2）若取负整数，求的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
（2）解：且取负整数，
或，
当时，原方程可化为：且，
解得：，，
，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
，
综上所述：的值为或；
（3）解：由根与系数的关系得：
，，
该方程的两个实数根的平方和为，
，
，，
由可知：，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）先求出符合条件的m的值，再分类求解即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得 ，， 再结合求出m的值即可.
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数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023九上·晋州期中）把方程转化成的形式，则m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2023九上·景县期中）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023九上·新津月考）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
4．（2023九上·禄劝开学考）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．没有实数解
C．有两个不相等的实数解 D．无法确定
6．（2023九上·宿州月考）已知关于x的方程（k-3）x2-4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5
7．（2023九上·涪城期中）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，因此max{-1，-3}＝-1；按照这个规定，若max{x，-x}＝，则x的值是（ ）
A．-1 B．-1或2+ C．2+ D．1或2-
8．（2023九上·娄底月考）若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·娄底月考）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2-4b＝7，b2-4c＝-6，c2-6a＝-18，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
10．（2023九上·恩施期中）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为－3和5，乙把常数项看错了，解得两根为＋2和－3，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2023九上·前郭尔罗斯期中）一个三角形的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的第三边的长为 ．
12．（2023九上·南昌期中）若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则 ．
13．（2023八上·黄浦期中）已知，且有及，则的值为 ．
14．（2023九上·栾城期中）方程的两根为，，且，则 ．
15．（2023九上·遵义月考）已知：m2-2m-1＝0，n2+2n-1＝0且mn≠1，则的值为 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、计算题
得分
16．（2023九上·菏泽月考） 解下列方程：
（1）用配方法解一元二次方程：；
（2）用因式分解法解方程；
（3）用公式法解方程；
（4）用合适的方法解方程．
17．（2023九上·云南开学考）解方程：
（1）直接开平方法；
（2）配方法；
（3）因式分解法；
（4）公式法．
阅卷人 四、解答题
得分
18．（2023九上·遵义月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝x1 x2-1，求k的值．
19．（2023九上·娄底月考）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，，
，，
，．
（1）【解决问题】
已知，求的值；
（2）【拓展应用】
已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
20．（2023九上·雨花月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求实数的取值范围；
（2）从因式分解法可知，方程也可转化为把方程的左边展开化成一般形式后，可以得到方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： ， ；用含的式子表示
（3）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
21．已知关于x的一元二次方程x2-6x+2m-1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1-1）（x2-1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
22．（2023九上·江油月考）已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
23．（2023八下·招远期末） 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且．
（1）求的取值范围；
（2）若取负整数，求的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
∴，
∴m=-2，n=2，
故答案为：C.
【分析】利用配方法将方程的一般式化为顶点式为，再求出m、n的值即可.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，
∴，
∴，，
∵方程，
∴，
∴，，
故答案为：B.
【分析】利用直接开平方法求出，再根据方程的解求出，，最后计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝x+a不经过第二象限，
∴，
当a<0时， 方程ax2+2x+1＝0 是一元二次方程，
∵b2-4ac=4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a=0时，
方程ax2+2x+1＝0变为2x+1=0，解得，.
因此， 方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是 1或2 。
故答案为： 1或2 .
【分析】 直线y＝x+a不经过第二象限可得，分两种情况，结合一元二次方程根的判别式求解。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=12-4×1×（-2）=9，有两个不相等的实数根，故不符合题意。
B、△=（-2）2-4×1×0=4，有两个不相等的实数根，故不符合题意。
C、△=12-4×1×5=-19，没有实数根，故符合题意。
D、△=（-2）2-4×1×1=0，有两个相等的实数根，故不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可。
5．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题知n＜0，m＞0，且m的绝对值小于n的绝对值
△=（-mn）2-4（m+n）＞0
因此此方程有两个不相等的实数根。
故答案为：C
【分析】由数轴判断n，m的取值范围与绝对值大小，然后根据判别式即可求解。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当k-3=0，即k=3时，方程化为-4x+2=0，
解得x =；
②当k-3≠0时，b2- 4ac= (-4)2-4(k-3)X2≥0，解得k≤5且k≠3.
综上所述，k的取值范围为k≤5.
故答案为：A.
【分析】根据提意关于含x的方程有可能是一元一次方程或一元二次方程；讨论：是一元一次方程时k-3=0，即k=3，有一个解；是一元二次方程时k-3≠0，方程有实数根=b2-4ac0，即（-4）2-4(k-3)×20，解得k且k≠3.综上两种情况得到k的取值范围。
7．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】若x>-x，即x>0，则解得(负值舍去)，
若x<-x，即x<0，则解得(正值舍去)，
故答案为：B.
【分析】根据新定义x>0，x<0列出方程，分别求解即可得出结论.
8．【答案】A
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴+=3，=，
∴，
故答案为：A.
【分析】由根与系数的关系可得+=3，=，将原式化为，然后代入计算即可.
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；配方法的应用
【解析】【解答】解： ∵a2-4b＝7，b2-4c＝-6，c2-6a＝-18，
∴a2-4b+b2-4c+c2-6a＝7-6-18，
即（a-3)2+(b-2)2+(c-2)2=0，
∵，
∴a-3=0，b-2=0，c-2=0，
解得：a=3，b=2，c=2，
∵b=c=2，三角形三边长为a，b，c，
∴此三角形的形状是： 等腰三角形。
故答案为：A。
【分析】把三个已知的等式相加，再配方后用非负数原理求出a、b、c的值，最后再判定。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为－3和5，
∴常数项c=-3×5=-15，
∵乙把常数项看错了，解得两根为＋2和－3 ，
∴＋2+(－3)=-b，即b=1，
∴ 原方程是
故答案为：D.
【分析】根据根与系数的关系知，由甲因把一次项系数看错可确定常数项，由乙把常数项看错确定一次项系数，继而得出方程.
11．【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，
∴（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的两边长分别为2和3，
∴第三条边的取值范围为1<第三边<5，
∴第三条边的长为3，
故答案为：3.
【分析】先求出方程的解，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 根据题意，的图象与x轴只有一个公共点
即有2个相等的实数根
解得k=1
故填：1
【分析】根据题意判定出相应的一元二次方程根的情况，再根据根与判别式的关系确定，则可计算出k的取值。
13．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题可知y≠0，所以 ，两边同时除以y2可得：
∴x和，是方程 的两根，
∴
故答案为：10.
【分析】对边两个方程，发现系数有一定的联系，第二个方程两边同时除以y的平方，恰好发现y的倒数满足第一方程，也就是说第一个方程的两根是x和然后根据根与系数的关系可得两根积，也即x：y的值。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴m=-3.
【分析】根据根与系数之间的关系，由可得，即可得出m的值。
15．【答案】3
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由 n2+2n-1＝0 可知n
方程边同时除以-得：
即
又
故答案为：3
【分析】观察所给两个等式，形式上非常相似，提醒我们考虑是不是一个方程的两个根；一次项系数互为相反数的问题，可以把其中一个式子恒等变形，就可以得到形式上一致的两个等式，因此可以判定；同时从问题入手，分离常数，发现式子中有两根的和，根据韦达定理可求两根的和，代入即可求值。
16．【答案】（1）解：，
，
，即，
，
，；
（2）解：，
，
则，
或，
解得，；
（3）解：，，，
，
则，
，；
（4）解：，
，
，，，
，
则，
即，．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；配方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）移项，根据配方法的定义可得，再两边直接开方即可求出答案.
（2）移项，提公因式即可求出答案.
（3）根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式即可求出答案.
（4）移项，根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：，
，
，
（2）解：，
，
，
，
，
（3）解：，
，
或，
，
（4）解：，
，
，，，
，
，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）两边开平方，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
（4）先写成标准形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解．
18．【答案】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2-4×1×（k2+k）
＝4k2+4k+1-4k2-4k
＝1＞0，
∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝-（2k+1），x1x2＝k2+k，
由x1+x2＝x1 x2-1，得：-（2k+1）＝k2+k-1，
解得：k＝0或-3，
∴k的值为0或-3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的关系，先求判别式，可知判别式中k被消元，，故可证得无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）根据韦达定理，代入到已知关系式中，即可求得k值。
19．【答案】（1）解：，
将拆分为和，可得：
，
根据完全平方公式得，
，，
，，
．
（2）解：，
将拆分为和，可得：
，
根据完全平方公式得，
，
，，
，．
是中最长的边，
，即的取值范围为．
【知识点】三角形三边关系；配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）将化为，根据偶次幂的非负性求出m、n的值， 再代入计算即可；
（2） 把化为， 据此确定b、c的值，根据三角形的三边关系确定a的范围即可.
20．【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
化简整理，得，
解得：
（2）；
（3）解：，
，
由得，，
，
整理，得，
解得：，，
又由知，
．
存在，当时，使得成立．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（2）∵， ，
∴ ， 。
故答案为： ， 。
【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根的条件是：a不等于零，判别式的值是非负数；
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则据此求解即可；
（3）利用（2）的结论，把式子 变形式后，整体代入建立k的方程，解方程即可。
21．【答案】（1）解：根据题意得，x1x2＝＝2m-1，x1+x2＝6，
若x1＝1，1+x2＝6，解得x2＝5，
∵5＝＝2m-1，
解得：x2＝5，m＝3；
（2）解：∵（x1-1）（x2-1）＝，
∴x1x2-（x1+x2）+1＝，
∵x1+x2＝6，x1x2＝2m-1，
∴2m-1-6+1＝，
整理得：m2-8m+12＝0，
解得：m1＝2，m2＝6，
经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解，
又∵一元二次方程x2-6x+2m-1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（-6）2-4（2m-1）≥0，
解得：m≤5，
∴m＝2．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系得到：x1x2＝＝2m-1，x1+x2＝6，结合已知信息即可求出x2的值，进而求出m的值；
（2）对代数式进行化简得到：m2-8m+12＝0，即可解出m的值，再根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，即可得到m确切的值.
22．【答案】（1）证明：∵a＝1，b＝-2，c＝-3m2，
∴Δ＝（-2）2-4×1 （-3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵αβ＝-3m2，
∴-3m2＝-3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）计算方程Δ=4+12m2＞0，从而方程总有两个不相等的实数根.
（2）根据根与系数的关系得， αβ＝-3m2， 与α+2β＝5，组成方程组解得α、β的值，代入αβ＝-3m2，即可求解.
23．【答案】（1）解：由题意得：
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
（2）解：且取负整数，
或，
当时，原方程可化为：且，
解得：，，
，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
，
综上所述：的值为或；
（3）解：由根与系数的关系得：
，，
该方程的两个实数根的平方和为，
，
，，
由可知：，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）先求出符合条件的m的值，再分类求解即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得 ，， 再结合求出m的值即可.
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