秘密★启用前 试卷类型 :A (0 ) f (1) 0 f (x) f ( x)7．设奇函数 f (x) 在 ， 上为增函数，且 ，则不等式 02023 ~ 2024 的解集为学年度第一学期期中检测 x
高 一 数 学 A． ( 1，0) (1， ) B． ( ， 1) (0，1)
C． ( ， 1) (1， ) D． ( 1，0) (0，1)
本试卷共 4 页，满分为 150 分，考试时间 120 分钟. 8．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和
妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加 250 元的油”，而妈妈则
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 说“师傅帮我把油箱加满”. 这位同学若有所思，如果爸爸 妈妈都加油两次，两次的加
1．函数 f (x) 4 x (x 2)0 的定义域为 油价格不同，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸 妈妈谁更合算呢？
A A．妈妈 B．爸爸 C．一样 D．不确定．[2, 4] B．(2, 4] C．( , 4] D．( , 2) (2, 4]
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项2．己知命题 p :“ x 0，都有 x2 0 ”, 则 p是
符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
A． x0 0，使得 x20 0 B． x 20 0，使得 x0 0 9．图中阴影部分用集合符号可以表示为
C． x 0，都有 x2 0 D． x 0，都有 x2 0 A． A (B C) B． A (B C)
3 a,b ab 1 a 2b C． A U (B C) D． (A B) (A C)．若 为正实数，且 ，则 的最小值为
3 10．设a, b, c R，a b，则下列不等式一定成立的是
A． 2 B． C．3 D．2 2 2 1 1
A．a c b c B． e a e b C． ac2 bc2 D．
4 2 a b．设集合 A x | x 3x 4 0 ，B x |1 x 5, x Z ，则 A B的真子集共有
11．已知命题 p : x R， x2 ax 4 0 ，则命题 p成立的一个充分条件可以是
A．15 个 B．16 个 C．31 个 D．32 个
2 A．a 4,4 B．a 4, 4 C．a 1,1 D． a 0
5．函数 f (x) x , x [1,3]的值域为
x
12．已知 f x ， g x 都是定义在R上的函数，其中 f x 是奇函数， g x 为偶函数，
3,11 11 A．[2 2,3] B． C． 2 2, D．[3, ) 3 3 且 f x g x 2x，则下列说法正确的是
6．若关于 x的不等式ax2 bx c 0的解集为 x | 1 x 2}，则cx2 bx a≤0的解集为 A． f g x 为偶函数
B． g 0 0A． x | 1 x 2} B．{ x | 1 x 1 }
2
C f 21 1 ． x g
2 x 为定值
C．{ x｜ 1 x 且 x 0 } D．{ x | x 1或 x }
2 2 2
x , x 0
D． f x g x 2 x , x 0
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三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 19．（本小题共 12 分）
1 学校决定投资 1.2 万元在操场建一长方体状体育器材仓库，如下图 ( 俯视图 ) ，利用围
1
13 27 3．4 2 ________．8 墙靠墙直角而建节省成本 ( 长方体一条长和一条宽靠墙角而建 ) . 由于要求器材仓库高度
14 a 0 a 1 f x ax 1 1 _______. 恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米 100 元 ( 不计高度，按长度计算 ) ，．当 且 时，函数 的图象经过的定点坐标为
x a, x 1 顶部材料每平方米造价 300 元. 在预算允许的范围内，
15．设函数 f (x) = ，若 a = 2，则 f (x) 的单调递增区间是_______； a(x 2)2 1, x 1 如何设计使得仓库占地面积最大？
若 f (x) 的值域为 ( , ) ，则 a的取值范围是________.
a 1
16．若 0 a 2 ，则 的最小值是__________
2 a 2a
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20．（本小题共 12 分）
17．（本小题共 10 分） 已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f (x) 的图像上, g(x) f (x) ax b（a,b R) .
已知全集U R，集合 A x∣x2 2x 3 0 ，B x∣1 2x 16 ． （1）求 f (x) 的解析式；
（1）求 A B； （2）若b 1，且方程 g x 0有解，求实数 a的取值范围；
（2）设非空集合D x a x 3 2a,a R ，若D (A B) ，求实数 a的取值 （3）当 g( 1) 0 时，解关于 x的不等式 g x 0 .
范围．
21．（本小题共 12 分）
2a x
已知函数 f (x) x k (a 1)是奇函数.a 1
（1）求实数 k的值；
18．（本小题共 12 分） （2）若 x 0 时，关于 x的不等式 f (2x)≤mf (x)恒成立，求实数 m的取值范围.
1
已知函数 f (x) 2 ．x 1
（1）判断 f (x) 在区间 (1, )上的单调性，并用单调性定义证明； 22．（本小题共 12 分）
（2）求 f (x) 在区间 [ 4, 2]上的最大值和最小值． 已知函数 f (x) x(m | x | 1)，m R
(1)若m 1，求函数 f (x) 在 [ 1, t ]上的最小值 H (t ) 的解析式;
(2) 若对任意 x [ 1,0]，都有 f (x m) f (x) 0，求实数 m的取值范围.
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{#{QQABJQwUgggIAABAABgCAQVYCEIQkACCCAoGwEAAMAIAgRFABAA=}#}2023～2024学年度模块检测试题
高一数学试题参考答案及评分标准
2023.11
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1~4 DADA 5~8 CBDB
二.多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9. BD 10. AB 11. BCD 12. ACD
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分）
5
13. -1 14. (-1,2) 15. (1,2]， (0,2] 16． 4
四、解答题（本题共 6小题，共 70 分）
17. 解：（1）因为 A x x2 2x 3 0 ， 所以 A x 1 x 3 ，···············2分
由 B x 1 2x 16 ，得 B x 0 x 4 .·················································4分
所以 A B x 1 x 4 ．·····································································5分
（2）因为D ，D AU B ，
3 2a a
则 3 2a 4, ··························································································8分
a 1
1
所以 a 1．····················································································10分
2
18. 解: （1） f x 是 1, 上的单调减函数，证明如下：
证明：在 1, 上任取 x1, x2 ，且 x1 x2，··················································· 1分
1 1 x2 xf x f x 1 x2 x1 1 2 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 ，····································3分1 2 1 2
因为 x1 1, x
2 2
2 1，故可得 x1 1 x2 1 0， x1 x2 0，
又 x1 x2，则 x2 x1 0，·········································································5分
x2 x1 x2 x1
所以 0 x2 2 ，即 f x1 f x2 ，1 1 x2 1
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所以 f x 在 1, 上单调递减.··································································6分
（2） f x 的定义域为{x | x 1}，关于原点对称，
又 f x 1 2 f x ，故 f x 是偶函数. ·············································8分x 1
在 , 1 上任取 x3, x4，且 x3 x4 ，则 x3 x4 1，
根据（1）中所得 f x 在 1, 单调递减，有 f x3 f x4 ，
由 f x 是偶函数得 f x3 f x4 ，
所以 f x 在 , 1 上单调递增，显然在 4, 2 也单调递增.·······················10分
故当 x 4时， f x 1取得最小值为 f 4 ，
15
x 1当 2时， f x 取得最大值为 f 2 ，
3
1 1
故 f x 的最大值和最小值分别为 , .······················································ 12分
3 15
19.解：设仓库不靠墙的长为 x米，宽为 y米， x 0， y 0，
则 100(x y) 300xy 12000，·································································4分
整理得 (x y) 3xy 120 .
x 0， y 0， x y 2 xy ，当且仅当 x y时等号成立
3xy 2 xy 120，················································································ 8分
( xy 6)(3 xy 20)≤ 0，
解得：0 xy 6，此时 x y 6时等号成立，10分
所以设计仓库的长、宽均为 6米时占地面积最大，为 xy 36平方米. ···············12分
20 . 解：（1）设幂函数 y f (x) x ，由点 ( 2, 2)在幂函数 f (x)的图象上，所以
，解得 2，所以 f (x) x2 ； ·············································· 2分
(2) b 1 2时， g x x ax 1，
由方程 g x 0有解，可得 a2 4 0，即 a 2或 a 2；······················ 4分
(3) 由 g 1 0得 1 a b 0，即 b a 1，··········································5分
g x x2所以 ax a 1 x 1 x a 1 ，··········································· 6分
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当 1 1 a即a 2时， f x 0的解集为 1，1 a ，································· 8分
当 1 1 a即a 2时， f x 0的解集为 1 ，······································ 10分
当 1 1 a即 a 2时， f x 0的解集为 1 a， 1 .··································12分
21. 解：（1）因为 f (x)是奇函数，且定义域为 R，所以 f (0) 0，
2a0
即 k 0，解得 k 1 .····································································2分
a0 1
经检验，此时 f (x)是奇函数，所以 k 1 .······················································4分
x x
（2）由（1）知 f (x) 2a 1 a 1 x ，a 1 a x 1
a2 x 1 a x 1
由 x 0时， f (2x) mf (x)恒成立，得 m ，···························5分
a2 x 1 a x 1
a x
2
1
因为 a 1，所以 a x 1，则a x 1 0，所以 m ，·························· 6分
a2 x 1
a x 1 2 a2 x 2a xh(x) 1 2a
x 2
设 a2 x 1 a2 x
1 1
1 a2 x 1 1 ，·······················9分a x
a x
x 1 x 1
因为 a x 2，当且仅当 a x ，即 x 0时，等号成立，a a
a x 1又 x 0，所以 x 2，····································································· 10分a
h(x) 1 2 1 2 2
故 ex 1 2 ，····························································· 11分
ex
所以m 2 .·····························································································12分
x(1 x), x 0
22. 解：（1）若m 1，则 f (x) x(1 | x |) .························· 2分
x(1 x), x 0
1
①当 1 t 时， f (x) 在 [ 1, t]单调递减， f (x) 的最小值为 f (t) t(t 1)；3分
2
1 1 1 1 1
②当 t 时， f (x) 在 [ 1, ]单调递减，在 [ , ]单调递增， f (x) 的最小值为
2 2 2 2 2
f ( 1 1 ) ；
2 4
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{#{QQABJQwUgggIAABAABgCAQVYCEIQkACCCAoGwEAAMAIAgRFABAA=}#}
1 1
③当 t时， f (x) 在 [ 1, ]单调递减，在 [ 1 1 , ]单调递增，在 [1 , t]单调递减，
2 2 2 2 2
f (x)的最小值为 ，
f ( 1) f (t) 1 1 2 1 2由 得， t(1 t)，解得 t ；······················· 5分
2 4 2 2
1 1 2 1 1
所以，当 t 时， f (x) 的最小值为 f ( ) ，
2 2 2 4
1 2
当 t 时， f (x) 的最小值为 f (t) t(1 t); ············································6分
2
综上所述， f (x) 的最小值为： ························ 7分
x( mx 1), x 0
(2)显然m 0，且 f (x)为 R 上的奇函数， f (x)
x(mx 1), x 0
①当m 0时， f (x)在[ 1,0]上单调递增，恒有 f (x m) f (x)，符合题意····· 8分
②当m 0 2时，由 x 0得： f ( m) f (0)， m( m 1) 0，
解得：m 1，或者m 1(舍去 ) .
当 x [ 1,0)时， x m 0，
f (x m) f (x) m(x m) 2 (x m) x( mx 1) 2mx 2 2m 2x m 3 m 0 ，
m 1 2x2 2mx m2又 ，所以有 1 0 .··················································10分
2 2
令 g(x) 2x 2mx m 1，
则 g( 1) m2 2m 1 (m 1)2 0 ， g(0) m2 1 0，
m
所以当 1，即m 2， g(x) g( 1) 0恒成立，
2
2
当 2 m 1
m m
时，只要 g( ) 1 0，得 2 m 2 ，所以m 2 .
2 2
综上所述， m的取值范围为m 2或m 0 .····································· 12分
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