山东省临沂市罗庄区2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题

高二数学试题（理） 2015.5
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（共50分）
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.复数（ ）
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程是 （ ）
A. y = 2x + 1 B. y = 2x – 1 C. y = –2x + 1 D. y = –2x – 2
3.已知函数，则下列说法正确的是 （ ）
A. f (x)在（0，+∞）上单调递增 B. f (x)在（0，+∞）上单调递减
C. f (x)在（0，）上单调递增 D. f (x)在（0，）上单调递减
4.函数有（ ）
A.极大值,无极小值 B.极大值,极小值
C.极大值,极小值 D.极小值,无极大值
5.利用数学归纳法证明“ ”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是( ) A . B . C . D.
6.已知，则等于( )
A．2 B．0 C．-2 D．-4
7.已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．观察下列顺序排列的等式：
90+1=1；91+2=11；92+3=21；93+4=31……猜想第n个等式应为( )
A．9(n+1)+n=10n+9 B．9(n-1)+n=10n-9
C．9n+(n-1)=10n-1 D．9(n-1)+(n-1)=10n-10
9.如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
10.下列计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
数学试题（理）
第Ⅱ卷 非选择题 （共100分）
注意事项：第Ⅱ卷共4页。考生答卷前将密封线内的内容填写清楚，须用黑色签字笔直接答在答题卡上.
二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.复数，在复平面内,所对应的点在第________象限.
12. .
13. 已知函数f (x)的图象在M(1, f (1) )处的切线方程为，
则= .
14.已知对任意的恒成立，则的最大值为 .
15.已知＞0，由不等式＋≥2=2，＋=＋＋≥3=3，…，可以推出结论：＋≥＋1（N），则= .（用含的式子表示）
三、解答题：本大题共6小题，共75分
16．（本小题满分12分），＋，＋，＋,求复数.
17．（本小题满分12分）计算由曲线围成的图形的面积S.
18．（本小题满分12分）有以下三个不等式：
；
；
．
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论。
19．（本小题满分12分）已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．
(Ⅰ）求的解析式；
(Ⅱ）求函数的单调递增区间及极值。
20．（本小题满分13分）设，已知和为的极值点。
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性并求其最小值.
21．（本小题满分14分）设函数，.
（Ⅰ）若在处有极值，求；
（Ⅱ）若在上为增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：.
高二数学（理）参考答案 2015.5
一、选择题 ACDAC DBBDB
二、填空题 11. 二 12.-2 13．3 14.0 15.
三、解答题
16．解：∵，＋，＋，
∴，-，，…………6分
∴＋=＋--=. ……………12分
17．解：由
解得，…………………………3分
∴＋＋
=＋＋
=＋2-＋6--4-＋＋2=1…………………………11分
∴所求图形的面积S等于1. …………………………12分
18．解：结论为：…………………4分
证明：
，
所以． …………………………12分
19．解：(Ⅰ)由,可得.…………………………1分由题设可得???? 即解得,.所以. ………………………4分(Ⅱ)由题意得,……………………5分所以.令,得 ,.…………7分
增
减
0
增
……………………………………………11分
所以函数的单调递增区间为,.
在有极小值为0，在有极大值。………………12分
20．解：（I）因为，
又和为的极值点，
所以0…………2分
因为
解方程组得。 ……………………………6分
（Ⅱ）因为，
所以，，…………………7分
令，解得。…………………8分
因为当时，；
当时，，………………………10分
所以在上是单调递增的；
在和上是单调递减的。……………11分
又因为当时，恒成立。
∴……………13分
21．解：（Ⅰ）由已知可得，其定义域为，………1分
又，……………………3分
由已知.………………………4分
（Ⅱ）对恒成立，……………5分
对恒成立，……………………………6分
因为，所以的最大值为，所以；……8分
（Ⅲ）证明：令，则 ，
当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增；………… 10分
故在处取得最小值，
即有，故。…………11分
令，则 ，
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；…………12分
故在处取得最大值，
即有，故，…………13分
所以， 。…………14分