信阳市高中2023-2024学年高三上学期12月期中考试
数学试题
一、单选题
1. 已知复数 , 则
A. -1
B.
C.
D. 1
2. 设 , 则 “ ” 是 “ 为奇函数” 的
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3. 点集 表示的曲线总长度等于
A.
B.
C.
D.
4. 函数 的图像大致是
5. 如图, 已知定圆 的半径为 $4, B$ 是圆 内一个定点, 且 是圆上任意一点. 线段的垂直平分线 1 和半径相交于点 , 当点 在圆上运动时, 则点 的轨迹是
A. 面积为 的圆
C. 离心率为 的椭圆
B. 面积为 的圆
D. 离心率为 的椭圆
6. 已知函数 在 上恰有 4 个不同的零点, 则实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
7. 数学命题的证明方式有很多种. 利用图形证明就是一种方式. 现有如图所示图形。在等缕直角三角形 中, 点 为斜边的中点, 点 为斜边上异于顶点的一个动点, 设, 用该图形能证明的不等式为
A.
C.
B.
D.
8. 设 , 则 (
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9. 已知等差数列的前项和, 则下列选项正确的是
A.
C. 当 取得最大值时
B.
D. 当 取得最大值时
10. 设 , 若 为函数 的极小值点, 则下列关系可能成立的是
A.且
B.且
C.且
D.且
11. 若圆 与圆 的公共弦的长为 , 则下列结论正确的有
A.且
B.且
C.且
D.且
11. 若圆 与圆 的公共弦的长为 , 则下列结论正确的有
A.
C.中点的轨迹方程为
B. 直线的方程为
D. 四边形 的面积为
12. 在棱长为 2 的正方体 中, 为线段 上的动点, 则
A. 点 四点不共面
B. 在底面内的射影面积为定值
C. 直线 与平面 $E B C$ 所成角的正弦的最大值为
D. 当 为 中点时, 四棱锥 外接球的表面积为
三、填空题（本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。)
13. 已知角 的顶点为坐标原点, 始边与 轴的非负半轴更合, 终边经过点 , 则 .
14. 已知向量 的夹角为 , 且 , 则向量 在向量 上的投影向量为 . (用 表示)
15. 已知,的面积为1，且, 则当取得最小值时,的长为 .
16. 数列 满足 为 的前 项和, 若 , 则 的范围为 .
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题 10 分) (I)试证明柯西不等式:
(II) 已知 , 且 , 求 的最小值.
18. (本题 12 分) 设数列 为等差数列, 其前 项和为 , 数列 为等比数列. 已知 .
(I) 求数列 和 的通项公式:
(II) 求数列 的前 项和 .
19. (本题 12 分) 如图所示, 多面体中, 底面为正方形, 四边形为矩形, 且 .
（1）求平面与平面所成二面角大小；
（2）点P在线段上, 当 平面时, 求与平面所成的角的正弦值.
20. (本题 12 分) 已知 的内角A, B, C的对边分别为 ,且 .
(I) 求 的大小;
(II) 若 的平分线交 $A B$ 于点 , 且 , 求 的取值范围.
21. (本题 12 分) 设 .
(I) 若 , 求 的单调区间;
(II) 讨论 在区间 上的极值点个数：
(III) 是否存在 , 使得 在区间 上与 轴相切 若存在, 求出所有 的值, 若不存在, 说明理由.
22. (本题 12 分) 已知椭圆 左、右焦点分别为 , (1) 过右焦点的直线被 所截线段是弦, 当垂直于 轴时弦为通径, 求证:最小值是通径
(II) 如图所示, 若 的右顶点为 , 过点 且斜率为 的直线与 轴交于点 , 与椭圆交于另一个点 , 且点 在 轴上的射影恰好为点 .
(i) 求椭圆 的标准方程;
(ii) 过点 且斜率大于 的直线与椭圆交于两点
, 若 , 求实数 的取值范围.河南省信阳市高中2023-2024学年高三上学期12月期中
数学答案
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