广东省广州市重点中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(无答案)

2023学年第一学期高三数学期中考试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．3
3．设是等比数列，且，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．64
4．当，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C的一个交点为A，若，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
8．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分．
9．下列结论中，正确的是（ ）
A．数据0，1，2，3的极差与中位数之积为3
B．数据20，20，21，22，22，23，24的第80百分位数为23
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．在回归分析中，用决定系数来比较两个模型拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越差
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上恰有2个极小值点
D．若要得到函数的图象，可将的图象向左平移个单位长度
11．如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则（ ）
A．，E，O三点共线
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．过点，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为
D．直线与平面所成的角为45°
12．设动直线l：交圆C：于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点 B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则______．
14．的展开式中x的系数为______．
15．记数列的前n项和为，若，（n为正整数），则数列的通项公式为______．
16．已知定义在上的函数在上是增函数，且对任意的x，y，都有，若，则的解集为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知公差为正数的等差数列满足且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列前n项和．
18．（12分）已知．在中，．
（1）求角A的大小；
（2）D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，F为PD的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
20．（12分）已知数列满足，．记．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设数列的前n项和为，求数列的前n项的和．
21．（12分）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛．每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响．
（1）求甲同学前3次答题得分之和为70分的概率；
（2）记甲同学第i次答题所得分数的数学期望为，求，并写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）．
（3）在甲同学完成5次答题，且第2次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于90分的概率．
22．（12分）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．