上海重点大学附属中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题(无答案)

上海重点大学附属中学2023学年度第一学期第二次质量检测
高一年级数学
总分：100分 时间：90分钟
题号 一 二 17 18 19 20 21 总分
得分
一、填空题（3分×12=36分）请将每小题正确的结论填在题中的横线上
1.解关于的方程：若，则__________.
2.幂函数的图像不可能在第四象限，但所有图像过定点，定点坐标为__________.
3.已知函数是指数函数，则实数的值是___________.
4.奇函数的定义域为（-1，1），则___________.
5.若函数为偶函数，则实数___________.
6.若函数和的图像关于y轴对称，则函数___________.
7.设则___________.
8.已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则____________.
9.函数在上的最大值和最小值之和为，其中且，则实数_________.
10.利用函数图像解不等式：的解集是_________.
11.函数，，其中，则_________.
12.函数的对称中心是点，则_________.
二、选择题（3分×4=12分）将每小题的正确代号选出填在题中的圆括号内.
13若函数，则该函数在上是（ ）
A.严格减函数无最小值 B.严格减函数有最小值
C.严格增函数无最大值 D.严格增函数有最大值
14.设且，命题甲：“函数在上是严格减函数”，
命题乙：“函数在上是严格增函数”
则命题甲是乙的_________条件（ ）
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充要 D.既非充分也非必要
15.已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
16.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为，他与教练间的距离为，表示y与t的函数关系的图像大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）
图1 图2
A.点M B.点N C.点P D.点Q
三、解答题（8+10+10+12+12=52分）要求每小题写出必要的解题过程。
17.（8分）已知幂函数与的图象都与、轴都没有公共点，且的图象关于y轴对称，求m的值.
18.（10分）用定义证明；函数在区间上是严格减函数.
19.（8分）随着人工智能的飞速进展，临港某车辆装配车间每2小时装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8小时.从当天开始生产的时刻起，所经过的时间x（单位：小时）与装配完成的车辆数（单位：辆），表示为函数.
（1）用分段表示法写出函数的解析式；
（2）数学上，常用表示不大于的最大整数，例如，；也叫做取整函数.请用取整函数写出函数的简洁表达式.
20.（12分）已知函数，其中且，是实数常数.
（1）求函数的定义域；
（2）是否存在常数b，使函数为奇函数
21.（14分）已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）若且，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.