数学人教A版（2019）必修第一册5.6函数y=Asin(ωx φ) 课件（共41张ppt）

(共41张PPT)
5.6 函数
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
问题导入
我们知道，单位圆上的点，以(1,0)为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画.对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题.
问题：筒车是我国古代发明的一种水利灌输工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。
新知探索
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律。
思考1：与盛水筒运动相关的量有哪些 它们之间有怎样的关系？
新知探索
如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点.由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间.
下面我们分析这些量的相关关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.
如图，以为原点，以与水平面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，盛水筒位于点，以为始边，为终边的角为，经过后运动到点于是，以为始边，为终边的角为，并且有 ①
所以盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 ②
函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律.由于是常量，我们可以只研究函数①的性质。下面我们分析这些量的相关关系，进而建立盛水筒运动的数学模型.

5.6.2 函数的图象
新知探索
上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如(其中)的函数.显然，这个函数由参数所确定.因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质.
思考2：从解析式看，函数就是函数在时的特殊情形.
(1)能否借助我们熟悉的函数的图象研究参数对函数的影响？
(2)函数含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？
新知探索
1.探索对图象的影响
为了更加直观地观察参数对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验.
如图，取动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动.
如果动点以为起点(此时)，经过后运动到点，那么点的纵坐标就等于.
以为坐标描点，可以得到正弦函数的图象.
新知探索
思考3：在单位圆上拖动起点，使点绕点旋转到，你发现图象有什么变化？如果使点绕点旋转，或者旋转一个任意角呢？
当起点位于时，可得函数的图象.
进一步，在单位圆上，设两个动点，分别以为起点同时开始运动.
如果以为起点的动点到达圆周上点的时间为，那么以为起点的动点相继到达点的时间是
这个规律反映在图象上就是：如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，如图所示.
新知探索
这说明，把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，就得到的图象.
一般地，当动点的起始位置所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度，就得到函数的图象.
思考4：分别说一说旋转，，时的情况.
新知探索
2.探索对图象的影响
下面,仍然通过数学实验来探索.如图，取圆的半径为了研究方便，不妨令.当时得到的图象.
思考5：取，图象有什么变化？取呢？取，，图象又有什么变化？当取任意实数呢？
取时，得到函数的图象.
进一步，在单位圆上，设以为起点的动点，
当时到达点的时间为，
当时到达点的时间为.因为时动点的转速是的2倍，所以.
这样，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点，如图所示.这说明，把的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，就得到的图象.的周期为，是的周期的.
新知探索
同理，取时，动点的转速是的倍，以为起点，到达点的时间是的2倍.这样，把图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标不变)，就得到的图象.的周期为，是的周期的倍.
新知探索
一般地，函数的周期是把图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到的图象.
新知探索
3.探索对图象的影响
下面通过数学实验探索对函数图象的影响.
为了研究方便，不妨令.当时，如图，可得的图象.
思考6：改变的取值，使取等，你发现图象有什么变化？当取任意正数呢？
当时，得到函数的图象.
进一步，设射线与以为圆心、2为半径的圆交于.
如果单位圆上以为起点的动点，以的转速经过到达圆周上的点，那么点的纵坐标是；相应地，点在以为圆心、2为半径的圆上运动到点，点的纵坐标是.
这样，设是函数图象上的一点，那么点就是函数图象上的相应点，如图所示.
这说明，把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，就得到的图象
.
新知探索
同理，把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，就得到的图象.
一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的倍(横坐标不变)而得到.从而，函数的值域是，最大值是，最小值是.
你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法吗？

新知探索
新知探索
一般地，函数的图象，可以用以下方法得到：先画出函数个的图象；再把正弦曲线向左(向右)平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数的图象.
思考7：请同学们结合着以上内容，做出这一过程的流程图.
新知探索
平移变换：
向左(或右)平移个单位长度
将横坐标变为原来的倍
将纵坐标变为原来的倍
从上述步骤可以清楚地看到，参数是如何对函数图象产生影响的.
新知探索
伸缩变换：
向左(或右)平移个单位长度
将纵坐标变为原来的倍
将横坐标变为原来的倍
例析
（课本）例1.画出函数的简图.
解：先画出函数的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图所示.
例析
（课本）例1.画出函数的简图.
下面用“五点法”画函数在一个周期内的图象.
令，则.列表，描点画图.
例析
（课本）例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120，转盘直径为110，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动五后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差(单位：)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1).
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
(1)设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得
(2)当时，
所以，游客甲在开始转动五后距离地面的高度约为

例析
(3)如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则.经过后甲距离2地面的高度为，
点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，
利用
可得
当(或)，即(或)时，的最大值为.
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.
【例1】（2023·辽宁·鞍山一中高一期中）若的图像如下图所示，且和是最小的两个正零点，若，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，得，
所以，由图可知，在取得最大值，
所以，得，
又和是最小的两个正零点，故，所以，
又，所以的解析式为．
故选：B
题型一：根据函数图象求解析式
【对点训练1】（2023·全国·高一）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知：，所以，
解得：，
将点代入解析式得：，
所以，
因为，
所以，此时
故选：A
题型一：根据函数图象求解析式
【对点训练2】（2023·河北·青龙满族自治县实验中学高一期末）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π）的一段图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A．y＝2sin B．y＝
C．y＝2sin D．y＝2sin
【答案】C
【解析】由图象可知A＝2，因为－＝＝，所以T＝，ω＝2．
当x＝－时，2sin＝2，
即sin＝1，
又|φ|<，解得φ＝．
故函数的解析式为y＝2sin．
故选：C
题型一：根据函数图象求解析式
【例2】（2023·江西·高一期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移3个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移3个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度．
对照四个选项，选B．
故选：B
题型二：同名函数图象的变换
【对点训练3】（2023·全国·高一专题练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
【答案】A
【解析】，
将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到
，
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到，
故选：．
题型二：同名函数图象的变换
【对点训练4】（2023·北京师大附中高一期中）要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】C
【解析】把函数的图象向右平移个单位得到
把函数的图象向左平移个单位得到
把函数的图象向右平移个单位得到，
把函数的图象向左平移个单位得到，
故C正确；
故选：C
题型二：同名函数图象的变换
【例3】（2023·四川巴中·高一期末）要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
【答案】B
【解析】由函数，，
所以先向左平移个单位长度，
得的图像，
再向上平移2个单位长度，得 的图像，
故选：B
题型三：异名函数图象的变换
【对点训练5】（2023·全国·高一专题练习）要得到函数的图象，只需的图象
A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）
C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
【答案】D
【解析】
，
因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选D．
题型三：异名函数图象的变换
【例4】（2023·四川遂宁·高一期末）若把函数的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到
由
可得，即
当时，．
故选：A
题型四：变换的重合问题
【对点训练6】（2023·湖北武汉·高一期中）的图象向左平移个单位，恰与的图象重合，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的图像向左平移个单位后得，，与图象重合，
所以，
解得：，
当时，．
故选：D
题型四：变换的重合问题
【例5】（2023·全国·高一专题练习）已知的最大值为，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，的最大值为4，
则，，
且，
解之得，．
故，
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，
得到．
故选：B．
题型五：求图象变换前、后的解析式
【对点训练7】（2023·全国·高一专题练习）将函数的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向左平移个单位，故变为，
纵坐标不变，横坐标缩为原来的，
变为．
故选：．
题型五：求图象变换前、后的解析式
【例6】（2023·全国·高一单元测试）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
若函数在区间上有且仅有一个零点，
因为，
所以，即，
故答案为：
题型六：由图象变换研究函数的性质
【对点训练8】（2023·全国·高一）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是________．
【答案】
【解析】将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，该图象关于y轴对称，即为偶函数，
因此，所以，
故时得的最小正值为．
故答案为：．
题型六：由图象变换研究函数的性质
【例7】（2023·山东·费县实验中学高一期末）已知函数．
（1）若存在，，使得成立，则求的取值范围；
（2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间，内的所有零点之和．
【解析】（1），
若存在，使得成立，则只需即可，
，，
当，即时，有最大值1，，
（2）∵将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，
，，，
在上有4个零点，，
根据对称性有，，
题型七：三角函数图象与性质的综合应用
【对点训练9】（2023·山东临沂·高一期末）已知函数．
（1）求的周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
【解析】（1）
，
所以的周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位，可得，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，
所以，因为，所以，所以，
所以，所以，
所以在上的值域为．
题型七：三角函数图象与性质的综合应用
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)了解匀速圆周运动的数学模型；
(2)理解并掌握图象变换的两种方式.
作业：
(1)梳理回顾本节课的例题；
(2)制作图象变换的思维导图；
(3)课本P239的练习14题.