数学人教A版（2019）必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换 课件（共25张ppt）

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5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
复习导入
学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
新知探索&例析
（课本）例7.试以表示
解：是的二倍角.在倍角公式中，
以代替，以代替，得：
∴①
在倍角公式中，
以代替，以代替，得：
∴②
∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得：
新知探索&例析
例7的结果还可以表示为：
并称之为半角公式，符号由所在象限决定.
新知探索&例析
（课本）例8.求证：
(1)
(2)
证明：(1)因为
将以上两式的左右两边分别相加，得：
即
思考1：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探索&例析
（课本）例8.求证：
(1)
(2)
证明(证法一)：(2)由(1)可得
①
设那么
把的值代入①，即得
.
思考2：如果不用(1)的结果，如何证明？
新知探索&例析
（课本）例8.求证：
(2)
证法二：∵
∴
新知探索&例析
（课本）例8.求证：
(1) 积化和差
(2) 和差化积
例8的证明用到了换元的方法.如把看作看作从而把包含的三角函数式转化成的三角函数式.或者，把看作看作把等式看作的方程，则原问题转化为解方程(组)求它们都体现了化归思想.
新知探索&例析
（课本）例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)(2)
解：(1)
因此，所求周期为最大值为，最小值为.
思考3：你能说一说这一步变形的理由吗？
辅助角公式：
其中，所在象限由和的符号确定.
新知探索&例析
（课本）例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)(2)
解：(2)设则
于是
于是所以
取则
由可知，所求周期为最大值为，最小值为.
新知探索&例析
（课本）例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：在中，
在中，
所以
设矩形的面积为，则
新知探索&例析
（课本）例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：
由得
所以当即时，
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为
由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程蕴含了化归思想.
【例1】（2023·全国·高一课时练习）化简：___________．
【答案】
【解析】∵，∴，∴．
又∵，且，
∴．
∵，∴，∴．
∴．
故答案为：
题型一：利用半角公式化简求值问题
【对点训练1】（2023·全国·高一课时练习）若，是第三象限角，则___________．
【答案】
【解析】，
，，
为第三象限角，，
故答案为：
题型一：利用半角公式化简求值问题
【例2】（2023·江西·丰城九中高一期末）（1）证明：
（2）求值：
【解析】（1）证明：
因为左边
右边，
所以原命题成立．
（2）因为，
所以，
所以
题型二：三角恒等式的证明
【对点训练2】（2023·全国·高一课时练习）证明：
（1）；
（2）．
【解析】（1）左边=
=
=
右边=
==
左边=右边，所以原等式得证．
（2）
故原式得证．
题型二：三角恒等式的证明
【例3】（2023·上海·位育中学高一期中）若函数的图像关于直线对称，则___________．
【答案】
【解析】因为函数的图像关于直线对称，
所以函数在时取得最值，
所以，结合辅助角公式得：，
即，
整理得：，
解得．
故答案为：
题型三：辅助角公式的应用
【对点训练3】（2023·全国·高一专题练习）要使有意义，则实数m的取值范围为____________．
【答案】
【解析】因，
因此，
解得，
所以实数m的取值范围为．
故答案为：
题型三：辅助角公式的应用
【对点训练4】（2023·上海市杨浦高级中学高一期中）若函数取最小值时，则___________．
【答案】
【解析】，其中
时取最小值，
，
故答案为：．
题型三：辅助角公式的应用
【例4】（2023·广东·饶平县第二中学高一开学考试）已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值．
【解析】（1）
所以的最小正周期
（2）由，，得，．
故函数的单调递增区间为，．
（3）当时， , ∴
∴
故在区间上的最大值为，最小值为．
题型四：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
【对点训练5】（2023·浙江·高一期中）已知函数
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）当时，，求．
【解析】（1）因为 ，
所以的最小正周期为，
由，得；
所以单调递增区间为．
（2）因为，所以，即，
又，则，又，则，
那么，
从而 ．
题型四：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
【对点训练6】（2023·北京·高一期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围．
【解析】（1）由 得，
故最小正周期为，
（2）由，解得，
故的单调递增区间为
（3）令，则，
故问题转化为在区间内有两个不同的根，令，且，
则问题等价于在有两个根，
由的图象可知：当时，有两个根．
故
题型四：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例5】如图，是半径为1，的扇形，C是弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，当时，四边形的面积S取得最大，则的值为_________．
【答案】
【解析】在直角中，，
又在直角中，且，
当即时，最大．
即
即
故答案为：
题型五：三角恒等变换在实际问题中的应用
【对点训练7】（2023·上海·高一课时练习）已知矩形内接于半径为1的圆．
（1）求矩形面积的最大值；
（2）当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大吗？说明理由．
【解析】（1）如图所示，设，
在中，，，，
矩形的面积是，
当时，矩形的面积取得最大值．
（2）矩形的周长是
，
当时，矩形的周长取得最大值；
综上，时，矩形面积与周长同时取得最大值，
即当矩形的面积最大时，矩形的周长也最大
题型五：三角恒等变换在实际问题中的应用
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)理解记忆倍角公式及其变形；
(2)理解并记忆辅助角公式；
(3)了解和差化积、积化和差公式的证明.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P228的练习12题；
(3)课本习题5.5P228——229的1题.