2023-2024学年苏科版九年级数学下《6.4探索三角形相似的条件》提优训练（四）（含答案版）

2023-2024学年苏科版九年级数学下《6.4探索三角形相似的条件》提优训练（四）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．将一个三角形的各边都缩小后，得到的三角形与原三角形( )
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能判断是否相似
2．甲三角形的三边分别为1，，，乙三角形的三边分别为，，5，则甲乙两个三角形( )
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似
3．已知△ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm，△DEF的一边长为4 cm，要使这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可以是( )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
4．下列能使△ABC和△DEF相似的条件是( )
A．AB＝c，AC＝b，BC＝a，DE＝，EF＝，DF＝
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝1
C．AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝12，EF＝8，DF＝6
D．AB＝，AC＝，BC＝，DE＝，EF＝3，DF＝3
5．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3、4及x，那么x的值( )
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个
6．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
第6题图 第10题图 第11题图
7.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是( )
A.△ABC中，AB＝8，AC＝4，∠A＝105°，△A'B'C'中，A'B'＝16，B'C＝8，∠A'＝100°
B.△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35，△A'B'C'中，A'B'＝36，B'C'＝40，CA'＝70
C.△ABC和△A'B'C'中，有，∠C＝∠C'
D．△ABC中，∠A＝42°，∠B＝118°，△A'B'C'，中，∠A'＝118°，∠B'＝15°
8．一个铝质三角形框架的三条边长分别为24 cm、30 cm、36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm、45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有( )
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
9．下列论断：①顺次连接三角形各边的中点，所得的三角形与原三角形相似；②两边长分别是3、4的Rt△ABC与两边长分别是6、8的Rt△DEF相似；③若两个三角形的边长分别是4、6、8和6、8、10，则这两个三角形相似；④一个三角形的三边长分别为6 cm、9 cm、7.5 cm，另一个三角形的三边长分别为8 cm、12 cm、10 cm，则这两个三角形相似，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形网格上，若要使△ABC∽△PBD，则点P应在( )
A．点P1处 B．点P2处 C．点P3处 D．点P4处
二．填空题(30分)
11.如图,在正方形网格中画有梯形ABCD,则∠BDC的度数为________.
12．已知AB与DE，AC与DF对应，且AB＝4 cm，BC＝5 cm，AC＝8 cm，DE＝1cm，DF＝3cm，则EF＝_______cm时，△ABC∽△DEF．
13．若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为14 cm，则最短边为______cm．
14．现要制作两个形状为三角形的框架，其中甲三角形框架的三边长分别为4，5，6，乙三角形框架的一边长为2，要使这两个三角形相似，则乙三角形框架的另外两边可以是______．
15．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5的方格纸中，作格点三角形ABC和格点三角形OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是_________________．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
16.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF.在②～⑥中，与①相似的三角形的序号是__________．
17．(兰州期中)如图，已知正方形ABCD的边长是1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当BQ＝____时，△ADP与△QCP相似．
18．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格(边长为一个单位长)的顶点处，则△ABC与△DEF_______(填“相似”或“不相似”)．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动．当CM＝__________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
20．如图，三个边长为a的小正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2＝________°．
三．解答题（60分）
21．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在网格的格点上．(1)求证：△ABC∽△EDF； (2)求∠BAC的度数．
22．（8分）已知一个三角形框架的三边长分别为3米、4米、5米，现要做一个与其相似的三角形框架，已有一根长为2米的木条，问其他两根木条可选多长？共有多少种不同选法？
23．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取三个格点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)
24．(10分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC是直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点，并且与△ABC相似．
25.（12分）从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图7①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
(3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
①　　　　　　　　　②
26.（14分）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；
（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．将一个三角形的各边都缩小后，得到的三角形与原三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能判断是否相似
2．甲三角形的三边分别为1，，，乙三角形的三边分别为，，5，则甲乙两个三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似
3．已知△ABC的三边长分别为6 cm、7.5 cm、9 cm，△DEF的一边长为4 cm，要使这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可以是(C)
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
4．下列能使△ABC和△DEF相似的条件是(C)
A．AB＝c，AC＝b，BC＝a，DE＝，EF＝，DF＝
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝1
C．AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝12，EF＝8，DF＝6
D．AB＝，AC＝，BC＝，DE＝，EF＝3，DF＝3
5．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3、4及x，那么x的值(B)
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．有无数个
6．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的(C)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
第6题图 第10题图 第11题图
7.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是( B )
A.△ABC中，AB＝8，AC＝4，∠A＝105°，△A'B'C'中，A'B'＝16，B'C＝8，∠A'＝100°
B.△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35，△A'B'C'中，A'B'＝36，B'C'＝40，CA'＝70
C.△ABC和△A'B'C'中，有，∠C＝∠C'
D．△ABC中，∠A＝42°，∠B＝118°，△A'B'C'，中，∠A'＝118°，∠B'＝15°
8．一个铝质三角形框架的三条边长分别为24 cm、30 cm、36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27 cm、45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有 ( B )
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
9．下列论断：①顺次连接三角形各边的中点，所得的三角形与原三角形相似；②两边长分别是3、4的Rt△ABC与两边长分别是6、8的Rt△DEF相似；③若两个三角形的边长分别是4、6、8和6、8、10，则这两个三角形相似；④一个三角形的三边长分别为6 cm、9 cm、7.5 cm，另一个三角形的三边长分别为8 cm、12 cm、10 cm，则这两个三角形相似，其中正确的有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形网格上，若要使△ABC∽△PBD，则点P应在(C)
A．点P1处 B．点P2处 C．点P3处 D．点P4处
解:根据题意，得AC∶AB∶BC＝∶1∶，∴要使△ABC∽△PBD，则PD∶PB∶BD＝∶1∶，∴点P只能在点P3处，故选C.∴∠BDC＝135°.
二．填空题(30分)
11.如图,在正方形网格中画有梯形ABCD,则∠BDC的度数为___135°_____.
12．已知AB与DE，AC与DF对应，且AB＝4 cm，BC＝5 cm，AC＝8 cm，DE＝1cm，DF＝3cm，则EF＝_______cm时，△ABC∽△DEF．
13．若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为14 cm，则最短边为___8____cm．
14．现要制作两个形状为三角形的框架，其中甲三角形框架的三边长分别为4，5，6，乙三角形框架的一边长为2，要使这两个三角形相似，则乙三角形框架的另外两边可以是，3或，或，．
15．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．在如图所示的5×5的方格纸中，作格点三角形ABC和格点三角形OAB相似(相似比不为1)，则点C的坐标是____(4，0)或(3，2)_____________．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
16.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF.在②～⑥中，与①相似的三角形的序号是___③④⑤________．
17．(兰州期中)如图，已知正方形ABCD的边长是1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当BQ＝__0或__时，△ADP与△QCP相似．
18．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格(边长为一个单位长)的顶点处，则△ABC与△DEF相似(填“相似”或“不相似”)．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动．当CM＝或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
解:∵AE＝EB，∴AD＝2AE.又∵△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似，当CM与AD是对应边时，CM＝2CN，∴CM2＋CN2＝MN2＝1，即CM2＋CM2＝1，解得CM＝；
当CM与AE是对应边时，CM＝CN，∴CM2＋CN2＝MN2＝1，即CM2＋4CM2＝1，解得CM＝.综上所述，当CM＝或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．
20．如图，三个边长为a的小正方形拼成一个矩形AEDF，则∠1＋∠2＝45°．
解:由勾股定理，得BC＝a，BA＝a，BD＝2a，AC＝a，AD＝a.
∴＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ABC∽△DBA，∴∠2＝∠BAC，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠BAC＝∠ABF.∵∠ABF＝45°，∴∠1＋∠2＝45°.
三．解答题（60分）
21．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在网格的格点上．
(1)求证：△ABC∽△EDF；
(2)求∠BAC的度数．
解：(1)证明：∵DE＝，DF＝＝，EF＝2，AB＝＝，AC＝＝，BC＝5，∴＝＝＝.∴△ABC∽△EDF.
(2)∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF.∵∠DEF＝90°＋45°＝135°，∴∠BAC＝135°.
22．（8分）已知一个三角形框架的三边长分别为3米、4米、5米，现要做一个与其相似的三角形框架，已有一根长为2米的木条，问其他两根木条可选多长？共有多少种不同选法？
解：(1)若2米的木条为最短边，设其他两根木条的长分别为x m和y m，则
＝＝，解得x＝，y＝.
(2)若2米的木条为第二长的边，设其他两根木条的长分别为x m和y m，则
＝＝，解得x＝，y＝.
(3)若2米的木条为最长边，设其他两根木条长分别为x m和y m，则
＝＝，解得x＝，y＝.
23．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取三个格点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)
解：(1)△ABC和△DEF相似．理由：根据勾股定理，得AB＝2 ，AC＝，BC＝5.同理，DE＝4 ，DF＝2 ，EF＝2 .∵＝＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可：△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1.在图中连接相应线段略
24．(10分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC是直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点，并且与△ABC相似．
解：(1)证明：根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)△ABC和△DEF相似．理由：根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2.∵＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
(3)如图，△P2P4P5即为所求．
25.（12分）从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图7①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
(3)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
①　　　　　　　　　② 答图① 答图② 答图③
解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线；
(2)①当AD＝CD时，如答图①，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；
②当AD＝AC时，如答图②，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；
③当AC＝CD时，如答图③，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍去．综上所述，∠ACB＝96°或114°；
(3)∵△BCD∽△BAC，∴＝，设BD＝x，∵AC＝AD＝2，∴()2＝x(x＋2)，
∵x＞0，∴x＝－1，即BD＝－1，∵△BCD∽△BAC，∴＝＝，
∴CD＝×2＝－.
26.（14分）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；
（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．
解：（1）如图1，证法一：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∴△CDM≌△FEM，∴DM=EM，即点M是DE的中点；
证法二：∵四边形ABCD为菱形，∴DH=BH，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE，∵HM∥BE，∴==1，∴DM=EM，即点M是DE的中点；
（2）∵△CDM≌△FEM，∴CM=FM，设AD=a，CM=b，∵∠ABE=135°，∴∠BAF=45°，
∵四边形ABCD为菱形，∴∠NAF=45°，∴四边形ABCD为正方形，∴AC=AD=a，
∵AB∥EF，∴∠AFN=∠BAF=45°，∴△ANF为等腰直角三角形，∴NF=AF=（a+b+b）=a+b，∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b，∴===；
（4）∵==+=k，∴=k﹣，∴=，
∴== +1= +1=．