四川省成都市六校协作体2014-2015学年高二下学期期中联考数学（理）试题

成都市六校协作体高2013级第四学期期中试题
理科数学
(全卷满分:150分 完成时间:120分钟)
命题人：唐俊 审题人：杨永清 牟林 谢祥高
注意事项:
选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑.其它题答在答题卷上.
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一.选择题(本大题共有12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的．)
1.一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是 ( ▲ )
A．至多有一次为正面 B．两次均为正面
C．只有一次为正面 D．两次均为反面
2.已知等轴双曲线经过点,则它的标准方程为 ( ▲ )
A. B.
C. D.
3.已知，则为 ( ▲ )
A．-1 B．-2 C．0 D．1
4.下列有关命题的说法正确的是: ( ▲ )
A．命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x”.
B．“x=-1”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件.
C．命题”的否定是“”.
D．命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆否命题为真命题.
5.若双曲线的离心率为2，则此双曲线的顶点到渐近线的距离等于 ( ▲ )
A. 2 B. C. D.
6.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,过右焦点F2作轴的垂线,交椭圆
于A,B两点.若等边△ABF1的周长为,则椭圆的方程为 ( ▲ )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象是下列四个图象之一，且
其导函数的图象如右图所示，则该函数的
图象可能是 ( ▲ )
A B C D
8.已知,,条件p:，条
件q:，若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是( ▲ )
A. B. C. D.
9.已知在上存在三个
单调区间,则的取值范围是( ▲ )
A． B．
C． D．
10.执行如图所示的程序框图,在集合中随机地取一个数值作为输入,则输出的值落在区间内的概率为( ▲ )
A. B. C. D.
11.若已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1,F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1·e2的取值范围是 ( ▲ )
A. (0,+∞) B. (,+∞) C. (,+∞) D. (,+∞)
12.若实数a,b, c, d满足, 的最小值为,则函数零点所在的区间为( ▲ )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二．填空题(本大题共有4小题,每小题4分,共16分．把答案直接填在答题卷指定的横线上．)
13.在边长为1的正方体内部有一个与正方体各面均相切的球, 一动点在正方体内运动, 则此点落在球的内部的概率为　　▲ ．
14.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是　　▲ ．
15.已知P为抛物线上的动点,点P在抛物线准线上的射影为M,点A的坐标是,则的最小值为　　▲ ．
16.下列五个命题:
①“”是“为R上的增函数”的充分不必要条件;
②函数有两个零点;
③集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是；
④动圆既与定圆相外切,又与轴相切,则圆心的轨迹方程
是;
⑤若函数(,)有最大值,则一定有最小值.其中正确的命题序号是　　▲ ．
三．解答题(本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．)
17.(本小题满分12分)
已知命题p：对任意实数都有恒成立；
命题q：关于的方程有实数根；
如果“或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数的取值范围.
18. (本小题满分12分)
点P(x,y)与定点F的距离和它到直线的距离的比是常数，
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线与P的轨迹交于不同的两点B、C，当线段BC的中点为M(4,2)时，
求直线的方程.
19.为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人有关回答问题,统计结果如下图表．
组号
分组
回答
正确
的人数
回答正确
的人数占本
组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25，35)
18
x
第3组
[35，45)
b
0.9
第4组
[45，55)
9
0.36
第5组
[55，65]
3
y
(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；
(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样
的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，
求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
20.(本小题满分12分)
设函数f(x)＝－(a＋1)x2＋4ax＋b，其中a，b∈R.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数f(x)在(－1,1)内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．
21. (本小题满分12分)
以椭圆C:的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆
的“伴随”.已知椭圆的离心率为,抛物线x2=8y的准线过此椭圆的一个顶点．
(Ⅰ) 求椭圆C及其“伴随”的方程;
(Ⅱ)如果直线m:y=x-b与抛物线x2=8y交于M,N两点,且,求实数b的值;
(Ⅲ) 过点P(0,m)作“伴随”的切线交椭圆C于A,B两点,记△A0B(0为坐标原点)的
面积为S△A0B , 将S△A0B表示为m的函数, 并求S△A0B的最大值.
22. (本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)求曲线处的切线方程；
(Ⅱ)判断函数极值点的个数并说明理由;
(Ⅲ) k为整数，且当x>0时，(x－k)＋x＋1>0，求k的最大值.
成都市六校协作体高2013级第四学期期中试题
理科数学参考答案
一.选择题
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.C
二．填空题
13. 14. 15. 16. ①③⑤
三．解答题
17. 解：对任意实数都有恒成立

命题: ………………………………………………2分
关于的方程有实数根；
命题: ……………………………………4分
∵“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,
∴p与q一真一假. ……………………………………6分
如果正确，且不正确； ……………8分
如果正确，且不正确 …………10分
所以实数的取值范围为……………………………………12分
18. 解:(Ⅰ)动点满足,
化简得 …………………………………………6分
(Ⅱ)法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆的方程有
(4k2＋1) x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.（*）
∴x1＋x2＝，∴k＝－.
k＝－代入方程（*），经检验
∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0. …………………………………………12分
本题也可用点差法，但要注意检验的过程。若未检验，酌情扣分。
19.解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知n=,
∴ a=1000.01100.5=5， b=1000.03100.9=27， ……………………………4分

（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人…………………………………………8分
设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，
(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， ………………………10分
∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：. ………………12分
20.解：(Ⅰ)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝ (x－2a)(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝2a或x＝2.
当a>1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2a，＋∞)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(2，＋∞)． …………6分
(Ⅱ)由题意可得解得－所以a的取值范围是. ………………………………………12分
21.解: (Ⅰ) 椭圆C的离心率为, 则a=2b,
设椭圆的方程为 …………………………………………1分
抛物线的准线方程为，它与轴的交点是椭圆的一个顶点
故，∴，…………………………………………………………2分
∴椭圆的标准方程为，
椭圆的“伴随”方程为. ……………………………………3分
(Ⅱ)设M(x3,y3) ,N(x4,y4)
， x2-8x+8b=0 △=64-32b>0 ∴ b<2
△=64-32b>0 b<2
则x3+x4=8 ， x3x4=8b
∴b=0或-8 经检验，符合题意
∴b=0或-8 …………………………………………6分
(Ⅲ) 由题意知，.
易知切线的斜率存在,设切线的方程为
由得 …………………………………………7分
设, 两点的坐标分别为, , 则
, .………………………………………8分
又由与圆相切, 所以, .
所以
………………………………10分
, .……………………………………………11分
(当且仅当时取等号)
所以当时，的最大值为1. …………………………………12分
22.解：（Ⅰ）又，
处的切线方程为：
………………………4分
（Ⅱ），月分
令，则
上单调递增，
上存在唯一零点，上存在唯一的极值点………8分
（Ⅲ）解：(x－k)＋x＋1>0可化为(x－k)(ex－1)＋x＋1.
等价于k<＋x　(x>0)．①………………………………………………10分
令g(x)＝＋x，则
g′(x)＝＋1＝.
h(x)＝ex－x－2，，在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．………………………………12分
故g′(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，
可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)． ………………………………13分
由于①式等价于k