四川省成都市六校协作体2014-2015学年高一下学期期中联考数学试题

成都市六校协作体高2014级第二学期期中试题
数 学
（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）
出题人：程晓刚 审题人：曾学伦 陈华东
注意事项:
选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑.其它题答在答题卷上.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知，，则的值为
（A） （B） （C） （D）
2．数列的一个通项公式是
（A） （B） （C） （D）
3．已知锐角的面积为，，，则角的大小为
（A） 75° （B）60° （C） 45° （D） 30°
4．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差＝
（A）－2 （B）－ （C） （D）2
5．在中, ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c.若,则∠B的 解的个数是
（A）0个 （B）1个 （C）.2个 （D）不确定的
6．公比为2的等比数列{} 的各项都是正数,且 =16,则
（A） （B） （C） （D）
7．在中，若，则为
（A）直角三角形 （B）等腰三角形
（C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形
8．若，，且，，则的值是
（A） （B） （C）或 （D）或
9. 等差数列，的前项和分别为，，若=，则=时
（A）2 （B）6 （C）无解 （D）无数多个
10．已知等比数列的首项，公比，等差数列的首项，公差，在中插入中的项后从小到大构成新数列，则的第100项为
（A）270 （B）273 （C）276 （D）279
11．函数的最大值是
（A） （B） （C）4 （D）
12．对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中．若一个99项的数列（的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为
（A）991 （B）992 （C）993 （D）999
第II卷（非选择题 共90分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。）
13. 在等比数列中，，则公比 ．
14．已知的三边分别为且＝，那么角＝ .
15．数列的通项公式,前项和为,则___________.
16．给出以下四个命题：
① 若，则；
② 已知直线与函数的图像分别交于点，则的最大值为；
③ 若数列为单调递增数列，则取值范围是；
④已知数列的通项，其前项和为，则使的的最小值为．
其中正确命题的序号为_____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）
17．(本题满分12分)在中，角所对的边分别为，
且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
18. (本题满分12分)已知，且，
（Ⅰ）求的值。
（Ⅱ）求。
19．(本题满分12分) 某人沿一条折线段组成的小路前进，从到，方位角（从正北方向顺时针转到方向所成的角）是，距离是；从到，方位角是，距离是；从到，方位角是，距离是（）.
（Ⅰ）试在图中画全大致示意图，并求到的距离；
（Ⅱ）计算出从到的距离和方位角.
（结果保留根号）
20．(本题满分12分)已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在处取得最大值，求的值;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的单调递增区间.

21．(本题满分12分)已知数列中，，数列的前n项和为，且满足.
（Ⅰ）判断数列是否等差数列或等比数列？试说明理由；
(Ⅱ)设是数列中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求；
②存在()，当时，使得在中，数列有且只有20项，求的范围．
22．(本题满分10分)已知数列，为数列的前项和.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前项和 成都市“六校联考”高2014级第二学期期中试题
数学参考答案
1．D
【解析】，；
则.
考点：三角恒等变形.
2．C
【解析】试题分析：代入检验.A中错误；
B.错误；C.经检验，符合题意；D.错误.故答案为C.
考点：1.特殊值排除法；2.计算.
3．B
【解析】
考点：解三角形。
4．B
【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2（a3＋d）＝2d＝－1 ? d＝－
考点：等差数列.
5．C
【解析】,又有两个值，
三角形有两解。
考点：解三角形。
6．A
【解析】∵公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，
且 a3a11=16，∴a72＝16．∴a7=4=a522，解得a5=1．故选A．
考点：等比数列的通项公式的应用.
7．D
【解析】试题分析：因为，由正弦定理得，即，所以，所以，
又因为为三角形内角，所以或即或，所以是等腰三角形或直角三角形，选D.
考点：正弦定理，三角形内角和定理、诱导公式.
8．A
【解析】因为α∈[，]，故2α∈[，π]，sin2α＝，∴cos2α＝－
β∈[π，]，故β－α∈[，]，于是cos（β－α）＝－
∴cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]
＝cos2αcos（β－α）－sin2αsin（β－α）
＝－（－）－
＝
且α＋β∈[，2π] 故α＋β＝
考点：三角恒等变换、三角函数求值
9．A
【解析】因为
，
所以当时，，解得。故A正确。
考点：1等差中项；2等差数列的前项和。
10．B.
【解析】由已知，等比数列的通项公式为，等差数列的通项公式为，当n<5时，，当时，，所以，在中插入中的项后从小到大构成新数列，由3n<16,3n<32,3n<64,3n<128,3n<256,3n<512,……知，中，中项的数目分别是4，5；1，5；1，11；1，11；1，43；1，85；即的第100项为等差数列中的第91项，所以，的第100项为273，选B。
考点：等比数列、等差数列的通项公式
11．A．
【解析】
其中，故选A．
考点：1．三角函数的最值问题；2．辅助角公式．
12.D
【解析】由“蔡查罗和”定义可知，的“蔡查罗和”为
，所以，
则100项的数列的“蔡查罗和”为
，故选D.
考点：新定义问题，数列求和.
13．-2
【解析】由，可得，.
考点：等比数列.
14.
【解析】在中，，
化简整理得:根据余弦定理化简为：。
考点：1.三角形的面积公式；2.余弦定理.
15．19
【解析】∵

考点：利用数列的周期性求数列的和
16．①②
【解析】① 或
，故①正确；
②
故②正确；
③ 恒成立，故③不正确；
④ 当时，，当时，，由对称性知：
故不正确.
17．解：（1）因为
所以 2分
由已知得．
所以
6分
（2）由（1）知 所以且．
由正弦定理得． 8分
又因为，所以． 10分
所以 12分
考点：1．正弦定理；2．同角三角函数基本关系的运用．
18. 解：（Ⅰ）由，
得 2分
， 4分
于是 6分
（Ⅱ）由，得
又，
8分
由得：
12分
19．解：（1）示意图，如图所示， 4分
连接AC，在△ABC中，∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,
又AB=BC=3，∴∠BAC=∠BCA=30°
由余弦定理可得
6分
（2）在△ACD中，
∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=3+9.
由余弦定理得AD= 8分
==(km). 9分
由正弦定理得sin∠CAD= 10分
∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°, 11分
所以，从A到D的距离为km，方位角是125°. 12分
考点：1.解三角形的知识.2.方位角的概念.3.余弦定理的应用.
20． 解：(Ⅰ)
2分
所以. 4分
(Ⅱ) 5分
当时取得最大值，将代入上式，
解得， 6分
∴. 8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，， 9分
又， 10分
解得，
∴函数的单调递增区间为：. 12分
考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数的单调性；3.三角函数的最值；4.和角公式；5.二倍角公式
21．解：(1) {(Sn－1)2}是等差数列，证明如下：
an＋1＝Sn＋1－Sn，∴(Sn＋1－Sn)(Sn＋1＋Sn－2)＝2； 2分
即(Sn＋1)2－(Sn)2－2(Sn＋1－Sn)＝2，
∴(Sn＋1－1)2－(Sn－1)2＝2，且(S1－1)2＝1， 4分
∴{(Sn－1)2}是首项为1，公差为2的等差数列， 5分
(2)由（1）知：，，
∴. 7分
①n＝1时，S1＝1＋1＝2＝b1，
n＝5时，S5＝1＋3＝4＝b2，
n＝13时，S13＝1＋5＝6＝b3. 9分
②∵2n－1是奇数，Sn＝1＋为有理数，则＝2k－1，k ∈Z
∴n＝2k2－2k＋1， 10分
当时，n递增，又当k＝20时，n＝761；当k＝21时，n＝841；
∴存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{Sn}中，数列{bk}有且只有20项．12分
22．解：（1）当时，,, ，1分
当时，则,，
3分是首项、公比等比数列，； 5分
（2）由（1）得，， 6分
，①
，② 8分
①-②得 ,
. 10分
考点：（1）由递推公式求通项公式；（2）数列求和.