苏科版九年级数学下册 5.2二次函数的图像和性质同步卷（含答案）

5.2二次函数的图像和性质
一．选择题
1．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
2．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
3．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
4．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（　　）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：其中正确的个数是（　　）
①a＜0；
②b＜0；
③c＜0；
④0；
⑤a+b+c＜0．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．已知二次函数y（x）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知二次函数y=ax2-bx-2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a-b为整数时，ab的值是（　　）
A．或1 B．或1 C．或 D．或
10．已知二次函数y＝﹣2x2﹣12x﹣17，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜﹣3时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y（x﹣3）2与y轴交于点A，顶点为B，直线l：yx+b经过点A，与抛物线的对称轴交于点C，点P是对称轴上的一个动点，若APPC的值最小，则点P的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，）
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．ac＞o B．ac＝0
C．ac＜0 D．ac的符号不能确定
13．在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1
14．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5，当x≤2时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+1和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤4，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a≤3 B．﹣1≤a≤2 C．2≤a≤3 D．2≤a≤4
15．A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
二．填空题
16．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是　 　．
17．当﹣3≤x≤2时，函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的最大值是8，则a＝　 　．
18．点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是　 　．
19．已知二次函数y＝2x2﹣8x+11，当自变量1≤x≤4时，则y的取值范围为　 　．
20．与抛物线y（x﹣1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为　 　．
21．在直角坐标平面中，将抛物线y＝2（x+1）2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是　 　．
22．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+5有最大值m，则m＝　 　．
23．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为　 　．
24．已知非负实数x，y，z满足x+y+z＝1，则t＝2xy+yz+2zx的最大值为　 　．
25．将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为　 　．
26．已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．
（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点　 　；
（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为　 　．
27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，1），（6，﹣5），若当3＜x＜6时，y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　．
三．解答题
28．已知二次函数y（x﹣1）2﹣3．
（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．
29．已知函数y＝（k+2）是关于x的二次函数．
（1）求k的值．
（2）x为何值时，抛物线有最低点，x为何值时，y随x增大而增大．
30．已知二次函数C2：y＝ax2+2x+c图象经过点A（2，3）和点C（0，3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）填空：抛物线C1：y＝ax2的顶点坐标为（　 　，　 　），而抛物线C2：y＝ax2+2x+c的顶点坐标为（　 　，　 　）．将抛物线C1经过适当平移，得到抛物线C2：应该先向　 　（填：左或右）平移　 　个单位长度，再向　 　（填：上或下）平移　 　个单位长度．
31．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4交y轴于点B，顶点为M，BA⊥y轴，交抛物线于点A．已知该抛物线的对称轴为直线x．
（1）求b的值和点M的坐标．
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），则m的取值范围为　 　．
32．对于函数f（x）＝ax2+（b+1）x+b﹣2，（a≠0），若存在实数x0，使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的不动点．
（1）当a＝2，b＝﹣2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不相同的不动点，求a的取值范围．
33．已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；
（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好有，求m，n的值．
34．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为D，且经过A（1，0）；B（0，2）两点，
将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将该抛物线沿着对称轴上下平移，使之经过点C，此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1．
（1）求新抛物线的解析式；
（2）若点N在新抛物线上，满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍，求点N坐标．
答案
一．选择题
D．D．A．D．C．D．B．B．A．B．B．A．B．C．B．
二．填空题
16．（，）．
17．或．
18．y1＝y2＞y3．
19．3≤y≤11．
20．y（x+1）2﹣3．
21．y＝2x2+1．
22．10．
23．5．
24．．
25．0＜b．
26．（0，1）；0．
27．a且a≠0．
三．解答题
28．解：（1）在y（x﹣1）2﹣3中，
∵a0，
∴二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝1；
（2）∵二次函数开口向上，
∴函数y有最小值，
∵其顶点坐标为（1，﹣3），
∴y的最小值为﹣3．
29．解：（1）∵函数y＝（k+2）是关于x的二次函数，
∴，
解得，k＝3，
即k的值是3；
（2）由（1）知，k＝3，
∴函数y＝5x2，
∴当x＝0时，抛物线取得最小值，此时y＝0，当x＞0时，y随x增大而增大，
即当x＝0时，抛物线有最低点，x＞0时，y随x增大而增大．
30．解：（1）将点A和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得，
二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线C2：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线C1：y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），而抛物线C2：y＝ax2+2x+c的顶点坐标为（1，4）．将抛物线C1经过适当平移，得到抛物线C2：应该先向右（填：左或右）平移1个单位长度，再向上（填：上或下）平移4个单位长度．
故答案为：0、0，1、4，右，1，上，4．
31．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+4交y轴于点B，
∴B（0，4），
∵BA⊥y轴，交抛物线于点A，抛物线的对称轴为直线x．
∴A（3，4），
把A（3，4）代入y＝﹣x2+bx+4得，4＝﹣9+3b+4，
解得b＝3，
∴y＝﹣x2+3x+4，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2，
∴M（，）；
（2）∵B（0，4），M（，），对称轴为直线x，
A的坐标（3，4），
∴AB的中点的坐标是（，4），
∵OA的中点的坐标是（，2），
∴m的取值范围是：4＜m2，即m，
故答案为m．
32．解：（1）当a＝2，b＝﹣2时，f（x）＝2x2﹣x﹣4，
f（x0）＝x0，即x＝2x2﹣x﹣4，解得：x＝﹣1或2，
故﹣1和2是f（x）的不动点；
（2）由题意，得对于任意实数b，方程ax2+bx+b﹣2＝0总有两个不相等的实数解，
∴a≠0，△＝b2﹣4a（b﹣2）＞0，
∴b2﹣4ab+8a＞0 对b为任意实数恒成立，
则△′＝（﹣4a）2﹣4×8a＜0，
∴16a2﹣32a＜0，
∴0＜a＜2．
33．解：（1）由题意可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，
∴，
∴b＝6，c＝2019；
（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：，
∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0，
化简得：c＝2x02+2020，
又∵x0≠0，
∴c＞2020；
（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．
∴y≤1，
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好有，
化简得：，
∵反比例函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴m+2≤y+2≤n+2，
∴m≤y≤n，
又∵y≤1，
∴m≤y≤n≤1或m≤y≤1≤n，
当m≤y≤n≤1时，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向下，
∴当m≤x≤n时，y随x的增大而增大．
∴当x＝m时，y最小值＝﹣2m2+4m﹣1．
当x＝n时，y最大值＝﹣2n2+4n﹣1，
又∵m≤y≤n，
∴有，
解得：m＝1或，n＝1或，
∵m＜n≤1，
∴．
当m≤y≤1≤n时，∵y的最大值为1，
∴n＝1，
x＝m时，最小值为m，即m＝﹣2m2+4m﹣1，
解得m＝1或，
∵m＜1，
∴m，
综上所述，满足条件的m的值为，n的值为1．
34．解：（1）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴，
解得，
抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；
∵A（1，0），B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），
当x＝3时，由y＝x2﹣3x+2得y＝2，
可知抛物线y＝x2﹣3x+2过点（3，2），
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y2＝x2﹣3x+1；
（2）∵点N在y＝x2﹣3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02﹣3x0+1），
将y＝x2﹣3x+1配方得y＝（x）2，
∴其对称轴为直线x．
①0≤x0时，如图①，
∵S△NBB1＝2S△NDD1，
∴1×x0＝21×（x0），
∵x0＝1，
此时x02﹣3x0+1＝﹣1，
∴N点的坐标为（1，﹣1）．
②当x0时，如图②，
同理可得1×x0＝2（x0），
∴x0＝3，
此时x02﹣3x0+1＝1，
∴点N的坐标为（3，1）．
③当x＜0时，由图可知，N点不存在，
综上，点N的坐标为（1，﹣1）或（3，1）．