九年级数学下册试题 6.7 用相似三角形解决问题 苏科版（含答案）

6.7用相似三角形解决问题
一．选择题
1．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m
2．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（　　）
A．32米 B．28米 C．24米 D．16米
3．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是（　　）
A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
4．如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（　　）
A．2 B．2 C． D．2
5．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（　　）
A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2
6．小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（　　）
A．4 m B．m C．5m D．m
8．如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，则这座大楼的地基面积最大值是（　　）
A．1000米2 B．2000米2 C．3000米2 D．4000米2
9．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（　　）
A．60mm B．mm C．20mm D．mm
10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》章，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里＝300步）
你的计算结果是：出南门几何步而见木（　　）
A．300步 B．315 步 C．400 步 D．415步
11．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（　　）
A．2.4米 B．8米
C．3米 D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面距离
12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的是（　　）
①△CMP∽△BPA； ②四边形AMCB的面积最大值为10；
③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝44．
A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤
二．填空题
13．如图，身高1.5m的小波站在操场上，测得其影长B′C′＝1.8m；同时测得旗杆AB的影长BC＝18m，则旗杆AB的高度为　 　m．
14．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝30cm，高AD＝20cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，要使矩形EGHF的面积最大，EF的长应为　 　cm．
15．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为　 　．
16．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　 　cm．
17．如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是　 　．
18．我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门二十步有木，出西门四十五步见木，问：邑方几何？”其大意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道门，从北门往正北方向走20步后刚好有一树木，若从西门往正西方向走45步后正好看到树木，则正方形城池的边长为　 　步．
19．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为　 　米．
20．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为　 　m．
21．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD＝2，则AB的长是　 　．
22．如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM长为　 　m．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点A为原点建立平面直角坐标系，使AB在x轴正半轴上，点D是AC边上的一个动点，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下结论：
①△AFD∽△DCE∽△EGB；
②当D为AC的中点时，△AFD≌△DCE；
③点C的坐标为（3.2，2.4）；
④将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面，点B的对应点B1的坐标为（1.6，4.8）；
⑤矩形DEGF的最大面积为3．在这些结论中正确的有　 　（只填序号）
24．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM PH； ④EF的最小值是．其中正确的是　 　．（把你认为正确结论的序号都填上）
三．解答题
25．某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32m的点C处（即AC＝32m），然后沿直线AC后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5m，CD＝3m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）
26．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长．
27．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．
28．AD是△ABC的中线，G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于E，交射线AC于点F，设AE＝xAB，AF＝yAC（x、y≠0）．
（1）如图1，若点G与D重合，△ABC为等边三角形，且∠BDE＝30°，证明：△AEF∽△DEA；
（2）如图2，若点G与D重合，证明：2；
（3）如图3，若AG＝nAD，x，y，直接写出n的值．
29．已知不等臂跷跷板AB长为3米．跷跷板AB的支撑点O到地面的点H的距离OH＝0.6米．当跷跷板AB的一个端点A碰到地面时（如图1），AB与直线AH的夹角∠OAH的度数为30°．
（1）当AB的另一个端点B碰到地面时（如图2），跷跷板AB与直线BH的夹角∠ABH的正弦值是多少？
（2）当AB的另一个端点B碰到地面时（如图2），点A到直线BH的距离是多少米？
30．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．
（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；
（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．
答案
一．选择题
A．A．D．C．A．C．B．B．A．B．A．B．
二．填空题
13．15．
14．15．
15．100cm2．
16．32．
17．3．
18．60．
19．13.5
20．5.5．
21．6．
22．5．
23．①③⑤．
24．②③④．
三．解答题
25．解：∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，
∴∠ECD＝∠BCA，
又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，
∴△ECD∽△BCA，
∴，
∵DE＝1.5m，CD＝3m，AC＝32m，
∴，
解得：AB＝16，
答：旗杆AB的高度为16m．
26．解：（1）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
（2）设EG＝EF＝x
∵△AEF∽△ABC
∴，
∴，
∴x，
∴正方形零件的边长为cm．
27．解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，
即：402+EF2＝502，
∴EF＝30，
由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，
∴△DCB∽△DEF，
∴，
∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，
∴，
解得：BC＝9米，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5m．
28．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠BAD∠BAC＝30°，
∵∠BDE＝30°，
∴∠EF⊥AB，
∴∠F＝30°＝∠BAD，
∵∠AED＝∠FEA＝90°，
∴△AEF∽△DEA；
（2）如图2，过C作CH∥AB交EF于H，
∴∠B＝∠DCH，∠BED＝∠CHD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△DEB≌△DHC（AAS），
∴CH＝BE，
∵CH∥AB，
∴△FCH∽△FAE，
∴，
∴，
∵，，
∴11，11
∴11，
∴2；
（3）如图3，∵y，
∴AFAC，
∴ACAF，
∵x，
∴AEAB，
∴点E是AB的中点，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴DEAC AFAF，DE∥AC，
∴△DGE∽△AGF，
∴，
∴DGAG，
∴AD＝AG+DG＝AGAGAG，
∴AGAD＝nAD，
∴n．
29．（1）证明：在Rt△AOH中，
∵∠AHO＝90°，∠AOH＝30°，OH＝0.6，
∴AO＝2OH＝2×0.6＝1.2（m），
∴OB＝AB﹣OA＝3﹣1.2＝1.8（m），
在Rt△BOH中，
∵∠BHO＝90°，OH＝0.6，OB＝1.8，
∴；
（2）解：过点A向直线BH作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
∵∠AMB＝90°，，AB＝3，
∴，
答：∠ABH的正弦值为，点A到直线BH的距离是1米．
30．解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠PBH＝60°，
∵PB＝3，∠PHB＝90°，
∴BH＝PB cos60°，PH＝PB sin60°，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴PC．
（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠PCQ＝30°，
∴∠PBO＝∠QCO，
∵∠POB＝∠QOC，
∴△POB∽△QOC，
∴，
∴，
∵∠POQ＝∠BOC，
∴△POQ∽△BOC，
∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，
∴PQ＝CQ＝y，
∴PCy，
在Rt△PHB中，BHx，PHx，
∵PC2＝PH2+CH2，
∴3y2＝（x）2+（4x）2，
∴y（0≤x＜8）．
（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．
此时∠CQE＝120°，
∵∠PBC＝60°，
∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，
此时△QCE与△BCP不可能相似．
②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．
则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，
∵∠PCB＞∠E，
∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，
作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，
∴PF＝CF＝2，
此时PB＝2+2，
③如图4中，当点P在AB的延长线上时，
∵△QCE与△BCP相似，
∴∠CQE＝∠CBP＝120°，
∴∠QCE＝∠PCB＝15°，
作CF⊥AB于F．
∵∠FCB＝30°，
∴∠FCP＝45°，
∴BFBC＝2，CF＝PF＝2，
∴PB＝22．
综上所述，满足条件的PB的值为2+2或22．