九年级数学下册试题 7.5解直角三角形 苏科版（含答案）

7.5解直角三角形
一．选择题
1．如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴的夹角α的余切值是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2），如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（　　）
A． B． C． D．2
3．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）
A． B． C．2 D．2
4．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．在△ABC中，AC≠BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，则下列比值中不等于sinA的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则cos∠AEC的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（　　）
A． B． C． D．
11．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
12．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，
二．填空题
13．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是　 　．
14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝6，则AB的长为　 　．
15．已知等腰三角形中，腰长是10cm，底边长是16cm，则底角的正切值为　 　．
16．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD、AD，若AC＝CD，BD，则AD＝　 　．
17．等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为　 　．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，∠BAC的平分线交BC于D，ADcm，则∠B＝　 　，AB＝　 　，BC＝　 　．
19．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC，那么线段AB的长是　 　．
21．已知⊙O的直径AB＝2，过点A的两条弦AC，AD，则∠CBD＝　 　．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若，则tan∠A＝　 　．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为AC边上一点，∠ABD＝45°，tan∠A，若BC＝21，则DC的长为　 　．
24．如图在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝3，AC＝4，则sinA的值是　 　．
三．解答题
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB至点D，使BD＝AB．
（1）求∠D的度数；
（2）求tan75°的值．（结果可以保留根号）
26．如图，△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，D是BC中点，tanC，求BC的长与tan∠ADB．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB于点E，连接CE．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠ECB的值．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为多少？
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠A＝60°，∠APB的平分线PF分别交BC、AB于点D、E，交⊙O于点F、G，且BD AE＝2．
（1）求证：△BPD∽△APE；
（2）求FE EG的值；
（3）求tan∠BDE的值．
30．求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α＝1．
要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹，不写作法）
②根据①中所画图形证明该命题．
答案
一．选择题
B．A．A．B．B．D．D．B．D．C．B．D．
二．填空题
13．（8，12）．
14．3+3．
15．．
16．2．
17．．
18．30°，10cm，5cm．
19．．
20．2．
21．15°或105°．
22．．
23．3．
24．．
三．解答题
25．解：（1）∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠DAB＝15°，
（2）∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝BD＝2，BC，
∴CD＝2，
∵∠D＝15°，
∴∠DAC＝75°，
∴tan75°＝tan∠CAD2．
26．解：作AE⊥BC于点E，
∵∠B＝45°，AB＝3，∠AEB＝90°，
∴∠B＝∠45°，
∴AE＝BE＝3，
∵tanC，
∴CE＝5AE＝15，
∴BC＝BE+CE＝3+15＝18，
∵BC＝18，点D为BC的中点，
∴BD＝9，
∴DE＝BD﹣BE＝6，
∴tan∠ADB，
即BC＝18，tan∠ADB．
27．解：（1）由勾股定理得，AB3，
由题意得，AD＝2，CD＝1，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，即，
解得，AE，
∴BE＝AB﹣AE＝2；
（2）作EF⊥BC于F，
则EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，
解得，EF＝2，BF＝2，
∴CF＝1，
∴tan∠ECB2．
28．解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G．
设CM＝a，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CM＝2a，
∵tan∠ACB＝2，
∴2，
∴AM＝2a，
由勾股定理得：ACa，
∵S△BDCBC DH＝10，
∴2a×DH＝10，
∴DH
∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，
∴四边形DHMG为矩形，
∴∠HDG＝90°＝∠HDC+∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，
∵∠ADC＝90°＝∠ADG+∠CDG，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△ADG和△CDH中，
∵，
∴△ADG≌△CDH（AAS），
∴DG＝DH＝MG，AG＝CH＝a
∴AM＝AG+MG，
即2a＝a，
a2＝20，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝CD，
∴2AD2＝5a2＝100，
∴AD＝5或﹣5（舍），
故答案为：5．
29．（1）证明：∵BP切⊙O于点B，
∴∠PBC＝∠A．
又∵PF为∠APB的角平分线，
∴∠APE＝∠BPD．
∴△BPD∽△APE．
（2）解：∵△BPD∽△APE，
∴∠BDP＝∠AEP．
∴∠BED＝∠BDE．
∴BE＝BD．
又∵BD AE＝2，
∴BE AE＝2．
∴FE EG＝BE AE＝2．
（3）解：∵△BPD∽△APE，
∴．
又∵AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，
∴∠ABP＝90°．
而∠A＝60°，
∴sin∠A＝sin60°，
∴．
又BD＝BE，
∴．
又∵BE AE＝2，
∴AE＝2，BE．
∴AB＝2，tan60°．
∴PB＝23．
∴tan∠BDE＝tan∠BED．
30．解：①如图，Rt△ABC即为所求．
②∵sinα，cosα，AB2＝BC2+AC2，
∴sin2α+cos2α1．