八年级数学上期末大串讲+练专题二 三角形角中有关的几何模型（一）

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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二 三角形角中有关的几何模型（一）
模型一　角的“8”字模型
如图1-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC.
结论:（1）∠A+∠D=∠B+∠C.
（2）AD+BC BD+AC
图1-1
模型结论的推导:
（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°(　　　　　　　　),
∠B+∠C+∠BOC=180°(　　　　　　　　),
又∠AOD=∠BOC(　　　　　　　　),
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
AD①+②得:AD+BC模型结论的应用：
【例1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【例1-2】我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点O，连接，得到“8”字图形．

(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系；
(3)如图3，点E为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点P，请探索与、的关系．
【例1-3】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【例1-4】如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．
①若，求的度数；
②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．
针对练习1
1 .如图所示，已知∠1＝60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（　　）
A．180° B．360° C．240° D．200°
2 .如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“字形”，试解答下列问题；
(1)在图①中，请直接写出，、，之间的数量关系；
(2)在图②中，若、，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，利用（1）的结论，试求的度数．
3 .图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
4 .阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 　 　；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 　 　；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 　 　．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝　 　（用含有α和β的代数式表示），∠P＝　 　．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝　 　．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 　 　．
5 .已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”．试解答下列问题：
(1)在图1中，，，，之间有何数量关系？直接写出结论．
(2)如图2，在（1）的结论下，与的平分线和相交于点P，并且与，分别相交于点M，N．与，之间有何数量关系？并说明理由．
5. 已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”．试解答下列问题：
(1)在图1中，，，，之间有何数量关系？直接写出结论．
(2)如图2，在（1）的结论下，与的平分线和相交于点P，并且与，分别相交于点M，N．与，之间有何数量关系？并说明理由。
模型二　角的燕尾模型（飞镖型）
如图1-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
图1--6
模型结论的推导:
如图1-6,连接AD并延长到点E.
∵∠BDE=∠B+∠BAD(　　　　　　　　　　),
∠CDE=∠C+∠CAD(　　　　　　　　　),
∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD.
又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
模型结论的应用
【例2-1】如图，已知，，，求和的度数．
【例2-2】如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
【例2-3】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【例2-4】如图1，点P是两外角平分线的交点．

(1)若，则 ；
(2)探究与的数量关系并说明理由；
(3)如图2，点P是四边形相邻两外角平分线的交点，请直接写出与，的数量关系．
针对练习2
1.如图1-9,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
2 .阅读下面的材料，并解决问题．

(1)已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1， ；如图2， ；如图3， ；
如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ．
(2)如图5，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
3.探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　50　°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
模型三　角的“A”字模型
如图所示，BC交AD、AE与B、C，
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
模型结论的应用
【例3-1】按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
【例3-3】如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A． B． C． D．
针对练习3
1 .（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；

（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
2 .如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．160°
3 .如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝　 　．
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　．
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二 三角形角中有关的几何模型（一）（解析版）
模型一　角的“8”字模型
如图1-1所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC.
结论:（1）∠A+∠D=∠B+∠C.
（2）AD+BC BD+AC
图1-1
模型结论的推导:
（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°(　　　　　　　　),
∠B+∠C+∠BOC=180°(　　　　　　　　),
又∠AOD=∠BOC(　　　　　　　　),
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
AD①+②得:AD+BC模型结论的应用：
【例1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
【例1-2】我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点O，连接，得到“8”字图形．

(1)如图1，试说明的理由；
(2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系；
(3)如图3，点E为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点P，请探索与、的关系．
【答案】．(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义：
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得；
（3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案；
熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
【详解】（1）解：如图1，
，，
．
（2）解：如图2，
和的平分线相交于点E，
∴，，
由（1）可得：，，
∴，
．
（3）由（1）得：，
，
又，，，
，
设与的交点为点O，

则，
两式相减可得：，
，
，
，
，
即．
【例1-3】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【答案】1080°
【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）
【例1-4】如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．
①若，求的度数；
②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解．②根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，∴；
（2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴，
∵①，②，
由，得：，即，
∵，∴；
②∵，∴，，
∵，，
∴，，
∴，∴），故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．
针对练习1
1 .如图所示，已知∠1＝60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（　　）
A．180° B．360° C．240° D．200°
【答案】C
【分析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知∠B+∠D+∠C+∠E＝180°﹣60°＝120°，根据三角形内角和可知∠A+∠F＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°．
【解析】解：∵∠3＝∠B+∠D，∠2＝∠C+∠E，∠2+∠3＝180°﹣60°＝120°，
∴∠B+∠D+∠C+∠E＝180°﹣60°＝120°，
∵∠A+∠F＝120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°．
故选：C．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
2 .如图①，线段，相交于点，连接，，我们把形如图①的图形称为“字形”，试解答下列问题；
(1)在图①中，请直接写出，、，之间的数量关系；
(2)在图②中，若、，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，利用（1）的结论，试求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，
（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）根据（1）的结论列出算式，把、代入计算即可；
掌握三角形内角和等于是解题的关键．
【详解】（1）解：．
理由：∵，，，
∴；
（2）由（1）可知，，，
∴，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
3 .图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．
4 .阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 　 　；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 　 　；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 　 　．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝　 　（用含有α和β的代数式表示），∠P＝　 　．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝　 　．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　 　．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 　 　．
【答案】探索一：∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：25°；
探索三：∠P．
应用一：α+β﹣180°，；
应用二：；
拓展一：∠P；
拓展二：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【解析】解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，
由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P．
故答案为：∠P．
应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC（∠ACD﹣∠ABC）∠A，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P∠A，
故答案为：；
拓展一：如图6，由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB∠CAB，∠PDB∠CDB，
∴∠P∠CAB＝∠B∠CDB，∠P∠CDB＝∠C∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y（x﹣y），
∴∠P，
故答案为：∠P；
拓展二：如图7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD∠BAD，∠PCD＝90°∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、对顶角相等、角平分线，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
（1）根据三角形的内角和定理、对顶角相等即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得，，再根据（1）的方法可得，，两个式子相减即可得．
【详解】（1）解：，求解过程如下：
由对顶角相等得：，
，，
．
（2）解：，理由如下：
与的平分线和相交于点，
，，
由“8字形”可知，，
由①②得：，
．
模型二　角的燕尾模型（飞镖型）
如图1-6所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
图1--6
模型结论的推导:
如图1-6,连接AD并延长到点E.
∵∠BDE=∠B+∠BAD(　　　　　　　　　　),
∠CDE=∠C+∠CAD(　　　　　　　　　),
∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD.
又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
模型结论的应用
【例2-1】如图，已知，，，求和的度数．

，
【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可直接得出答案．
【详解】解：，，
，
，
．
【例2-2】如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
【答案】C
【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小.
【详解】解：连接
平分，平分，
故选：
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.
【例2-3】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵ ∴
同理得∵
∴
∵ ∴
∴
∴,故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
【例2-4】如图1，点P是两外角平分线的交点．

(1)若，则 ；
(2)探究与的数量关系并说明理由；
(3)如图2，点P是四边形相邻两外角平分线的交点，请直接写出与，的数量关系．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点P是两外角平分线的交点，
∴
，
在中，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：由（1）知；
（3）解：如图，

延长交于Q，
则，
∴．
∴
．
针对练习2
1.如图1-9,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
【答案】270°
【解析】解:由模型可知∠BOF=∠A+∠B+∠F,①
∠EOC=∠D+∠E+∠C,②
①+②,得∠BOF+∠EOC=∠A+∠B+∠F+∠D+∠E+∠C.
又∵∠EOC=∠BOF=135°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=270°.
2 .阅读下面的材料，并解决问题．

(1)已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1， ；如图2， ；如图3， ；
如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ．
如图5，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
【答案】(1)，，，；
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识：
（1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；
（3）先分别求出与的度数，即可求得的度数．
熟练掌握三角形内角和定理，以及熟悉常考的基本图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图1，

∵平分，平分
∴，
∴
∴；
如图2，

∵平分，平分
∴，
∵
∴
∵
∴；
如图3，

∵平分，平分
∴，
∴
∴；
如图4，

∵，的三等分线交于点，
∴，
∵平分，平分，平分
∴
∴
∴；
（2）证明：如图5

∵，，
∴
∵的三等分线分别与的平分线交于点，，
∴，，
∴
∴
∴．
3.探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　50　°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．
【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根据∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根据∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度数是多少即可．
③根据∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，设∠A为x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判断出∠A的度数是多少．
【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．
模型三　角的“A”字模型
如图所示，BC交AD、AE与B、C，
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
模型结论的应用
【例3-1】按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据邻补角求得，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
【例3-2】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：，，
，故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
【例3-3】如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50° 故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
针对练习3
1 .（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；

（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可；（2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可；
（3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可；
（4）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换，即可．
【详解】（1）为直角三角形，，∴，
∵，，∴，
∴，故答案为：．

（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，故答案为：．
（3）由（1）和（2）得，，
∵，∴，∴．
（4），理由见下：由题意得，，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角和定理．
2 .如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．160°
【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠ABE的度数，再根据三角形的内角和定理的推论进行求解．
【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．
3 .如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝　 　．
（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　 　．
（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
（2）利用（1）的结论：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；
（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；
（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分线得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．
故答案为：＝．
（2）∠2﹣∠C＝45°．
理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2﹣∠C+135°＝180°，
∴∠2﹣∠C＝45°．
故答案为：45°；
（3）∠P＝90°﹣∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．
故答案为：∠P＝90°﹣∠A，
（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．
理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，
∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），
∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．
【点评】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
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