（10）解直角三角形—2023年初中数学挑战满分全优卷（含解析）

（10）解直角三角形—2023年初中数学挑战满分全优卷
1.小明喜欢构建几何图形,利用数形结合的思想解决代数问题在计算时,如图,在中,,,延长CB使,连接AD,得,所以,类比小明的方法,计算的值为( )
A. B. C. D.
2.如图,AB是圆的直径,CD是的平分线交圆O于点D,过D作圆O的切线交CB的延长线于点E.若,,则CD的长为( )
A. B.2 C. D.
3.如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点(不与A，B重合)，，垂足为M，，垂足为N，连接MN，若，则MN可用表示为( )
A. B. C. D.
4.如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，，，，.若，.则四边形EFGH的周长为( )
A. B. C. D.
5.如图,在四边形中,,与交于点,则的值是( )
A. B. C. D.
6.如图,在四边形中(),,把沿着翻折得到.若,则线段的长度为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，和关于直线BC对称，连接AD，与BC相交于点O，过点C作，垂足为C，与AD相交于点E.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的一个动点，连接BP，CP，过点B作射线，交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得，如果，，，，其中.则下列结论中，正确的个数为( )
（1）y与x的关系式为
（2）当时，
（3）当时，
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9.如图，已知矩形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分交CD于点F，交AE于点G，若，则FG的长是( )
A.3 B. C. D.
10.如图，中，，，，点P是边BC上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转，当点A的对应点E恰好落在的边所在的直线上时，线段AP的长为___________.
11.如图,在锐角三角形ABC中,,,于点N,于点M,连接MN,则面积的最大值是______.
12.如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转.压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，，厘米，不使用时，，G是PF中点，，且点D在NM的延长线上，则GF的长为______厘米；使用时如图3，按压MN使得，此时点F落在AB上，若厘米，则压杆MN到底座AB的距离为______厘米.
13.如图是某大型商场一层到二层的自动扶梯侧面示意图, 小明在一层的A 处用测角仪 (测角仪高度忽 略不计) 测得天花板上的日光灯P 的仰角为, 他向正前方走了 5 米来到扶梯起点 B处,乘坐扶梯BD 行进 13 米到达二层的D 处, 此时用测角仪测得日光灯P 的仰角为, 已知自动扶梯BD 的坡度 为.
(1) 求二层的D 处到一层地面的高度;
(2) 根据规定, 商场两层楼的总高度要大于 10 米, 判断该商场的楼高是否符合规定, 并说明理由.
(参考数据: ，，，，，)
答案以及解析
1.答案：C
解析:如图:在中,,,延长CB到点D,使,连接AD,
设,
,
是的一个外角,
,
,
,
在中,,
,
故选:C.
2.答案：D
解析:如图,连接OC,OD,CD与AB交于点F.
AB是直径,
,
CD平分,
,
,
DE是切圆O切线,
,
,
,
,,
,
,
在中,
,,
,
,,
,,
,
,
,
故选:D.
3.答案：A
解析：连接OC，延长OA、NC交于D，则
，
，
即
，
，
，
的半径为r
，
故选：A.
4.答案：A
解析：如图1，
中，，，，
设，则，，，
，，
如图2，
作于K，作，分别交直线AB于R和T，
四边形ABCD是矩形，
，
在与中，
，
，
，
同理证得，则，
四边形EFGH是平行四边形，
设，则，，，
，
，
，
可得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形EFGH的周长为：，
故答案为：A.
5.答案：C
解析：.
,
,.在中,.
6.答案：B
解析：如图,延长交于点F,过点D作于点,,,.设,则.
∵在中,,解得,.
7.答案：D
解析：和关于直线BC对称，
，，
，
，
四边形ABDC是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选D.
8.答案：C
解析：（1）过点P作于点F，如图，
四边形ABCD是矩形，，
四边形ABFP是矩形，
，，
.
，
，
，
，
.
.
.
（1）的结论正确；
（2）当时，
，
，，
.
，
.
（2）的结论正确；
（3）由（2）知：当时，，
.
，
.
.
.
.
由（1）知：，
，
.
，
.
，
解得：，
，
（3）的结论错误，
综上，正确的结论为：（1）（2），
故选：C.
9.答案：B
解析：如图，过点A作于点H，过点F作于点Q，
菱形ABCD的边长为4，，，，，E是BC的中点，，，AH是BE的垂直平分线，，AF平分，，，，，，设，，，，，，，，，解得，则FG的长是.故选：B.
10.答案：2，4或
解析：分四种情况讨论.①当点E落在BC上时，如图(1)，由旋转知，.在中，，，.
②当点E落在CD上时，如图(2)，过点A作于点M，过点E作于点N，由旋转知，，易证.易知，，.设，则，.易知，，即，解得，点P与点B重合，.
③当点E落在AD上时，如图(3)，过点P作于点F，易知，，，，.
④当点E落在AB上时，过点P作，垂足为G，，，，，，.，点P在线段BC的延长线上，不符合题意.综上，AP的长为2，4或.
11.答案：
解析:,,
,
,,
点M,N在以BC为直径的圆上,
,
和中,,
,
,即,
设,,则,,
,
,
,即,
,即,
,
解得,
,
则面积的最大值是,
故答案为:.
12.答案：3；
解析：如图2，延长NM，则NM过点D，
四边形EFGH是矩形，，
，
，
即，
，
G是PF中点，
厘米，
如图3，过点P作于K，
，
，
，
在中，厘米，
，
，
即，
厘米.
故答案为：3；.
13.答案：(1) 5 米
(2) 该商场的楼高符合规定,理由见解析
解析： (1) 如图, 过点D 作 于点F,
自动扶梯 BD的坡度为,
在中, ，,
，
解得 (负值已舍去).
二层的D 处到一层地面的高度为 5 米.
(2) 该商场的楼高符合规定.
理由: 如图, 过点P 作 于Q点, 交DE 于点M, 则, 且.
易知,
四边形DMQF 是矩形 (依据: 有一个角是直角的平行 四边形是矩形),
,
由题意可知,
设, 则,
,
,
,
由题意可知,
在中, ,
解得,
该商场的楼高符合规定.