2.2 二次函数的图象与性质第3课时 同步课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
北师大版 数学 九年级下册
第3课时
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解抛物线的平移规律．（难点）
复习回顾
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题：说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
一、创设情境，引入新知
我们已经学习过二次函数y＝ax2＋c的图象可以由函数y＝ax2的图象经过上下平移得到.那么如果将函数y＝ax2的图象左右平移呢？它左右平移后又会得到怎样的函数形式，它又有哪些性质呢？
我们已经认识了二次函数y＝2x2的图象，那么二次函数y＝2（x-1）2的图象与y＝2x2的图象有什么关系呢？本节课我们将继续研究有关问题．
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
y＝2x2
二、自主合作，探究新知
探究一：二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
做一做：画二次函数y＝2(x－1)2的图象．
（1）完成下表：
x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y＝2x2
y＝2(x－1)2
观察上表，你能发现2(x－1)2与2x2的值有什么关系？
32 18 8 2 0 2 8 18 32
50 32 18 8 2 0 2 8 18
二、自主合作，探究新知
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–3
–2
–1
y=2x2
y=2(x–1)2
你是怎么画的，与同伴进行交流.
（2）在图中画出y=2(x－1)2的图象.
可以用描点法画图.
x=1
二、自主合作，探究新知
议一议：（1）二次函数y=2(x-1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–3
–2
–1
y=2x2
y=2(x–1)2
x=1
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x
y=2(x-1)
向上
向上
y轴
（直线x=0）
直线x=1
( 0, 0)
( 1, 0)
二、自主合作，探究新知
（2）二次函数y=2(x-1)2中，x取哪些值时，y值随x的值增大而增大？当x取哪些值时，y值随x的值增大而减小？
抛物线 增减性
y=2x
y=2(x-1)
当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜1时，y随x的增大而减小；
当x＞1时，y随x的增大而增大.
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–3
–2
–1
y=2x2
y=2(x–1)2
x=1
二、自主合作，探究新知
结论：
将函数y=2x2的图象向 平移 _个单位就得到y=2(x-1) 的图象.
右
1
（3）二次函数y=2(x-1)2 的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？
二次函数y=2(x-1) 的图象与y=2x2 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–3
–2
–1
y=2x2
y=2(x–1)2
x=1
二、自主合作，探究新知
议一议：类似地，你能发现二次函数y=2(x+1) 的图象与y=2x2 的图象有什么关系吗？
结论：
将y=2x2 的图象向 平移 个单位就得到y=2(x+1) 的图象.
左
1
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–3
–2
–1
y=2x2
y=2(x–1)2
y=2(x+1)2
二次函数y=2(x+1) 的图象与y=2x2 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．
x=1
x=-1
二次函数y=2x ,y=2(x-1) ,y=2(x+1) 的图象的关系
二、自主合作，探究新知
向左平移
1个单位
向右平移
1个单位
y=2x
y=2(x-1)
y=2(x+1)
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为(h，0）.
它们的图象都是 ，并且形状 ，开口方向 ，只是位置不同.
抛物线
相同
相同
顶点(0，0）
顶点(1，0）
顶点(-1，0）
知识要点
二、自主合作，探究新知
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0).
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
当向左平移 ︱h︱ 时
当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x+h)2
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：抛物线y=-3(x+2)2可以由抛物线y=-3x2向 平移 个单位得到。
它的图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标 .
当x 时，y随x的增大而增大；
当x 时，y随x的增大而减小.
左
2
下
直线x=-2
（-2，0）
＜-2
＞-2
二、自主合作，探究新知
开口 对称轴 顶点 最值 增减性
x>h xa>0
a<0
向上
x=h
(h,0)
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
当x=h时，
向下
x=h
(h,0)
当x=h时，
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
二次函数 y=a(x-h)2的性质
知识要点
顶点(-3,0）
顶点(-3，）
顶点(0,0）
二、自主合作，探究新知
探究二：二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
向左平移3个单位
y=2x2
y=2(x+3)2
向下平移个单位
想一想：由二次函数y=2x 的图象，你能得到二次函数的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.
平移方法1
向左平移3个单位
向下平移个单位
顶点(0,）
顶点(-3，）
顶点(0,0）
二、自主合作，探究新知
y=2x2
向下平移个单位
向左平移3个单位
平移方法2
向下平移个单位
向左平移3个单位
y=2x2
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
y=a (x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a>0
a<0
向上
直线x=h
（h，k）
向下
直线x=h
（h，k）
二、自主合作，探究新知
二次函数y=ax2 （a≠0）与y=a（x-h)2+k（a≠0）的关系
y = ax2（a≠0）
y = a( x - h )2 + k（a≠0）
平移规律简记为：
上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.
二次项系数a不变.
顶点(0，0)
顶点(h，k)
顶点式
知识要点
例2:若将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）．
A．y=(x+2)2+2　　　　　B．y=(x+2)2-2
C．y=(x-2)2+2　　　　　 D．y=(x-2)2-2
二、自主合作，探究新知
B
典型例题
二、自主合作，探究新知
二次函数 y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线x=h
（h,k）
当x=h时，ymin=k
当x=h时，ymax=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；
当x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＜h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；
知识要点
二、自主合作，探究新知
例3：对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论：
① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1；
③ 顶点坐标为（-1，3）；④ x>1 时，y 随x 的增大而减小.
其中正确结论有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
C
典型例题
分析：①∵ a=-1<0，∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=-1，错误；
③顶点坐标为（-1，3），正确；
④ x>1 时，y 随x 的增大而减小，正确.
综上所述，结论正确的是①③④，共3 个，故选C.
1．对于抛物线 的说法错误的是（ ）．
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，0）
C．抛物线的对称轴是直线x=1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
三、即学即练，应用知识
2. 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
C
D
4.将抛物线 向左平移2个单位后，其顶点坐标为（ ）
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
3.对于抛物线y=- (x 2)2+6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=2；③顶点坐标为（2，6）；④当x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
三、即学即练，应用知识
5.抛物线 的对称轴是________ ，顶点坐标是________；当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；当x=______时，函数有_____值，其值为_______．
三、即学即练，应用知识
直线x=2
（2，7）
减小
增大
2
最大
7
6.抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，其顶点坐标为（-1，3）此抛物线的解析式为__________________．
y=-2(x+1)2+3
8.已知y＝ (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．
三、即学即练，应用知识
(5，0)
7.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y= -（x-1）2+1的图象上，若-1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“=”）．
＞
三、即学即练，应用知识
解：(1)抛物线y＝－(x＋1)2＋3的顶点坐标为(－1，3)，把点(－1，3)先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点(1，－1)，
∴原二次函数的表达式为y＝－(x－1)2－1，
∴a＝－，h＝1，k＝－1.
(2)∵y＝a(x－h)2＋k＝－(x－1)2－1，
∴ 图象的开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．
9.已知将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线y＝－(x＋1)2＋3.(1)试确定a、h、k的值；(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
四、课堂小结
平移规律
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线x=h
（h,k）
当x=h时，ymin=k
当x=h时，ymax=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；
当x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＜h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；
1.将抛物线 沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线（ ）．
A． B．
C． D．
2.由二次函数y=2(x-3)2+1，可知（ ）．
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
五、当堂达标检测
B
C
3.对于抛物线y=(x 2）2+6，下列结论：
①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x=2；
③顶点坐标为（2，6）； ④当x＞2时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
五、当堂达标检测
D
4.抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为　 　；
五、当堂达标检测
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1, －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
5.完成下列表格:
6.函数y＝5(x－3)2－2的图象可由函数y＝5x2的图象先向 平移　 个单位，再向　 平移　 个单位得到；
右
下
2
3
因此抛物线的解析式为:
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
3
4
－
五、当堂达标检测
7.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
解得：a=
教材习题2.4；　　　　
六、布置作业