27.2.3 相似三角形应用举例（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）
文档属性
| 名称 | 27.2.3 相似三角形应用举例（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-21 18:13:01 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
人教版数学九年级下册
第27.2.3 相似三角形应用举例
学习目标
1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
相似三角形的性质：
(1)对应边成比例，对应角相等；
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
复习引入
典例精析
例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.
怎样测出OA的长？
典例精析
解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°
∴△ABO∽△DEF
∴
∴
因此金字塔的高度为134m.
典例精析
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
利用相似三角形测量高度
典例精析
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
典例精析
解：∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,
∴△PQR∽△PST.
∴
即
PQ×90=(PQ+45)×60.
解得 PQ=90(m).
因此，河宽大约为90m.
P
R
Q
S
b
T
a
典例精析
例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了
典例精析
分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH 是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两树的顶端A、C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK,
∴ ,
即 .
解得 EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C.
典例精析
1.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A． B． C． D．
B
小试牛刀
2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝______m．
5.5
小试牛刀
1.如图，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)( )
A．4 m
B．6 m
C．8 m
D．12 m
C
课堂检测
2.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？
解：设这栋楼的高度是xm．
由题意得
解得x＝54.
因此这栋楼的高度是54m.
课堂检测
3.为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,
∴△DCE∽△BAE.
∴ ,
解得BA=18.75m.
因此树高约为18.75m.
课堂检测
1.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 点处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)；
(2)求旗杆CD 的高度.
拓展训练
解:(1)∵在教学楼上的B 处观测到旗杆底端D 的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°.
在Rt△ABD 中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，
AB＝4 m，
∴BD＝2AB＝8 m．
∴AD＝ (m)．
即教学楼与旗杆的水平距离AD是 m.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)；
拓展训练
(2)求旗杆CD 的高度.
拓展训练
解:(2)∵在Rt△ACD 中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝30°.
∴△ABD∽△DAC.
∴ 即
∴CD＝12 m.
即旗杆CD 的高度是12 m.
相似三角形的应用主要有如下两个方面：
1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；
2.测距(不能直接测量的两点间的距离).
测高的方法：
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决 .
测距的方法：
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
课堂小结
1.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应h为( )
A.2.7米 B.1.8米 C.0.9米 D.0.6米
A
课后作业
2.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,如图，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛到地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度.
解:过点E作EH∥FB，分别交CD、AB于点G、H.
根据题意可得，EG=FD=2m，GH=BD=15m，DG= =BH=EF=1.6m.
∴CG=CD-DG=3-1.6=1.4mEH=EG+GH=2+15=17m
∵CD∥AB
∴△ECG∽△EAH
∴ 即
解得，AH=11.9(m)
因此，旗杆AB的高度为: 11.9+1.6=13.5(m).
G H
课后作业
谢谢聆听
人教版数学九年级下册
第27.2.3 相似三角形应用举例
学习目标
1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
相似三角形的性质：
(1)对应边成比例，对应角相等；
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
复习引入
典例精析
例4 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.
怎样测出OA的长？
典例精析
解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°
∴△ABO∽△DEF
∴
∴
因此金字塔的高度为134m.
典例精析
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
利用相似三角形测量高度
典例精析
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.
P
R
Q
S
b
T
a
典例精析
解：∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,
∴△PQR∽△PST.
∴
即
PQ×90=(PQ+45)×60.
解得 PQ=90(m).
因此，河宽大约为90m.
P
R
Q
S
b
T
a
典例精析
例6 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了
典例精析
分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH 是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两树的顶端A、C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK,
∴ ,
即 .
解得 EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C.
典例精析
1.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A． B． C． D．
B
小试牛刀
2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝______m．
5.5
小试牛刀
1.如图，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)( )
A．4 m
B．6 m
C．8 m
D．12 m
C
课堂检测
2.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？
解：设这栋楼的高度是xm．
由题意得
解得x＝54.
因此这栋楼的高度是54m.
课堂检测
3.为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,
∴△DCE∽△BAE.
∴ ,
解得BA=18.75m.
因此树高约为18.75m.
课堂检测
1.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 点处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)；
(2)求旗杆CD 的高度.
拓展训练
解:(1)∵在教学楼上的B 处观测到旗杆底端D 的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°.
在Rt△ABD 中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，
AB＝4 m，
∴BD＝2AB＝8 m．
∴AD＝ (m)．
即教学楼与旗杆的水平距离AD是 m.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)；
拓展训练
(2)求旗杆CD 的高度.
拓展训练
解:(2)∵在Rt△ACD 中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝30°.
∴△ABD∽△DAC.
∴ 即
∴CD＝12 m.
即旗杆CD 的高度是12 m.
相似三角形的应用主要有如下两个方面：
1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；
2.测距(不能直接测量的两点间的距离).
测高的方法：
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决 .
测距的方法：
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
课堂小结
1.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应h为( )
A.2.7米 B.1.8米 C.0.9米 D.0.6米
A
课后作业
2.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,如图，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛到地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度.
解:过点E作EH∥FB，分别交CD、AB于点G、H.
根据题意可得，EG=FD=2m，GH=BD=15m，DG= =BH=EF=1.6m.
∴CG=CD-DG=3-1.6=1.4mEH=EG+GH=2+15=17m
∵CD∥AB
∴△ECG∽△EAH
∴ 即
解得，AH=11.9(m)
因此，旗杆AB的高度为: 11.9+1.6=13.5(m).
G H
课后作业
谢谢聆听