13.3.2 等边三角形 （第1课时 ）课件 24张PPT 人教版八年级数学上册

(共24张PPT)
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第1课时
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学习目标
新课导入
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.了解等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形．
2.会证明等边三角形的性质和判定,并能进行简单的应用.（重点）
一、学习目标
二、新课导入
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它
们有什么区别和联系？
A
B
C
A
B
C
三、概念剖析
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，这时三角形三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.
思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
由等腰三角形的性质两个底角相等，我们可以推测等边三角形三个角都相等.
三、概念剖析
已知：△ABC中，AB＝AC=BC，求证：∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°
A
B
C
证明：∵ AB＝AC ，(已知)
∵ ∠A+∠B+∠C＝180°，(三角形内角和为180°)
∴ ∠A＝∠B＝∠C ＝ ＝ 60°.
∴∠C＝∠B，(等边对等角)
同理 ∠A＝∠B，
∴ ∠A＝∠B＝∠C，
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
三、概念剖析
等腰三角形有三线合一”的性质，等边三角形有“三线合一”的性质吗？
等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边的长度相等，故而等腰三角形“三线合一”的性质在等边三角形中适用，且“三线合一”的性质对每条边都适用，
所以等边三角形“三线合一”的性质可以进一步表述为：
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合.
同理，等边三角形有3条对称轴.
三、概念剖析
一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
A
B
C
已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°，求证：AB＝AC=BC.
∴ AC＝BC,(等边对等角)
证明：∵ ∠A＝∠B，(已知)
同理 AB＝AC，
∴ AB＝BC＝AC，
∴ △ABC是等边三角形.
结论：三个角都相等的三角形是等边三角形.
三条边相等的三角形是等边三角形，那三个角都相等的三角形是等边三角形吗？
三、概念剖析
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
已知：等腰三角形ABC中，存在一个角为60°，求证：△ABC是等边三角形.
A
B
C
证：当60°角为底角时，
∵等腰三角形两个底角相等，
∴三角形的顶角为180°-60°×2=60°，
∴该三角形是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形），
同理:当60°角是顶角时，三个内角相等均为60°，
∴有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
三、概念剖析
性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
归纳：
性质2：等边三角形每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合.
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
性质3：等边三角形有3条对称轴.
例1.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，求证：DB=DE．
分析：根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，
四、典型例题
再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，
根据等角对等边即可得到DB=DE．
证：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°.
又∵CE=CD，
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）.
四、典型例题
∴∠CDE=∠CED，
例1.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，求证：DB=DE．
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°，
1.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
【当堂检测】
解：∵ △ABC是等边三角形，
∴∠C=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠ADC=90°, ∠DAC=30 °，
∵ AD=AE，
∴ ∠ADE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDC=90 °- ∠ADE=90°-75°=15°.
2.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
【当堂检测】
C
B
O
D
A
E
解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°，
∵ A、O、D三点共线，
∴ ∠DOB=∠COA=120°，
∴ △COA ≌△DOB(SAS)，
△COA 、△DOB为等腰三角形，
∴ ∠DBO=∠ODB=∠CAO=30°，
∴ ∠AEB=∠ODB+∠CAO=60°.
例2.如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
四、典型例题
分析：结合平行线的性质，证明三个角相等即可证明三角形为等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠B, ∠ AED=∠C.
∴ ∠A=∠ADE=∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
变式：如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形.
四、典型例题
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°，
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等边三角形.
3.如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．求证：△PMN是等边三角形.
【当堂检测】
分析：证明∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形.
证：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等边三角形.
4.已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．求证：△OCD是等边三角形．
【当堂检测】
分析：由平行线的性质得到∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，然后根据等边三角形的判定定理即可得到结论．
证：∵△ABO是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠AOB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，
∵∠COD=∠AOB=60°
∴∠C=∠D=∠COD，
∴△OCD是等边三角形．
5.如图所示，△DEF是等边三角形，且∠1=∠2=∠3，试问：△ABC是等边三角形吗？请说明理由．
【当堂检测】
证：△ABC是等边三角形，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，
又∵∠DEF=∠BCE+∠2=60°，
∵∠2=∠3，
∴∠BCE+∠3=60°，即∠ACB=60°，
同理∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
例3.如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，求证：△ADE是等边三角形．
分析：根据线段垂直平分线的性质得到AE=AD，
根据垂直的定义得到∠ADE=90°-∠BAD，
根据判定有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得到结论．
四、典型例题
例3.如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，求证：△ADE是等边三角形
证：∵AB是DE的垂直平分线，
∴AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形，
∵AB⊥DE，
∴∠ADE=90°-∠BAD，
∵AD⊥BD，
四、典型例题
∴∠B=90°-∠BAD，
∴∠B=∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
6.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若∠AOB=60°，求证：△OCD是等边三角形.
【当堂检测】
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形.（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴OD=OC，
证：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，
7.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形.
【当堂检测】
∵DF∥BA，
∴∠ABC=∠CDF=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形．（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
证：∵DF平分∠CDE，∠CDE=120°，
∴∠CDF=∠EDF=60°，
五、课堂总结
2.等边三角形三条边相等且三个内角都等于60°，有3条对称轴的轴对称图形，每条边都具有“三线合一”的性质.
1.等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形的性质等边三角形都适用.
3.三个角相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.