2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时课件(共15张PPT)2023-2024学年北师大版九年级上册数学

(共15张PPT)
2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时
第二章 一元二次方程
1.会推导一元二次方程的求根公式.
2.会利用公式法解系数简单的一元二次方程．
3.会用根的判别式判别一元二次方程根的情况.
任务一：会推导一元二次方程的求根公式
活动：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：ax2＋bx＋c = 0(a≠0)，
小组讨论，用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0).
方程两边都除以a， 得 ，
解：移项，得ax2 + bx = -c，
配方， 得 ，
即 .
问题：接下来能用直接开平方解吗？
即
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵a≠0,4a2>0，
当b2-4ac≥0时，
当b2-4ac ＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根.
归纳总结
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子 ，就可求出方程的根.
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式；
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
任务二：会利用公式法解系数简单的一元二次方程
活动：用公式法解方程:(1) ；(2)x2+ x+3=0； (3)4x2-3x+12=x-x2.
解：(1)a=2，b=–5，c = 3，
∵b2－4ac = (–5)2 – 4×2×3 = 1 > 0 ,
∴
即
(2)a=1,b= ,c=3
∵b2-4ac= –4×1×3=0
∴
即:x1=x2= .
(3)4x2-3x+12=x-x2.
解：(3)将原方程化为一般形式，得5x2-4x+12=0，
a=5，b=–4，c =12，
∵b2－4ac = (–4)2 – 4×5×12 =-224＜0，
∴方程无实数根.
思考
公式法解一元二次方程的一般步骤.
1.变形：化已知方程为一般形式;
2.确定系数：用a,b,c写出各项系数;
3.计算：b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
注意:(1)公式法的对象是一元二次方程的一般形式；
(2)公式法的条件是
任务三：会用根的判别式判别一元二次方程根的情况
活动1：填写下面的表格.
b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即Δ=b2-4ac.
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
Δ> 0
Δ= 0
Δ< 0
Δ≥0
活动2：不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0 （2）4x2=12x－9 (3) 7y=5(y2+1)
解：(1)a=3,b=4,c=-3，
∴△=b2-4ac=42-4×3×(-3)=52>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)化为一般式：4x2-12x+9=0，
a=4,b=-12,c=9，
∴△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0，
∴方程有两个相等的实数根.
(3)化为一般式：5y2-7y+5=0，
a=5,b=-7,c=5，
∴△=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0，
∴方程没有实数根.
活动探究
学习目标
当堂检测
课堂总结
练一练
已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
B
1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0
C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2
C
2.已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+2-m=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A.-2 B.1 C.1或0 D.1或-2
B
解：依题意有：x2-x-1+2x-1=0，
即：x2+x-2=0，
∴a=1,b=1，c=-2，
∴b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0，
∴ ，
∴x1=1，x2=-2.
答：当x为1或-2时，代数式x2-x-1与2x-1的值互为相反数.
3.当x为多少时，代数式x2-x-1与2x-1的值互为相反数.
4.解下列方程：
（1）x2 +7x–18 = 0； （2）（x – 2)(1 – 3x)= 6.
解：a=1，b=7，c= –18.
Δ= b2-4ac=
72–4×1×(–18)=121＞0.
方程有两个不等的实数根.
即x1 = –9, x2 = 2 .
解：去括号，得 x–2 – 3x2 + 6x = 6,
化为一般式 3x2 – 7x + 8 = 0,
a = 3, b = –7, c = 8.
Δ= b2-4ac =
(–7)2–4×3×8= –47＜0.
所以原方程无实数根.
针对本节课所学内容，说说你都学到了哪些知识？
公式法
求根公式
步骤
Δ=b2-4ac.
根的判别式