1.1 菱形的性质与判定 第2课时课件(共16张PPT)2023-2024学年北师大版九年级上册数学

(共16张PPT)
1.1 菱形的性质与判定
第2课时
第一章 特殊平行四边形
1.掌握菱形的判定方法.
2.会用菱形的判定方法进行有关的论证和计算.
复习导入
1.菱形的定义是什么？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
D
C
2.菱形的性质有哪些？
具有平行四边形的所有性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
思考：怎样判断一个四边形是否是菱形呢
任务一：掌握菱形的判定方法
活动1：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形可以判断一个平行四边形是菱形.
类比平行四边形的判定，猜想是否还有其他的方法判断一个平行四边形是菱形.先想一想，再与同伴交流你的猜想.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
试证明你的猜想.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明猜想：已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形.
活动2：判断所画图形是否为菱形.
小刚在作一线段AC为对角线的菱形时进行了如下操作：
分别以A,C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分别交于点B,D,依次连接A,B,C,D四点.
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想，试证明这个猜想.
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证明:∵AB=CD,AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
证明猜想：已知:如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.
定理：四条边相等的四边形是菱形.
归纳总结
菱形的判定方法：
（2）判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（1）定义法：
任务二：会用菱形的判定方法进行有关的论证和计算
活动：完成下列证明.
题目1：一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，
这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？
A
B
C
D
O
四边形ABCD是菱形，是特殊的平行四边形.
证明: 如右图， ABCD中，AC= ,BD=12，AD=9，
∵平行四边形对角线互相平分，∴OA=OC= ，OD=OB=6，
∵62 + =92，∴△AOD是直角三角形，即AO⊥DO，
∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
证明：∵AD是∠CAE的角平分线，∴∠1=∠2.
又∵AE=AC，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(SAS)，∴CD=ED.
同理可得△ACF≌△AEF(SAS)，∴CF=EF.
又∵EF=ED，∴CD=ED=CF=EF，
∴四边形CDEF是菱形(四条边相等的四边形是菱形).
题目2：如图,在△ABC中, AD是∠CAE的角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.
1
2
A
C
B
E
D
F
练一练
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD
B
分析：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形.
提示：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
练一练
2.如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴四边形DECF是平行四边形.
∵AC=BC，
∴DE∥CF，DF= AC，DE= BC,DF∥AC，
∴DE=DF，
∴四边形DFCE是菱形.
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 （限填序号）.
①
2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF= 度．
90
3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH．求证：四边形EBFC是菱形．
证明：∵AB=AC，AH⊥CB，
∴BH=HC.
∵FH=EH，
∴四边形EBFC是平行四边形.
又∵AH⊥CB，
∴四边形EBFC是菱形.
针对关键词“菱形的判定”，说说你都学到了哪些知识？
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
菱形的判定
定义法
判定定理