河北省唐山一中2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题

唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试
高二数学理科试卷
命题人：朱崇伦 李雪芹
说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。
3．卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1. 若复数满足（是虚数单位)，则的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
2. （1）已知，求证：.用反证法证明时，可假设；
（2）若，，求证：方程的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设；
以下结论正确的是 （　 ）
Ａ．（1）与（2）的假设都错误?????? Ｂ．（1）的假设正确；（2）的假设错误
Ｃ．（1）与（2）的假设都正确 Ｄ．（1）的假设错误；（2）的假设正确
3. 设随机变量服从正态分布，则 (　　)
A. ? ? B．?????? C．1－2? ?????? D. 1－
4. 用数学归纳法证明不等式： (，)，在证明这一步时，需要证明的不等式是 （??? ）
A． B．
C．
D．
5. 曲线在点（1,）处的切线与坐标轴围成的三角面积为 (　　)
A． B． C． D．
6. 已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)等于 (　 )
A. B. C. D.
7. 把13个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为 （ ）
A．36???????? B.? 45????? C. 66?????? ?D.78
8. 若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是
（ ）
A. B.0 C. D.1
9.向边长分别为5，6，的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为 （ ）
A. B. C. D.
10. f(x)是R上的可导函数，且f(x)+ x>0对x∈R恒成立，则下列恒成立的是（ ）
A. f(x)>0 B. f(x)<0 C. f(x)>x D. f(x)11.曲线与两坐标轴所围成图形的面积为 （ ） A．???? B．?? C．?? D．
12.定义域为的函数对任意的都有，且其导函数满足：，则当时，下列成立的是 （ ）
A．???? B．??
C．?? D．

卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A的概率为 （用数字作答）．14. 设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则=??????? ．
15.在等差数列中，若，则有
成立．类比上述性质，在等比数列 中，若，则存在的类似等式为________________________．
16.设函数在上存在导数，，有，
在上，若，则实数的取值范围是_____________.?
三．解答题：（本大题共６小题，共70分）
17．（本小题满分10 分）
已知 ()的展开式中的系数为11.
（1）求的系数的最小值；
（2）当的系数取得最小值时，求展开式中的奇次幂项的系数之和.
18．（本小题满分12 分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，
侧面底面， 若.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（本小题满分12 分）
已知函数是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的、∈R，都满足，若=1，.
（1）求、、的值；（2）猜测数列通项公式，并用数学归纳法证明.
20. （本小题满分12 分）
某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.
21. （本小题满分12 分）
已知抛物线的焦点F和椭圆的右焦点重合.
（1）求抛物线的方程；
（2）若定长为5的线段两个端点在抛物线上移动，线段的中点为，求点到y轴的最短距离，并求此时点坐标.
22．（本题满分12分）
已知函数.
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）设函数，求证：.
唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试
高二理科数学参考答案
一、选择题：CDBD,ADAC,AACB.
二、填空题：13、；14、-2；15、；
16、.
三、解答题：
17．解：（1）由题意得：，即：m+3n=11.-----------------------2分
x2的系数为：
--------------------4分
当n=2时，x2的系数的最小值为19，此时m=5 --------------------- 6分
（2）由（1）可知：m=5，n=2，则f（x）=（1+x）5+（1+3x）2
设f（x）的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 ----------------------8分
令x=1,则f(1)=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5
令x=-1,则f(-1)=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5 -------------------------------------10分
则a1+a3+a5==22,所求系数之和为22--------------------------------12分
18．解：
（1）因为 ，所以.
又因为侧面底面，且侧面底面，
所以底面.而底面，所以.
在底面中，因为，，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 6分
（2）法一：设为中点，连结，则 .又因为平面平面，
所以 平面.过作于，连结，则：.
所以是二面角的平面角。…………………………………………9分
设，则, .
在中，，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为. …………………………12分
法二：由已知，平面，所以为平面的一个法向量.
可求平面的一个法向量为：.………………………………………9分
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
所以.
即二面角的余弦值为. …………………………………12分
19．解：（1）

----------------------3分
（2）由（1）可猜测：?=n(--------------------------5分
下用数学归纳法证明：
当n=1时，左边=右式= 1( ( n=1时，命题成立。
假设n=k时，命题成立，即：=k(，---------------------7分
则n=k+1时，左边=
--------------------------------------10分
( n=k+1时，命题成立。
?综上可知：对任意n∈都有=n(。-----------------11分
所以：an== =。-------------------------------------------12分
20.解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则,. ……………………………2分
所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为. ………………………………………………………………5分
（2）的可能取值为：0,10,20,30，则,,,
.……………………………………………………9分
X
0
10
20
30
p
………………………………………………………………………………………………10分
∴的数学期望为=.…………………………………………………………12分
21.解：（1）∵椭圆的右焦点,，即.
∴抛物线的方程为……………………………………………………………4分
（2）要求点到y轴距离最小值，只要求出点到抛物线准线的距离最小值即可.过，设焦点为F.
，当且仅当线段过焦点F时取等号.∴点到y轴的最短距离为；……………………8分
设此时中点的坐标为（），则，设，，则，，两式相减得：，即，
∴，∴，∴此时点坐标为……………………12分
22． 解：（1）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，……………………2分
由得，故的单调递减区间是 …………………4分
（2）由可知：是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立………5分
由得．
①当时，． 此时在上单调递增． 故，符合题意．…………………………………………6分
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意得：，又．
综合①，②得，实数的取值范围是：．…………………………………8分
（3），
………………………………………………………………………………………………9分
，

由此得：
故．……………………………………12分