河北省唐山一中2014-2015学年高二下学期期中考试数学（文）试题

唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试
高二数学文科试卷
命题人：刘瑜素 王海涛
说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。
3．卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1. 已知函数，且=2，则的值为 （ ）
A.1 B. C.－1 D. 0
2. 若复数z满足，为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是 (　　)
A．（4，2） B．（4，-2） C．（2，4） D．（2，-4）
3. 用三段论推理：“指数函数是增函数，因为是指数函数，所以是增函数”，你认为这个推理 (　　)
A．大前提错误 B. 小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的
4. 若直线的参数方程为,则直线的斜率为 (　　)
A. B. C. D.
5. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是 (　　)
A.与具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
6．函数的导数是 （ ）
A． B．
C． D．
7. 已知为虚数单位，复数，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为 (　　) A. B． C. D.
8.已知奇函数在时，在上的值域为 （ ）
A． B． C． D．
9. 在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）
A. 和 B. 和
C.和 D. 和
10. 设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为，则＝ (　　)
11. 已知分别是函数的两个极值点，且 ，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
12. 若且，则在 ① ； ② ；
③ ④ .这四个式子中一定成立的有 （ ）
A.4个 B.3个 C. 2个 D.1个
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的递减区间是__________.
14. 在直角坐标平面内，以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的动点 ，则点到直线最大值为 .
15. 已知函数的单调减区间是(0,4),则的值是__________.
16. 设函数，如果对任意，则的取值范围是__________.
三．解答题：本大题共６小题，共70分．
17．（本题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．
18.（本题满分12分）已知函数.
（1） 若，求在处的切线方程；
（2）若在R上是增函数，求实数的取值范围.
19．（本题满分12分）已知函数的图象过点，且函数
是偶函数.
（1）求的值； （2）若，求函数在区间的极值.
20. （本题满分12分）某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：（已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%）
分组
频数 10 25 35 30
甲校高二年级
数学成绩：
分组
频数 15 30 25 5
乙校高二年级
数学成绩：
计算的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分（精确到1分）.
若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀.根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”.
甲校 乙校 总计
优秀
非优秀
总计
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：
21．（本题满分12分）设函数
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围．
22. （本题满分12分）已知函数。
(1)若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；
(2)若，求方程在区间内实根的个数.
唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试
高二文科数学参考答案
一、选择题：
1.A 2.B 3.A 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C 9.B 10.C 11.D 12.C
二、填空题：13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17. 解：（1）曲线的极坐标方程可化为
…………………………………………………………………… 2分
又，
所以曲线的直角坐标方程为…………4分
（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得… ……… 6分
令，得，即点的坐标为(2，0)．
又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则… ……… 8分
所以…………………………………………………… 10分
18.解：(1)由题意知：，
切线方程：……………………………………………6分
（2）由题意知，因为函数在R上增函数，所以在R上恒成立，即恒成立. ……………………………………………8分
整理得：
令，则，因为，所以
在上单调递减
在上单调递增
所以当时，有极小值，也就是最小值. ……………………………… 11分
所以a的取值范围是 ……………………………………………………12分
19. 解：（1）由函数的图象过点，得①
由得，则
而的图像关于轴对称，所以②，由①②得 ………4分
（2）由（1）知，，令得…………………5分
由得，由得
在上单调递增，在上单调递减
在处取得极大值，在处取得极小值 …………………8分
由此可得：
当时，在内有极大值=-2，无极小值.
当时，在内无极值.
当时，在内有极小值=-6，无极大值.
当时，在内无极值. ………………12分
20. 解：（1）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人
…………………4分
甲校的平均分约为75，乙校的平均分约为71 ……………………8分
（2）
甲校 乙校 总计
优秀 40 20 60
非优秀 70 70 140
总计 110 90 200
，又因为 ……………………11分
故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”…12分
21. 解 (1) 当 时，，，
22.（1）由题意知：
曲线与在公共点有相同的切线得解得.4分
（2）转化为
令，由得
由
由
在上单调递增，在上单调递减
当时， ……………………8分
所以方程在区间内有两个实根. ……………………12分