福建省南安第一中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题

2014～2015学年南安一中高一年下学期期中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．某扇形的半径为，它的弧长为，那么该扇形圆心角为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．在如图所示的平面图形中，、为互相垂直的单位向量，则向量可表示为( )
A．2 B．
C．2 D．2
3．已知都是锐角，，则的值为( )
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间是 （ ）
A ． B．
C ． D．
5． 函数的图象可由函数的图象作怎样的变换得到（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6． 己知，且满足，则等于( )
A． B． C． D．
7． 如图，过点的直线与函数的图象交于两点，则 等于( )
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为( ) A． B．
C． D．
9．函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．　　　 B．　　　 C．0　　　 D．
10．设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角（其中）．则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，某大风车的半径为2 ，每6 s旋转一周，它的最低点离地面 m．风车圆周上一点从最低点开始，运动（s）后与地面的距离为(m)，则函数的关系式（ ）
A． B．
C． D．
12．在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则( )
A． 是定值，定值为2 　　B． 是定值，定值为3
C． 是定值，定值为2 　D． 是定值，定值为3
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则的取值范围 ．
14．不等式的解集是 ．
15．设函数，若对任意恒有成立，则的最小值为 ．
16．如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．当小正六边形沿着大正六边形的边滚动4周后返回出发时的位置，记在这个过程中向量围绕着点旋转角（其中为小正六边形的中心），则等于 ．
三、解答题:本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
18．（本小题满分12分）
在中，已知是的方程的两个根．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且满足，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求的值．
20．（本小题满分12分）
函数部分图象如图
所示，其中、、分别是函数图象在
轴右侧的第一、二个零点、第一个最低点，且是等边三角形．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求的值．
21．（本小题满分12分）．
已知向量，，函数．
（Ⅰ）试用五点作图法画出函数在一个周期内的图象（要求列表）；
（Ⅱ）求方程在内的所有实数根之和．
22．（本小题满分14分）
如图,曲线：分别与、轴的正半轴交于点、，点，角、的终边分别与曲线交于点、．
（Ⅰ）若与共线，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求在方向上的投影；
（Ⅲ）有研究性小组发现:若满足，则是一个定值，你认为呢？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
2014～2015学年南安一中高一年下学期期中考数学试卷
参考答案　　 2015．4
一、选择题
1~6： B A B C C D； 7～12：B A B C C D
二、填空题
13．； 14． ；
15． ； 16．．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为，…………4分
所以函数的最小正周期为． …………6分
（Ⅱ）由有,
即函数的单调递增区间为； …………9分
由有,
即函数的单调递减区间为．…………12分
18．解：（Ⅰ）方程可整理得．…………1分
由条件可知，．…………3分
所以,…………6分
所以．…………7分
（Ⅱ）在中，，所以．…………8分
因为，所以．…………9分
由有，所以或，
所以或，即的值为或．…………12分
19．解:（Ⅰ）因为，所以，…1分
由于，所以，…3分
所以．……………5分
（Ⅱ）原式．………………8分
………………11分
．……………………12分
20．解：（Ⅰ）依题意有，，又，，
所以，……………3分
因为是等边三角形，所以
又，∴，
∴．……………6分
(Ⅱ)，，，……8分
=，……………10分
．……………12分
21．解：（Ⅰ）．…………2分
列对应值表如下：
0
0
1
0
－1
0
…………4分
通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数在一个周期内的图象如下图所示：
………………6分
（Ⅱ）∵的周期，
∴在内有3个周期． ………………7分
令，所以，
即函数的对称轴为．………………8分
又，则
且，所以在内有6个实根，……………9分
不妨从小到大依次设为，
则，，．
∴所有实数根之和==．……………12分
22．解：（Ⅰ） 与共线,，
所以,则．………………3分
另法：因为，所以．
由三角函数的定义可知 ，…………1分
又因为，与共线, 所以, , …………2分
所以．………………3分
（Ⅱ）由(1)得,或
或，……………… 5分
．…………………………6分
设与的夹角为，
在方向上的投影是．………8分
（Ⅲ）由三角函数的定义可知
若，则
则 ……9分
又
，
故结论正确，定值为．……………… 14分