因式分解
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§13.5 因式分解(1)?
一、 教学目标?
1. 了解因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辨证思想．?
2. 会用提公因式法及公式法进行因式分解．?
二、 教学重点与难点：会用提公因式法及公式法进行因式分解是本节教学的重点，也是难点．?
三、 教学过程?
(一) 引入新课?
计算：(1)999＋999；? (2) 998－4；? (3)2004－4008＋1．??
在学生独立完成或小组合作完成的基础上，交流、比较不同的解答方法．?
体会：针对表达式的特点，有时需要将和、差形式的式子转化成因式积的形式．?
了解：将和、差形式的式子转化成因式积的形式的一般依据是分配律、平方差公式、完全平方公式等．?
问题：若将上式中的数换成字母，你能将它们转化成因式积的形式吗 ?
(二) 探究新知?
1. 试一试?将下列多项式化为积的形式，说出你的依据．?
(1) a＋a；? (2) x－4y；? (3)m＋6mn＋9n．??
交流结果：?
(1) a＋a＝a(a＋1).? (都有因式a，利用分配律化为积的形式)?
(2) x－4y＝(x－2y)(x＋2y)．?(把4y看作(2y)，利用平方差公式化为积的形式)? (3) m＋6mn＋9n＝(m＋3n)．??(m＋6mn＋9n＝m＋2·m·(3n)＋(3n)，利用完全平方公式化为积的形式)?
2. 引出概念?
因式分解：像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解．?
指出：因式分解与整式乘法正好相反，它与整式的乘法正好互为逆运算。
（1）、计算下列各式： 2、把下列各式分解因式：
(1) m(a+b+c)= (1) ma+mb+mc=
(2) 5a(b+1)= (2) 5ab+5a=
(3) 5a(a+1)= (3) 5a2+5a=
(4) -5a(a-5)= (4) -5a2+25a=
(5) (a+b)(a-b)= (5) a2-b2=
(6) (x+1)(x-1)= (6) x2-1=
(7) (x+3)(x-3)= (7) x2-9=
(8) (a-b)2= (8) a2-2ab+b2=
(9) (a+b)2= (9) a2+2ab+b2=
(10) (x+2)2= (10) x2+4x+4=
(11) (x-3)2= (11) x2-6x+9=
(12) (2x-3y)2= (12) 4x2-12xy+9y2=
(13) (x+1)(x-4)= (13) x2-3x-4=
（2）、判断：下面多项式的变形是否是因式分解。
①X2+X-1=X(X+1)-1 ②X2+4X+4=(X+2)2 ③a2-9=(a-3)(a+3) ④m(x+2)=mx+2m
体会：判断变形是否为因式分解，关键是看等号右侧整体是否是几个整式的积的形式．
3、因式分解方法
（一）、提取公因式
例1、分解因式：(1)5a2-9ab; (2) x2+4xy+2x;
(1) 公因式：在题(1)中，两项都含有相同的因式a，称之为公因式．?
(2) 提公因式法：把公因式提出来，多项式a＋a就可以分解成两个整式a和(a＋1)的乘积了，像这种提出公因式，就把多项式分解成两个整式积的形式的因式分解方法，叫做提公因式法．?ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
图形描述：
+ + = ( + + )
练：把下列多项式分解因式：?①3a－9ab；? ②－5a＋5a； ③ xm-ym+zm
④3x4y-6x2y2+9x2y3 ⑤2m2-4m ⑥2(a+b)2 - 4(a+b)
注：1、多项式的最高次项带有负号，为使提公因式后括号内首项不含负号，可以提带有负号的公因式，如题(2)．
2、如果多项式的项就是公因式，如题(2)中的5a，应写成5a·1，这样提公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同．
（二）公式法
例2、分解因式 (1)25x－16y；?(2)x＋4xy＋4 y．
公式法：在例2中，实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法称为公式法．?
主要依据：?；
平方差：a－b＝(a＋b)(a－b)
图形描述：
2 2
- =（ + ）（ - ）
完全平方：a±2ab＋b＝(a±b)
图形描述：
2 2 2
±2 + = （ ± ）
做一做?
1、判断下面多项式能否用平方差公式、完全平方公式分解因式
① ② ③
④ ⑤ ⑥
2、分解因式：①x2-16 ②9-y2 ③25x2-4 ④x2y2-1
⑤x2+2x+1 ⑥x2-10x+25 ⑦x2-4xy+4y2 ⑧x2+3x+9/4
3、分解因式：① ② ③
④ ⑤ ⑥
在学生独立完成或小组合作完成后，交流、反思、修正．
体会：因式分解应先识别多项式的项，观察有没有公因式，若有，确定公因式，并在各项中先把它分离出来，就可把公因式提出来，从而把多项式化为积的形式．?
（三）、形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式的因式分解
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
练习：①x2+5x+6 ②x2-5x+6 ③a2+2a-3 ④x2-4x-12 ⑤a2+3a+2 ⑥m2-5m-14
（四）分组分解
例3：分解因式 ①a2-2ab+b2-1 ②x2-xy+xz-yz
练习：① ② ③ ④ ⑤ ⑥
(四) 考一考?
1. 下列各式从左至右的变形，哪些是因式分解，哪些不是 ?
(1) (a＋2)(a－2)＝a－4；? (2) x－9＝(x＋3)(x－3)；??
(3) a＋3a＋1＝a( a＋3)＋1；?(4)m－n－1＝(m＋n)(m－n)－1．?
2. 课本第41页练习第1～3题．?
?(五) 小结?
1. 引导学生理解体会因式分解的意义，掌握好两种基本方法．?
2. 因式分解的结果为乘积式．?
3. 因式分解在数学中的作用是可以使运算简便．?
(六) 作业?
1. 课本中第41页习题13.5第1题的第(1)～(4)题，第2、3题．?
2. 分解因式：(选做)?(1) 4a＋10ab－8ab；?(2)12abc－15bc－18bc；?
(3) 289－144a；? (4)25a＋9b－30ab．??
§13.5 因式分解(2)?
一、 教学目标?
1. 熟练运用两种基本方法准确地进行因式分解．?
2. 逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的严密性和初步解决问题的愿望与能力．?
二、 教学重点与难点?熟练正确地进行因式分解．?
三、 教学过程?
(一) 探究、归纳因式分解的一般步骤?
例1 因式分解：(1)a－a； (2)3x－12xy； (3)4xy＋4xy＋xy．
体会：如果多项式各项含有公因式，首先是提取这个公因式后再进一步运用公式法．?
注意必须进行到每一个多项因式都不能再分解为止．?
(二) 变式训练，复习巩固?
（1）公因式变化
变式一：分解因式a(a－b)＋(b－a)．体会：公因式可以是多项式，从中渗透整体思想．
变式二：分解因式：(3x＋4y)－(4y－3x)．体会：（1）公式中，a、b可以是数、单项式、多项式．
（2）分解后要化简，分解要彻底．?
变式三：把x(x＋y)－y(4y＋x)分解因式．?体会：有时必须先做整式乘法再分解．?
变式四：若多项式x＋8x＋k可以分解为(x＋4)，试求k的值．?依题意可以知道x＋8x＋k＝(x＋4)成立．（在此可渗透配方思想）体会：应注意利用恒等式的特点解决问题．?
变式五：有两个孩子的年龄分别为a、b岁，已知a＋ab＝99，试求两个孩子的年龄．?
依题意有a＋ab＝99，即a(a＋b)＝99．因为a、b均为正整数，且均为孩子的年龄，所以a(a＋b)＝9×11，所以一个孩子为9岁，另一个为2岁．?体会：可以利用因式分解解决实际问题．?
(三) 小结?
在进行分解时注意掌握如下要领：?
1. 因式分解的一般步骤是：有公因式的应先提公因式，再运用公式．?
2. 在运用公因式法时，要注意公因式的确定方法和符号的变化．?
3. 在运用公式法时，注意以二项式与三项式分类选择公式．公式中的字母可以是数、单项式或多项式，注意“整体”的思想．?
4. 在运用因式分解进行简便计算时，要善于抓住题型特征，恰当运用提公因式法和公式法简化计算．?
5. 因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并．?
(四) 作业?1. 第41页习题14.4第1题的(5)～(8)题．?
2. 选做：?(1) 把下列多项式分解因式：?① －x＋2xy－y；② －24ay＋16by；③ (ab)－4；④ (a+b)－9c；⑤ (a+b)－4ab；⑥ (x+y)＋2(x＋y)＋1；⑦ x(x－6)＋9； ⑧ (x＋3)(x＋1)＋1．?
(2) 已知长方形的周长为16cm，它的两边x、y都是整数且满足2x－2y－x＋2xy－y－4＝0，求它的面积．?
(3) 已知多项式a－2a＋m－c，当a＝3，c＝2时，多项式的值为0，求m的值．?
(4) 无论a取什么有理数，等式(a)＝a·a总是成立，试求正整数m、 n的值．
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一、 教学目标?
1. 了解因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辨证思想．?
2. 会用提公因式法及公式法进行因式分解．?
二、 教学重点与难点：会用提公因式法及公式法进行因式分解是本节教学的重点，也是难点．?
三、 教学过程?
(一) 引入新课?
计算：(1)999＋999；? (2) 998－4；? (3)2004－4008＋1．??
在学生独立完成或小组合作完成的基础上，交流、比较不同的解答方法．?
体会：针对表达式的特点，有时需要将和、差形式的式子转化成因式积的形式．?
了解：将和、差形式的式子转化成因式积的形式的一般依据是分配律、平方差公式、完全平方公式等．?
问题：若将上式中的数换成字母，你能将它们转化成因式积的形式吗 ?
(二) 探究新知?
1. 试一试?将下列多项式化为积的形式，说出你的依据．?
(1) a＋a；? (2) x－4y；? (3)m＋6mn＋9n．??
交流结果：?
(1) a＋a＝a(a＋1).? (都有因式a，利用分配律化为积的形式)?
(2) x－4y＝(x－2y)(x＋2y)．?(把4y看作(2y)，利用平方差公式化为积的形式)? (3) m＋6mn＋9n＝(m＋3n)．??(m＋6mn＋9n＝m＋2·m·(3n)＋(3n)，利用完全平方公式化为积的形式)?
2. 引出概念?
因式分解：像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解．?
指出：因式分解与整式乘法正好相反，它与整式的乘法正好互为逆运算。
（1）、计算下列各式： 2、把下列各式分解因式：
(1) m(a+b+c)= (1) ma+mb+mc=
(2) 5a(b+1)= (2) 5ab+5a=
(3) 5a(a+1)= (3) 5a2+5a=
(4) -5a(a-5)= (4) -5a2+25a=
(5) (a+b)(a-b)= (5) a2-b2=
(6) (x+1)(x-1)= (6) x2-1=
(7) (x+3)(x-3)= (7) x2-9=
(8) (a-b)2= (8) a2-2ab+b2=
(9) (a+b)2= (9) a2+2ab+b2=
(10) (x+2)2= (10) x2+4x+4=
(11) (x-3)2= (11) x2-6x+9=
(12) (2x-3y)2= (12) 4x2-12xy+9y2=
(13) (x+1)(x-4)= (13) x2-3x-4=
（2）、判断：下面多项式的变形是否是因式分解。
①X2+X-1=X(X+1)-1 ②X2+4X+4=(X+2)2 ③a2-9=(a-3)(a+3) ④m(x+2)=mx+2m
体会：判断变形是否为因式分解，关键是看等号右侧整体是否是几个整式的积的形式．
3、因式分解方法
（一）、提取公因式
例1、分解因式：(1)5a2-9ab; (2) x2+4xy+2x;
(1) 公因式：在题(1)中，两项都含有相同的因式a，称之为公因式．?
(2) 提公因式法：把公因式提出来，多项式a＋a就可以分解成两个整式a和(a＋1)的乘积了，像这种提出公因式，就把多项式分解成两个整式积的形式的因式分解方法，叫做提公因式法．?ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
图形描述：
+ + = ( + + )
练：把下列多项式分解因式：?①3a－9ab；? ②－5a＋5a； ③ xm-ym+zm
④3x4y-6x2y2+9x2y3 ⑤2m2-4m ⑥2(a+b)2 - 4(a+b)
注：1、多项式的最高次项带有负号，为使提公因式后括号内首项不含负号，可以提带有负号的公因式，如题(2)．
2、如果多项式的项就是公因式，如题(2)中的5a，应写成5a·1，这样提公因式后，括号内的项数与原多项式的项数相同．
（二）公式法
例2、分解因式 (1)25x－16y；?(2)x＋4xy＋4 y．
公式法：在例2中，实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法称为公式法．?
主要依据：?；
平方差：a－b＝(a＋b)(a－b)
图形描述：
2 2
- =（ + ）（ - ）
完全平方：a±2ab＋b＝(a±b)
图形描述：
2 2 2
±2 + = （ ± ）
做一做?
1、判断下面多项式能否用平方差公式、完全平方公式分解因式
① ② ③
④ ⑤ ⑥
2、分解因式：①x2-16 ②9-y2 ③25x2-4 ④x2y2-1
⑤x2+2x+1 ⑥x2-10x+25 ⑦x2-4xy+4y2 ⑧x2+3x+9/4
3、分解因式：① ② ③
④ ⑤ ⑥
在学生独立完成或小组合作完成后，交流、反思、修正．
体会：因式分解应先识别多项式的项，观察有没有公因式，若有，确定公因式，并在各项中先把它分离出来，就可把公因式提出来，从而把多项式化为积的形式．?
（三）、形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式的因式分解
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
练习：①x2+5x+6 ②x2-5x+6 ③a2+2a-3 ④x2-4x-12 ⑤a2+3a+2 ⑥m2-5m-14
（四）分组分解
例3：分解因式 ①a2-2ab+b2-1 ②x2-xy+xz-yz
练习：① ② ③ ④ ⑤ ⑥
(四) 考一考?
1. 下列各式从左至右的变形，哪些是因式分解，哪些不是 ?
(1) (a＋2)(a－2)＝a－4；? (2) x－9＝(x＋3)(x－3)；??
(3) a＋3a＋1＝a( a＋3)＋1；?(4)m－n－1＝(m＋n)(m－n)－1．?
2. 课本第41页练习第1～3题．?
?(五) 小结?
1. 引导学生理解体会因式分解的意义，掌握好两种基本方法．?
2. 因式分解的结果为乘积式．?
3. 因式分解在数学中的作用是可以使运算简便．?
(六) 作业?
1. 课本中第41页习题13.5第1题的第(1)～(4)题，第2、3题．?
2. 分解因式：(选做)?(1) 4a＋10ab－8ab；?(2)12abc－15bc－18bc；?
(3) 289－144a；? (4)25a＋9b－30ab．??
§13.5 因式分解(2)?
一、 教学目标?
1. 熟练运用两种基本方法准确地进行因式分解．?
2. 逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的严密性和初步解决问题的愿望与能力．?
二、 教学重点与难点?熟练正确地进行因式分解．?
三、 教学过程?
(一) 探究、归纳因式分解的一般步骤?
例1 因式分解：(1)a－a； (2)3x－12xy； (3)4xy＋4xy＋xy．
体会：如果多项式各项含有公因式，首先是提取这个公因式后再进一步运用公式法．?
注意必须进行到每一个多项因式都不能再分解为止．?
(二) 变式训练，复习巩固?
（1）公因式变化
变式一：分解因式a(a－b)＋(b－a)．体会：公因式可以是多项式，从中渗透整体思想．
变式二：分解因式：(3x＋4y)－(4y－3x)．体会：（1）公式中，a、b可以是数、单项式、多项式．
（2）分解后要化简，分解要彻底．?
变式三：把x(x＋y)－y(4y＋x)分解因式．?体会：有时必须先做整式乘法再分解．?
变式四：若多项式x＋8x＋k可以分解为(x＋4)，试求k的值．?依题意可以知道x＋8x＋k＝(x＋4)成立．（在此可渗透配方思想）体会：应注意利用恒等式的特点解决问题．?
变式五：有两个孩子的年龄分别为a、b岁，已知a＋ab＝99，试求两个孩子的年龄．?
依题意有a＋ab＝99，即a(a＋b)＝99．因为a、b均为正整数，且均为孩子的年龄，所以a(a＋b)＝9×11，所以一个孩子为9岁，另一个为2岁．?体会：可以利用因式分解解决实际问题．?
(三) 小结?
在进行分解时注意掌握如下要领：?
1. 因式分解的一般步骤是：有公因式的应先提公因式，再运用公式．?
2. 在运用公因式法时，要注意公因式的确定方法和符号的变化．?
3. 在运用公式法时，注意以二项式与三项式分类选择公式．公式中的字母可以是数、单项式或多项式，注意“整体”的思想．?
4. 在运用因式分解进行简便计算时，要善于抓住题型特征，恰当运用提公因式法和公式法简化计算．?
5. 因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并．?
(四) 作业?1. 第41页习题14.4第1题的(5)～(8)题．?
2. 选做：?(1) 把下列多项式分解因式：?① －x＋2xy－y；② －24ay＋16by；③ (ab)－4；④ (a+b)－9c；⑤ (a+b)－4ab；⑥ (x+y)＋2(x＋y)＋1；⑦ x(x－6)＋9； ⑧ (x＋3)(x＋1)＋1．?
(2) 已知长方形的周长为16cm，它的两边x、y都是整数且满足2x－2y－x＋2xy－y－4＝0，求它的面积．?
(3) 已知多项式a－2a＋m－c，当a＝3，c＝2时，多项式的值为0，求m的值．?
(4) 无论a取什么有理数，等式(a)＝a·a总是成立，试求正整数m、 n的值．
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