2023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.5 空间直线、平面的平行 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·资阳期末）能使平面与平面平行的一个条件是（ ）
A．与都平行于同一条直线
B．一条直线l分别与和所成的角相等
C．内有无数条直线都与平行
D．内的任何一条直线都与平行
【答案】D
【知识点】空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A、 设两平面相交，交线为a，平面外直线为b，当a平行b时，根据线面平行的判定定理可知，直线b和两平面平行，但两平面相交，故A不符合；
B、若平面与平面相互垂直，直线与平面和平面都平行，则直线与平面和成的角相等为0，此时梁平面相交，与题设平面和平行矛盾，故B不符合；
C、设平面与平面的交线为直线，，则a不在内，则，则内所有与a平行的直线都与平行，即平面内有无数条直线都与平面平行，而平面与平面不平行，故C不符合；
D、若平面内的任何一条直线都与平面平行，则平面与平面没有公共点，故平面与平面平行，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】设两平面相交，根据线面平行的判定定理，判断A；通过取特殊位置两平面垂直，线平行于平面排除B；通过取特殊位置，再结合线面平行的判定定理即可判断C；两个平面平行的定义：若平面与平面没有公共点，则平面与平面平行.根据条件可得平面与平面没有公共点，再根据平面与平面平行的定义即可判断D.
2．（2023高一下·河南月考）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，且，
则平行或异面，所以“”是“”的不充分条件；
②若，则平行或相交，所以“”是“
”的不必要条件；
综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】根据线面位置关系结合充分、必要条件分析判断.
3．（2023高一下·浙江期中） 设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】
如果两平面平行，那么平面中的所有直线有可能平行，也有可能异面，所以不充分
如果两直线平行，两个平面有可能平行，也有可能相交，所以也并不必要
【分析】需要根据平面与直线平行的性质与判定双向思考，从而得出答案
4．（2023·玉林模拟）设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一个平面
【答案】B
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误；
B选项，平行于同一个平面，则，B选项正确；
C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误；
D选项，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用线面，面面平行，垂直的判定及性质对各个选项进行分析即可得到答案.
5．（2023高二上·大庆开学考）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A： 若，，则 或异面，故A错误；
对于B： 若，，，则 或异面，故B错误；
对于C： 若，，，则或相交，故C错误；
对于D： 若，则 ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据空间线、面位置关系分析判断ABC；对于D：根据线面平行的判定定理分析判断.
6．（2023高一下·炎陵期末）在空间中给出下列命题：（1）垂直于同一直线的两直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）平行于同一直线的两直线平行．（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：参考正方体图形可知，空间中垂直于同一直线的两条直线可以相交，故（1）错误；两条直线没有公共点，两条直线可以异面，故（2）错误；根据平行公理，平行于同一直线的两直线平行，故（3）正确；根据直线与平面垂直的性质，可知垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
故答案为：B.
【分析】根据空间中线线位置关系以及线面位置关系的判定及性质，逐项判断即可.
7．（2023高一下·房山期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】 由面面平行的性质可得 且 充分性成立；
当m//n时，若 ， 且 ，则 可能平行或相交，故必要性不成立；
故选：A.
【分析】由面面平行的判定与性质判断结合充分条件和必要条件的定义，即可得答案.
8．（2023高二下·安徽月考）若直线平面，直线平面，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．，共面 C． D．，无交点
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】若 ， 直线平面 ，则 也可能相交，不一定 ，故必要性不成立，故A错误；
若，直线平面， 直线平面 ，此时 ， 有可能异面，故必要性不成立，故B错误；
若，直线平面， 直线平面 ，则m可以在平面a内，故必要性不成立，故C错误；
若，直线平面， 直线平面 ，则 ，一定无交点，故必要性成立，但 ，无交点时，不一定得到，故D正确.
故选：D.
【分析】根据线面平行的判定结合必要不充分条件的定义，逐项进行判断，可得答案.
9．（2023高一下·温州期末）下列正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，则能满足平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A：连接MB，NC ，由图可知， AB与平面MNP相交，故不满足AB//平面MNP ，故A错误；
对于B：如图所示， G，H，F，E分别是所在棱的中点，连接NH，NG，GF，FM，EM，
则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为AB//EM ，
因为EM与平面NGFMPH相交，所以不满足AB//平面MNP，故B错误；
对于C：连接AD ，交MN与点O ，连接PO ，因为O， P分别为AD，BD中点，
所以PO//AB ，由线面平行的判定定理可知，AB//平面MNP，故C正确；
对于D： D，F，E分别是所在棱的中点，连接DN，NF，FM，ME，PE，DP，AC，
平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，
取AC的中点为O ，连接OM，由中位线定理可知， AB//OM，
因为MO与平面MNP相交，所以不满足AB//平面MNP，故D错误；
故选：C.
【分析】由AB与平面MNP相交，判断A；由AB//EM ，结合E不在平面NGFMPH判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D.
10．（2023高一下·浙江期中）若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，，那么
B．若，，那么
C．若，，那么
D．若，，那么
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】当，时，可以相交，A不正确；
当，时，，可以是异面直线，因此B不正确；
当，时，存在这一情况，所以C不正确；
根据面面平行的性质可知D符合题意，
故答案为：D
【分析】 ， 相交或平行，可判断A；m与n平行或异面，可判断B； 或 ，判断C；由面面平行的性质得 ，可判断D.
11．（2023·汕头模拟）已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线b与直线c可能是异面直线
B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）
D．直线c与平面可能平行
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】ABC选项，因为，，，
所以，
因为，所以，
所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB不符合题意，C符合题意；
D选项，假设直线c与平面平行，
假设直线c与平面 α 平行，由，可知，
这与矛盾，故假设不成立，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合异面直线的判断方法、线线平行的判断方法、线线相交的方法、线面平行的判定定理，逐项判断得出正确选项。
12．（2023·普陀模拟）设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若且，则
（2）若且，则
（3）若且，则
（4）若且，则
其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】若且，则或，故命题错误；
若且，则或为异面直线，故命题错误；
若且，则或，故命题错误；
若且，则或相交或异面，故命题错误.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面平行的判定定理，进而找出不正确的结论的个数。
13．（2023高二上·上海市期中）直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图在上图的正方体中，假设直线AD为直线a，直线AB为直线b，当直线为直线b时，则这时直线a与直线b异面，当直线BC为直线b时，直线a与直线b平行，当直线为直线b时，直线a与直线b相交.
故答案为：D.
【分析】以正方体建立具体模型进行分类讨论即可求解.
二、多项选择题
14．（2023高一下·临泉月考）下列命题中正确的是（ ）
A．平面平面，一条直线a平行于平面，则a一定平行于平面
B．平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】 A、平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，直线a可能在平面β内，a不一定平行于平面β，A错误；
B、平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β，符合面面平行的定义，B正确；
C、一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，符合面面平行的判定定理，C正确；
D、分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，D正确；
故答案为：BCD．
【分析】根据空间几何体的线面位置关系判定逐一分析即可.
15．（2023高一下·宁波期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行
D．平行于同一平面的两个平面平行
【答案】A,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】对于A：根据平行线的传递性可知平行于同一直线的两条直线平行，A为真命题；
对于B：平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，B为假命题；
对于C：平行于同一直线的两个平面的位置关系有：平行或相交，C为假命题；
对于D：根据空间中面面的位置关系可知平行于同一平面的两个平面平行，D为真命题；
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出真命题的选项。
16．已知直线，平面，下列能推出的选项有（ ）
有以下条件：
A．与内一条直线平行；
B．与内所有直线都没有公共点；
C．与无公共点；
D．不在内，且与内的一条直线平行.
【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】A. 与 内一条直线平行， 可能在 内，故 错误；
和 是直线与平面平行的定义，故 正确；
是直线与平面平行的判定定理，能推出 ，故 正确；
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理，进而找出正确的选项。
17．（2023高二上·重庆市开学考）设，是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
【答案】A,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：A选项为线面平行判定定理， ，，，可由线线平行推出线面平行A正确
B选项当平面相交时除了 直线a与b还可能异面，B错误
C 选项除了 ，平面相交时也能满足条件，C错误
D选项为面面平行的性质定理， ，， 可得出交线a，b平行D正确
故答案为：AD.
【分析】本题考查线面平行以及面面平行的判定及性质定理，根据教材性质定理画图可得出结论。
18．（2023高二下·深圳期末）设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】A选项，，，则m，n可能平行，异面或者相交，A错误。
B选项，，，m，n不一定为相交直线，只有m，n相交时才可以得到，B错误。
C选项，当，时可能是，不一定是，C错误。
D选项，根据面面平行的性质可得，D正确。
故选ABC.
【分析】根据直线与直线的关系可以判断A，面面平行的判定定理判定B，线面的位置关系可以判断C，根据面面平行的性质可以判断D。
19．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是线段，的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A,B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】如图，连接
因为四边形 是平行四边形，且 是 的中点，
所以 是 的中点，所以 ，
则 平面 ， 平面 ，故 ， 正确；
因为 ，所以 平面 假设 平面 ，
又 ，则平面 平面
因为平面 与平面 相交，则假设不成立，
即 平面 不成立，故 错误；
同理可得 错误．
故答案为：AB
【分析】利用已知条件结合四棱锥和平行四边形的结构特征，再结合中点的性质和线面平行的判定定理，进而找出正确的选项。
20．如图：在空间四边形中，平面四边形的四个顶点分别是上的点，当平面时，下面结论正确的是（ ）
A．一定是各边的中点
B．一定是的中点
C．，且
D．四边形是平行四边形或梯形
【答案】C,D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】由 平面 ，
平面 平面 ，
，
同理， ，
，故四边形 是平行四边形或梯形，
，同理 ，
故 、 正确， 、 错误.
故答案为：CD
【分析】由 平面 结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以 ，同理， ，再结合平行的传递性得出 ，故四边形 是平行四边形或梯形，再结合线段平行对应边成比例得出 ，同理得出 ，进而找出结论正确的选项。
三、填空题
21．（2023高二上·上海市期中）设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的 条件.（填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “不充分不必要”）
【答案】必要不充分
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：当时，过m的平面与平面可能平行也可能相交（平面内有两条相交直线与平面平行，才能证明）
故：，当时，则内的任意一条直线都与平行，故当，且时，，
综上所述：时的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
【分析】根据平面平行，线面平行的性质与判定结合充分、必要条件的判定即可求解.
22．（2023高二下·杨浦期末） “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 命题（填“真”或“假”）.
【答案】假
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若直线平面，直线在平面上，则直线直线或直线与直线异面。
故答案为：假
【分析】利用空间直线和平面位置关系判断。
23．已知和是异面直线，且，，，，则平面与的位置关系是
【答案】平行
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：可用反证法：
假设平面与不平行，则，
平面，，
平面，，，
，
这与和是异面直线相矛盾，
故.
故答案为：平行.
【分析】用反证法分析证明其矛盾即可.
24．（2023·青浦模拟）直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 ．
【答案】平行或相交
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】因为直线a，b确定一个平面，
所以a，b的位置关系为平行或相交，
故答案为：平行或相交
【分析】利用已知条件结合平面的确定方法和两直线位置关系的判断方法，进而判断出直线 a、b的位置关系。
25．在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足条件 时，有平面平面
【答案】Q为CC1的中点
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】 为 的中点时，有平面 平面
故答案为Q为CC1的中点.
【分析】利用已知条件结合中点的性质得出面面平行，再利用面面平行的性质定理，进而判断出Q为CC1的中点。
26．（2023高二上·浦东期末）过平面外一点与该平面平行的平面有 个．
【答案】1
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】由面面平行的传递性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，则平面β∥平面γ，
假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，则这些平面均相交，与上述结论相矛盾，
所以假设不成立，
所以过平面外一点与该平面平行的平面有1个．
故答案为：1．
【分析】假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，由面面平行的性质推出矛盾，得出结果为1.
27．（2022高二下·虹口期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为 ．
【答案】相交
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交.
故答案为：相交.
【分析】根据两平面位置关系的定义判断可出结论.
28．（2022高一下·常州月考）一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与AB的位置关系为 （填平行、相交、异面）.
【答案】异面
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】如图，是展开图还原后的正方体，
由于平面，平面，，平面，
所以直线与是异面直线．
故答案为：异面．
【分析】把展开图折叠为正方体，再由直线间的位置关系判断，可得答案 .
29．（2021高一下·河东期末）如图， ， ， ， ，则CD与EF的位置关系为 ．
【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合线线平行推出线面平行，再利用线面平行的性质定理，从而推出线线平行，进而推出CD与EF的位置关系。
30．（2021高一下·延庆期末）在空间中，两条平行直线是指 ，并且没有公共点的两条直线.
【答案】在同一平面内
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】根于定义：在空间中，两条平行直线是指在同一平面内，并且没有公共点的两条直线.
故答案为：在同一平面内.
【分析】根据空间中两条平行线的定义可得答案。
31．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是上的动点，当 时，平面
【答案】
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】如图，
设 ， 在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 上的动点， 是 中点， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 共面于面 ， ， 是 中点， 当 时， 平面
【分析】设 ，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 上的动点，所以点O是 中点，再利用 平面 结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以 ，所以 是 中点， 再利用中点的性质，得出当 时， 平面 。
32．（2022高二下·金坛期中）如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数是 （用数字作答）.
【答案】36
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】如下图所示：
若平面为长方体的表面上的某一个面，如底面，
则与底面平行的且由该长方体的两个顶点确定的直线有：、、、、、，共6条；
长方体有6个面，每个面都有6条直线组成“平行线面组”，所以有个
故答案为：36.
【分析】由长方体的几何性质结合线面平行的定义即可得出线线平行，再由“平行线面组”的定义即可得出答案。
33．（2021高一下·东城期末）已知 是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到 的是 ．（填入条件的序号即可）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
【答案】①④⑤（或②③⑤）
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】由 ， ， ，得 ；由 ， ， 得 。
故答案为：①④⑤（或②③⑤）。
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理，进而找出满足条件的序号。
34．（2021高一下·河西期末）已知平面 和直线a，b，c， ，则 与 的位置关系是 .
【答案】平行或相交
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若αβ，可以保证存在直线a，b，c，且abc，a α，b，c β，故平行关系有可能；
若α∩β=l，且abcl，此种情况下也能保证存在直线a，b，c，且abc，a α，b，c β，故两面相交也有可能，
由上讨论知，在题设条件下，α与β的关系是平行或相交。
故答案为：平行或相交。
【分析】利用已知条件结合面面平行位置关系判断方法，从而推出两平面 与 的位置关系 。
四、解答题
35．（2023高二上·重庆市开学考）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若底面为边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积.
【答案】（1）解：连接交于点，连接，
因为四边形是矩形，则为的中点
又是的中点，，
又面，面，所以面；
（2）解：，是的中点，，
又平面，平面，所以，
平面，平面，
由于平面，所以平面平面，
所以是三棱锥的高，
又，
所以；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】本题考查线面平行的判定定理和几何体体积
（1）根据题目条件得出 ，再由线面平行的判定定理证明。
（2）直接求体积不容易求高，可根据等体积法更换顶点得 。
36．（2023高二上·长沙开学考）如图，在四棱锥中，，平面，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：在四棱锥中，取中点，连接，，
由，
得四边形是菱形，且，
因为，分别为，的中点，
则，，，
于是四边形是平行四边形，
即，
而平面，平面，
所以平面；
（2）解：解：由知，，平面，平面，
则平面，
于是点到平面的距离等于点到平面的距离，
由平面，，平面，
得，，
而，
则，
则底边上的高，
于是的面积，
而，
由，得，
即，
解得，
所以点到平面的距离是．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)作出辅助线，利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)转化成求点到平面的距离，再利用等体积法求解作答.
37．（2023高三上·五华开学考）如图1，在梯形中，，点E在线段上，，将沿翻折至的位置，连接，点F为中点，连接，如图2，
（1）在线段上是否存在一点Q，使平面平面？若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由；
（2）当平面平面时，求三棱锥的体积，
【答案】（1）解：当Q是的中点时，平面平面，理由如下：
如图，连接，
依题意得，且，则，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面平面，所以平面，
因为分别为的中点，所以，
又平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面
（2）解：取的中点M，连接，
因为，则，
所以为边长为2的等边三角形，则，
因为，所以由余弦定理得，
所以在中，，则，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
因为F为的中点，所以F到平面的距离，
所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 先证 ，， 根据线面、面面平行的判定定理分析证明；
(2) 利用余弦定理可得 ， 根据面面垂直的性质定理可知 平面，利用转换顶点法求锥体体积.
38．（2023高一下·阎良期末）如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，为上靠近点的四等分点.
（1）证明：//平面；
（2）证明：平面//平面.
【答案】（1）证明：如图，连接，设与相交于点，连接，
因为四边形是正方形，则为的中点，又为的中点，
于是，，即四边形为平行四边形，则，
而平面，平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，因为，且，
则四边形都为平行边形，有，
于是四边形为平行四边形，即有，
而为上靠近点的四等分点，则为的中点，又为的中点，则，
因此，又平面，平面，则平面，
显然，又平面，平面，则平面，
而平面，
所以平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)先证明，再利用线面平行的判定定理即可得证；
(2)先证明平面和平面，利用面面平行的判定定理即可得证.
39．（2023高一下·汕尾期末）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，是线段上的动点.证明：
（1）平面；
（2）平面.
【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接.
∵为的中点，为的中点，
∴为的中位线，
∴.
又∵平面，平面，
∴平面
（2）证明：连接，，连接交于点，连接，如图.
在正方体中，，
∵平面，平面，
∴平面.
又为的中位线，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
又∵平面，平面，，
∴平面平面.
∵平面，
∴平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，进而结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 根据题意可得平面，平面，进而可得平面平面，结合面面平行的性质定理分析证明.
40．（2023高一下·安徽月考）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．
（1）判断多面体是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体的体积；
（3）求证：平面平面AB1D．
【答案】（1）解：多面体不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.
（2）解：易知三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
故多面体的体积．
（3）解：因为D，E分别是，AC的中点，所以，
所以四边形为平行四边形
所以．又平面，平面，所以平面．
易知，得四边形为平行四边形．
所以，又平面，平面，所以平面．
而，BE，平面，
所以平面平面．
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件和棱柱的概念判断即可；
（2）利用间接法求多面体的体积，即；
（3）利用已知条件可证得四边形BB1DE和四边形ADC1E都是平行四边形，进而得到 ， ，利用线面平行的判定定理可得： 平面 ， 平面 ，再利用面面平行的判定定理即可得证.
41．（2023高一下·黔西期末）如图，在正方体中，是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面.
（2）解：因为正方体中，平面，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）在平面AEC内找到直线OE，利用三角形的中位线证明BD1∥OE，再利用线面平行的判定定理证明BD1∥平面AEC即可；
（2）利用换底、换高的方法，将求VD-AEC转化为求VA-DEC，求得S△DEC，证明AD⊥面DEC，即证明AD为三棱锥的高，最后利用体积公式求解即可.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.5 空间直线、平面的平行 同步练习
一、选择题
1．（2023高一下·资阳期末）能使平面与平面平行的一个条件是（ ）
A．与都平行于同一条直线
B．一条直线l分别与和所成的角相等
C．内有无数条直线都与平行
D．内的任何一条直线都与平行
2．（2023高一下·河南月考）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高一下·浙江期中） 设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·玉林模拟）设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一个平面
5．（2023高二上·大庆开学考）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，则
6．（2023高一下·炎陵期末）在空间中给出下列命题：（1）垂直于同一直线的两直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）平行于同一直线的两直线平行．（4）垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023高一下·房山期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023高二下·安徽月考）若直线平面，直线平面，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．，共面 C． D．，无交点
9．（2023高一下·温州期末）下列正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，则能满足平面的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高一下·浙江期中）若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）
A．若，，那么
B．若，，那么
C．若，，那么
D．若，，那么
11．（2023·汕头模拟）已知，，是三个平面，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线b与直线c可能是异面直线
B．直线a与直线c可能平行
C．直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）
D．直线c与平面可能平行
12．（2023·普陀模拟）设a，b表示空间的两条直线，α表示平面，给出下列结论：
（1）若且，则
（2）若且，则
（3）若且，则
（4）若且，则
其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2023高二上·上海市期中）直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
二、多项选择题
14．（2023高一下·临泉月考）下列命题中正确的是（ ）
A．平面平面，一条直线a平行于平面，则a一定平行于平面
B．平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
15．（2023高一下·宁波期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一直线的两条直线平行
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行
D．平行于同一平面的两个平面平行
16．已知直线，平面，下列能推出的选项有（ ）
有以下条件：
A．与内一条直线平行；
B．与内所有直线都没有公共点；
C．与无公共点；
D．不在内，且与内的一条直线平行.
17．（2023高二上·重庆市开学考）设，是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
18．（2023高二下·深圳期末）设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
19．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，分别是线段，的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
20．如图：在空间四边形中，平面四边形的四个顶点分别是上的点，当平面时，下面结论正确的是（ ）
A．一定是各边的中点
B．一定是的中点
C．，且
D．四边形是平行四边形或梯形
三、填空题
21．（2023高二上·上海市期中）设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的 条件.（填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “不充分不必要”）
22．（2023高二下·杨浦期末） “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是 命题（填“真”或“假”）.
23．已知和是异面直线，且，，，，则平面与的位置关系是
24．（2023·青浦模拟）直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 ．
25．在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，则点满足条件 时，有平面平面
26．（2023高二上·浦东期末）过平面外一点与该平面平行的平面有 个．
27．（2022高二下·虹口期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为 ．
28．（2022高一下·常州月考）一正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中，直线MN与AB的位置关系为 （填平行、相交、异面）.
29．（2021高一下·河东期末）如图， ， ， ， ，则CD与EF的位置关系为 ．
30．（2021高一下·延庆期末）在空间中，两条平行直线是指 ，并且没有公共点的两条直线.
31．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是上的动点，当 时，平面
32．（2022高二下·金坛期中）如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.过长方体的任意两个顶点的直线与长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数是 （用数字作答）.
33．（2021高一下·东城期末）已知 是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到 的是 ．（填入条件的序号即可）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
34．（2021高一下·河西期末）已知平面 和直线a，b，c， ，则 与 的位置关系是 .
四、解答题
35．（2023高二上·重庆市开学考）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若底面为边长为2的正三角形，，求三棱锥的体积.
36．（2023高二上·长沙开学考）如图，在四棱锥中，，平面，，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
37．（2023高三上·五华开学考）如图1，在梯形中，，点E在线段上，，将沿翻折至的位置，连接，点F为中点，连接，如图2，
（1）在线段上是否存在一点Q，使平面平面？若存在，请确定点Q的位置，若不存在，请说明理由；
（2）当平面平面时，求三棱锥的体积，
38．（2023高一下·阎良期末）如图，在几何体中，已知四边形是正方形，，分别为的中点，为上靠近点的四等分点.
（1）证明：//平面；
（2）证明：平面//平面.
39．（2023高一下·汕尾期末）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，是线段上的动点.证明：
（1）平面；
（2）平面.
40．（2023高一下·安徽月考）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．
（1）判断多面体是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体的体积；
（3）求证：平面平面AB1D．
41．（2023高一下·黔西期末）如图，在正方体中，是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A、 设两平面相交，交线为a，平面外直线为b，当a平行b时，根据线面平行的判定定理可知，直线b和两平面平行，但两平面相交，故A不符合；
B、若平面与平面相互垂直，直线与平面和平面都平行，则直线与平面和成的角相等为0，此时梁平面相交，与题设平面和平行矛盾，故B不符合；
C、设平面与平面的交线为直线，，则a不在内，则，则内所有与a平行的直线都与平行，即平面内有无数条直线都与平面平行，而平面与平面不平行，故C不符合；
D、若平面内的任何一条直线都与平面平行，则平面与平面没有公共点，故平面与平面平行，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】设两平面相交，根据线面平行的判定定理，判断A；通过取特殊位置两平面垂直，线平行于平面排除B；通过取特殊位置，再结合线面平行的判定定理即可判断C；两个平面平行的定义：若平面与平面没有公共点，则平面与平面平行.根据条件可得平面与平面没有公共点，再根据平面与平面平行的定义即可判断D.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：若，且，
则平行或异面，所以“”是“”的不充分条件；
②若，则平行或相交，所以“”是“
”的不必要条件；
综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】根据线面位置关系结合充分、必要条件分析判断.
3．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】
如果两平面平行，那么平面中的所有直线有可能平行，也有可能异面，所以不充分
如果两直线平行，两个平面有可能平行，也有可能相交，所以也并不必要
【分析】需要根据平面与直线平行的性质与判定双向思考，从而得出答案
4．【答案】B
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误；
B选项，平行于同一个平面，则，B选项正确；
C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误；
D选项，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用线面，面面平行，垂直的判定及性质对各个选项进行分析即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A： 若，，则 或异面，故A错误；
对于B： 若，，，则 或异面，故B错误；
对于C： 若，，，则或相交，故C错误；
对于D： 若，则 ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据空间线、面位置关系分析判断ABC；对于D：根据线面平行的判定定理分析判断.
6．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：参考正方体图形可知，空间中垂直于同一直线的两条直线可以相交，故（1）错误；两条直线没有公共点，两条直线可以异面，故（2）错误；根据平行公理，平行于同一直线的两直线平行，故（3）正确；根据直线与平面垂直的性质，可知垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
故答案为：B.
【分析】根据空间中线线位置关系以及线面位置关系的判定及性质，逐项判断即可.
7．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】 由面面平行的性质可得 且 充分性成立；
当m//n时，若 ， 且 ，则 可能平行或相交，故必要性不成立；
故选：A.
【分析】由面面平行的判定与性质判断结合充分条件和必要条件的定义，即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】若 ， 直线平面 ，则 也可能相交，不一定 ，故必要性不成立，故A错误；
若，直线平面， 直线平面 ，此时 ， 有可能异面，故必要性不成立，故B错误；
若，直线平面， 直线平面 ，则m可以在平面a内，故必要性不成立，故C错误；
若，直线平面， 直线平面 ，则 ，一定无交点，故必要性成立，但 ，无交点时，不一定得到，故D正确.
故选：D.
【分析】根据线面平行的判定结合必要不充分条件的定义，逐项进行判断，可得答案.
9．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】解：对于A：连接MB，NC ，由图可知， AB与平面MNP相交，故不满足AB//平面MNP ，故A错误；
对于B：如图所示， G，H，F，E分别是所在棱的中点，连接NH，NG，GF，FM，EM，
则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为AB//EM ，
因为EM与平面NGFMPH相交，所以不满足AB//平面MNP，故B错误；
对于C：连接AD ，交MN与点O ，连接PO ，因为O， P分别为AD，BD中点，
所以PO//AB ，由线面平行的判定定理可知，AB//平面MNP，故C正确；
对于D： D，F，E分别是所在棱的中点，连接DN，NF，FM，ME，PE，DP，AC，
平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，
取AC的中点为O ，连接OM，由中位线定理可知， AB//OM，
因为MO与平面MNP相交，所以不满足AB//平面MNP，故D错误；
故选：C.
【分析】由AB与平面MNP相交，判断A；由AB//EM ，结合E不在平面NGFMPH判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D.
10．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】当，时，可以相交，A不正确；
当，时，，可以是异面直线，因此B不正确；
当，时，存在这一情况，所以C不正确；
根据面面平行的性质可知D符合题意，
故答案为：D
【分析】 ， 相交或平行，可判断A；m与n平行或异面，可判断B； 或 ，判断C；由面面平行的性质得 ，可判断D.
11．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】ABC选项，因为，，，
所以，
因为，所以，
所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），AB不符合题意，C符合题意；
D选项，假设直线c与平面平行，
假设直线c与平面 α 平行，由，可知，
这与矛盾，故假设不成立，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合异面直线的判断方法、线线平行的判断方法、线线相交的方法、线面平行的判定定理，逐项判断得出正确选项。
12．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】若且，则或，故命题错误；
若且，则或为异面直线，故命题错误；
若且，则或，故命题错误；
若且，则或相交或异面，故命题错误.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线面平行的判定定理，进而找出不正确的结论的个数。
13．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：如图在上图的正方体中，假设直线AD为直线a，直线AB为直线b，当直线为直线b时，则这时直线a与直线b异面，当直线BC为直线b时，直线a与直线b平行，当直线为直线b时，直线a与直线b相交.
故答案为：D.
【分析】以正方体建立具体模型进行分类讨论即可求解.
14．【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】 A、平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，直线a可能在平面β内，a不一定平行于平面β，A错误；
B、平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β，符合面面平行的定义，B正确；
C、一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，符合面面平行的判定定理，C正确；
D、分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，D正确；
故答案为：BCD．
【分析】根据空间几何体的线面位置关系判定逐一分析即可.
15．【答案】A,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】对于A：根据平行线的传递性可知平行于同一直线的两条直线平行，A为真命题；
对于B：平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，B为假命题；
对于C：平行于同一直线的两个平面的位置关系有：平行或相交，C为假命题；
对于D：根据空间中面面的位置关系可知平行于同一平面的两个平面平行，D为真命题；
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理，进而找出真命题的选项。
16．【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】A. 与 内一条直线平行， 可能在 内，故 错误；
和 是直线与平面平行的定义，故 正确；
是直线与平面平行的判定定理，能推出 ，故 正确；
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理，进而找出正确的选项。
17．【答案】A,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：A选项为线面平行判定定理， ，，，可由线线平行推出线面平行A正确
B选项当平面相交时除了 直线a与b还可能异面，B错误
C 选项除了 ，平面相交时也能满足条件，C错误
D选项为面面平行的性质定理， ，， 可得出交线a，b平行D正确
故答案为：AD.
【分析】本题考查线面平行以及面面平行的判定及性质定理，根据教材性质定理画图可得出结论。
18．【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】A选项，，，则m，n可能平行，异面或者相交，A错误。
B选项，，，m，n不一定为相交直线，只有m，n相交时才可以得到，B错误。
C选项，当，时可能是，不一定是，C错误。
D选项，根据面面平行的性质可得，D正确。
故选ABC.
【分析】根据直线与直线的关系可以判断A，面面平行的判定定理判定B，线面的位置关系可以判断C，根据面面平行的性质可以判断D。
19．【答案】A,B
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】如图，连接
因为四边形 是平行四边形，且 是 的中点，
所以 是 的中点，所以 ，
则 平面 ， 平面 ，故 ， 正确；
因为 ，所以 平面 假设 平面 ，
又 ，则平面 平面
因为平面 与平面 相交，则假设不成立，
即 平面 不成立，故 错误；
同理可得 错误．
故答案为：AB
【分析】利用已知条件结合四棱锥和平行四边形的结构特征，再结合中点的性质和线面平行的判定定理，进而找出正确的选项。
20．【答案】C,D
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】由 平面 ，
平面 平面 ，
，
同理， ，
，故四边形 是平行四边形或梯形，
，同理 ，
故 、 正确， 、 错误.
故答案为：CD
【分析】由 平面 结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以 ，同理， ，再结合平行的传递性得出 ，故四边形 是平行四边形或梯形，再结合线段平行对应边成比例得出 ，同理得出 ，进而找出结论正确的选项。
21．【答案】必要不充分
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：当时，过m的平面与平面可能平行也可能相交（平面内有两条相交直线与平面平行，才能证明）
故：，当时，则内的任意一条直线都与平行，故当，且时，，
综上所述：时的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
【分析】根据平面平行，线面平行的性质与判定结合充分、必要条件的判定即可求解.
22．【答案】假
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】若直线平面，直线在平面上，则直线直线或直线与直线异面。
故答案为：假
【分析】利用空间直线和平面位置关系判断。
23．【答案】平行
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：可用反证法：
假设平面与不平行，则，
平面，，
平面，，，
，
这与和是异面直线相矛盾，
故.
故答案为：平行.
【分析】用反证法分析证明其矛盾即可.
24．【答案】平行或相交
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】因为直线a，b确定一个平面，
所以a，b的位置关系为平行或相交，
故答案为：平行或相交
【分析】利用已知条件结合平面的确定方法和两直线位置关系的判断方法，进而判断出直线 a、b的位置关系。
25．【答案】Q为CC1的中点
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】 为 的中点时，有平面 平面
故答案为Q为CC1的中点.
【分析】利用已知条件结合中点的性质得出面面平行，再利用面面平行的性质定理，进而判断出Q为CC1的中点。
26．【答案】1
【知识点】平面与平面平行的判定
【解析】【解答】由面面平行的传递性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，则平面β∥平面γ，
假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，则这些平面均相交，与上述结论相矛盾，
所以假设不成立，
所以过平面外一点与该平面平行的平面有1个．
故答案为：1．
【分析】假设过平面外一点与该平面平行的平面不止一个，由面面平行的性质推出矛盾，得出结果为1.
27．【答案】相交
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交.
故答案为：相交.
【分析】根据两平面位置关系的定义判断可出结论.
28．【答案】异面
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】如图，是展开图还原后的正方体，
由于平面，平面，，平面，
所以直线与是异面直线．
故答案为：异面．
【分析】把展开图折叠为正方体，再由直线间的位置关系判断，可得答案 .
29．【答案】
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合线线平行推出线面平行，再利用线面平行的性质定理，从而推出线线平行，进而推出CD与EF的位置关系。
30．【答案】在同一平面内
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】根于定义：在空间中，两条平行直线是指在同一平面内，并且没有公共点的两条直线.
故答案为：在同一平面内.
【分析】根据空间中两条平行线的定义可得答案。
31．【答案】
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】如图，
设 ， 在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 上的动点， 是 中点， 平面 ， 平面 ， 平面 ，又 共面于面 ， ， 是 中点， 当 时， 平面
【分析】设 ，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 上的动点，所以点O是 中点，再利用 平面 结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以 ，所以 是 中点， 再利用中点的性质，得出当 时， 平面 。
32．【答案】36
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】如下图所示：
若平面为长方体的表面上的某一个面，如底面，
则与底面平行的且由该长方体的两个顶点确定的直线有：、、、、、，共6条；
长方体有6个面，每个面都有6条直线组成“平行线面组”，所以有个
故答案为：36.
【分析】由长方体的几何性质结合线面平行的定义即可得出线线平行，再由“平行线面组”的定义即可得出答案。
33．【答案】①④⑤（或②③⑤）
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【解答】由 ， ， ，得 ；由 ， ， 得 。
故答案为：①④⑤（或②③⑤）。
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理，进而找出满足条件的序号。
34．【答案】平行或相交
【知识点】平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若αβ，可以保证存在直线a，b，c，且abc，a α，b，c β，故平行关系有可能；
若α∩β=l，且abcl，此种情况下也能保证存在直线a，b，c，且abc，a α，b，c β，故两面相交也有可能，
由上讨论知，在题设条件下，α与β的关系是平行或相交。
故答案为：平行或相交。
【分析】利用已知条件结合面面平行位置关系判断方法，从而推出两平面 与 的位置关系 。
35．【答案】（1）解：连接交于点，连接，
因为四边形是矩形，则为的中点
又是的中点，，
又面，面，所以面；
（2）解：，是的中点，，
又平面，平面，所以，
平面，平面，
由于平面，所以平面平面，
所以是三棱锥的高，
又，
所以；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】本题考查线面平行的判定定理和几何体体积
（1）根据题目条件得出 ，再由线面平行的判定定理证明。
（2）直接求体积不容易求高，可根据等体积法更换顶点得 。
36．【答案】（1）证明：在四棱锥中，取中点，连接，，
由，
得四边形是菱形，且，
因为，分别为，的中点，
则，，，
于是四边形是平行四边形，
即，
而平面，平面，
所以平面；
（2）解：解：由知，，平面，平面，
则平面，
于是点到平面的距离等于点到平面的距离，
由平面，，平面，
得，，
而，
则，
则底边上的高，
于是的面积，
而，
由，得，
即，
解得，
所以点到平面的距离是．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)作出辅助线，利用线面平行的判定定理证明即可；
(2)转化成求点到平面的距离，再利用等体积法求解作答.
37．【答案】（1）解：当Q是的中点时，平面平面，理由如下：
如图，连接，
依题意得，且，则，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面平面，所以平面，
因为分别为的中点，所以，
又平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面
（2）解：取的中点M，连接，
因为，则，
所以为边长为2的等边三角形，则，
因为，所以由余弦定理得，
所以在中，，则，
因为平面平面，平面平面平面，所以平面，
因为F为的中点，所以F到平面的距离，
所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 先证 ，， 根据线面、面面平行的判定定理分析证明；
(2) 利用余弦定理可得 ， 根据面面垂直的性质定理可知 平面，利用转换顶点法求锥体体积.
38．【答案】（1）证明：如图，连接，设与相交于点，连接，
因为四边形是正方形，则为的中点，又为的中点，
于是，，即四边形为平行四边形，则，
而平面，平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接，因为，且，
则四边形都为平行边形，有，
于是四边形为平行四边形，即有，
而为上靠近点的四等分点，则为的中点，又为的中点，则，
因此，又平面，平面，则平面，
显然，又平面，平面，则平面，
而平面，
所以平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)先证明，再利用线面平行的判定定理即可得证；
(2)先证明平面和平面，利用面面平行的判定定理即可得证.
39．【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接.
∵为的中点，为的中点，
∴为的中位线，
∴.
又∵平面，平面，
∴平面
（2）证明：连接，，连接交于点，连接，如图.
在正方体中，，
∵平面，平面，
∴平面.
又为的中位线，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
又∵平面，平面，，
∴平面平面.
∵平面，
∴平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，进而结合线面平行的判定定理分析证明；
(2) 根据题意可得平面，平面，进而可得平面平面，结合面面平行的性质定理分析证明.
40．【答案】（1）解：多面体不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.
（2）解：易知三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
故多面体的体积．
（3）解：因为D，E分别是，AC的中点，所以，
所以四边形为平行四边形
所以．又平面，平面，所以平面．
易知，得四边形为平行四边形．
所以，又平面，平面，所以平面．
而，BE，平面，
所以平面平面．
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件和棱柱的概念判断即可；
（2）利用间接法求多面体的体积，即；
（3）利用已知条件可证得四边形BB1DE和四边形ADC1E都是平行四边形，进而得到 ， ，利用线面平行的判定定理可得： 平面 ， 平面 ，再利用面面平行的判定定理即可得证.
41．【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面.
（2）解：因为正方体中，平面，
所以.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）在平面AEC内找到直线OE，利用三角形的中位线证明BD1∥OE，再利用线面平行的判定定理证明BD1∥平面AEC即可；
（2）利用换底、换高的方法，将求VD-AEC转化为求VA-DEC，求得S△DEC，证明AD⊥面DEC，即证明AD为三棱锥的高，最后利用体积公式求解即可.
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