2023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.6 空间直线、平面的垂直 同步练习
一、选择题
1．（2023高三上·北京市期中）已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．（2023高三上·福州期中）已知是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
3．（2023高二上·南宁开学考）已知，是平面，，是直线．下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
4．（2023高三上·长沙月考）在矩形中，，，现将沿折起成，折起过程中，当时，四面体体积为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023高二上·东阳开学考）在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
6．（2023高二上·郫都月考）已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2023高二上·吉林开学考）已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线a、b，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
8．（2023高三上·辉南月考）设为平面，为直线，则的一个充分条件是
A． B．
C． D．
9．（2024高三上·成都模拟）点、在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，下列说法中正确的个数是（ ）
①平面；②平面平面；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2023高一下·上饶期末）如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（ ）
A．2 B． C． D．
11．（2023高一下·苏州期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，与相交，则
12．（2023高一下·保山期末）已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A．若∥，∥，则∥
B．若，，则
C．若，∥，且，则
D．若，，且，则
13．（2023高一下·汕尾期末）已知直线，，和平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
14．（2023高二下·联合期末）如图，在正四棱台中，，则与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023高一下·龙岩期末）如图，在正方体中，，为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则平面平面
C．若，，则
D．若，，则平面
二、多项选择题
16．（2023高三上·南京期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
17．（2023高二上·重庆市期中）如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥 D．平面平面
18．（2023高二上·乐清开学考）在空间中，设为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
19．（2023高三上·济南开学考）如图，棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A．直线平面
B．直线平面
C．
D．过，，三点的平面截正方体的截面面积为
20．（2023高三上·武鸣开学考）点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的个数是（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．sinα=cos
三、填空题
21．（2023高二下·虹口期末）如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有 个.
22．已知 ， 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
① ；
② ；
③ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
23．已知，表示直线，，，表示平面．
①若，，，则；
②若，垂直于内任意一条直线，则；
③若，，，则；
④若，，，则
上述命题中，正确命题的序号是 .
24．（2022高三上·惠州开学考）如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
25．（2023高二上·柳州开学考）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m，n不重合，由下列条件：
①m⊥n，m⊥β；②n α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n α；
能推得n∥β的条件是 ．
四、解答题
26．（2023高二上·郫都月考）四棱锥的底面为正方形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：．
27．（2023高三上·北京市期中）如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点.
（1）若点为线段中点，求证：平面；
（2）求证：平面.
28．（2023高三上·武侯期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，，，点M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）求四面体PMND的体积．
29．（2023高二上·阳江期中）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.
（1）证明：；
（2）若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.
30．（2023高二上·丰台期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.
条件①：；
条件②：平面平面.
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
（1）求证：；
（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
31．（2023高三上·佛山月考）如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC.
（1）若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；
（2）设四棱锥M -ABB1A1与四棱柱ABCD -A1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求的值．
32．（2023高二上·深圳月考）如图，在三棱锥中，底面为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
33．（2023高二上·成都月考）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：.
34．（2023高三上·西安开学考）如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
35．（2023高二上·芜湖开学考）如图所示，在正方体中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）
求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
36．（2023·）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求证平面平面．
37．（2023高二上·芜湖开学考）如图所示，在正方体中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）
求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
38．（2023高二上·大庆开学考）如图，四棱锥中，底面 是矩形，， 底面， 分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
39．（2023高二上·大庆开学考）如图，在四棱锥中，平面，，，且.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A选项：当时，则平行关系不成立，则A选项错误；
对于B选项：，则直线的关系可以是平行也可以是异面，故B选项错误，
对于C选项：有线面垂直判定定理知：需要垂直内的两条相交直线才能得到，故C选项错误，
对于D选项：根据线面垂直的性质定理可知：，则，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据线面的位置关系、线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质进行依次判定即可.
2．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：选项A：如图所示，，，但，所以A错；
选项B：如图所示，所以，，，所以B错；
选项C：因为，，，所以，则，所以C对；
选项D：若，，，，则或相交，所以D错。
故答案为：C.
【分析】利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和线面位置关系判断方法，进而找出正确的选项。
3．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： A：若，，由直线与平面垂直的判定定理等 ，故A正确；
B：若，，则m与n平行或异面，故B错误；
c：若， ，由平面与平面平行的判定定理得 ，故C正确；
D： 若， ，由平面与平面垂直的判定定理得 则 ，故D正确。
故答案为：B
【分析】选项A，考查直线与平面垂直的判定定理；选项B，考查直线与直线的位置关系；选项C，考查平面与平面平行的位置关系；选项D考查平面与平面垂直的位置关系.
4．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：从矩形中可知，，
即，
因为，
所以，
从而得到，
所以
因为，
所以，
所以，
又因为线面垂直，所以
所以，
故答案为：B.
【分析】首先根据两组线线垂直，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到，结合勾股定理得到值，再次通过勾股定理证出线线垂直，最终利用锥形体积公式，得到四面体的体积.
5．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A： 若， 则 或 相交或异面，故A错误；
对于B： 若，则 或，故B错误；
对于C： 若，， 因为没有 是否在平面内，
根据面面垂直的性质定理无法判断与平面的位置关系，故C错误；
对于D： 若，则，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据空间中平行、垂直关系逐项分析判断.
6．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若，，，又， 或与是异面直线，A错误；
B、若，则，又，，B正确；
C、，又，，又，或，C错误；
D、，，则，又，，或与相交不一定垂直，D错误.
故答案为：B.
【分析】A、若，则 或与是异面直线，判断A；B、利用线面垂直的性质判断B；C、若，，则或，判断C；D、若，，则或与相交不一定垂直，判断D.
7．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A： 若，，则或 与相交，故A错误；
对于B： 若， ，则，且 ，所以 ，故B正确；
对于C： 若，，，则b与β可能相交也可能平行，故C错误；
对于D： 若，，则或 与相交，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断.
8．【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A：根据面面垂直的性质，因为缺少 ，无法得到 ，故A错误；
对于B：若 ，才可得到 ，故B错误；
对于C：因为 ，可知 或 ，故C错误；
对于D：因为 ，则 ，且 ，所以，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据线面位置关系结合充分条件逐项分析判断.
9．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图，点、在以为直径的球的表面上，所以，
又，，平面PAB，所以平面，故①正确；
因为，由①可得，，所以平面，
又平面所以平面平面，故②正确；
假设，又，，所以平面，由②知平面，
所以，这显然矛盾，所以假设不成立，故③错误，所以正确的个数是2.
故答案为：C.
【分析】利用与结合线面垂直的判定定理可得①正确，由及结合面面垂直的判定定理可得②正确，对于③可采用反证法判断.
10．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：是边长为2的等边三角形，
因为平面，平面，则，
又因为为正方形，则，
且，平面，所以平面，
且平面，则，
同理可得：，
且，平面，所以平面．
设平面，由对称性可知：H是的中心，
连接，
因为平面，点N形成图形是棱在平面内的射影线段构成的，
且在平面AB1D1上的射影分别为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意可证平面，结合题意可知点N形成图形是棱在平面内的射影线为，运算求解即可.
11．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A 选项是面面垂直的判定定理故A选项正确.
B 若，则在平面内存在直线b有，则故B选项正确.
C 若，，则有可能平行也有可能相交，故C选项不正确.
D选项是面面平行的判定定理故D选项正确.
故答案为：C
【分析】由线面平行和垂直的定义和判定定理逐一判定即可.
12．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解： 若m//a，n//a，可得m与n相交、平行或异面，故A错误；
若，，可得m//n，故B错误；
若，∥，且，可得a与β平行或相交，故C错误；
若，，且，可得a⊥β，故D正确.
故答案为：D.
【分析】 利用线面垂直的性质，面面垂直的判定以及面面平行的判定定理逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对A：若，，则或 ，故A错误；
对B：若，，，，则，故B正确；
对C：若，，，，根据线面垂直的判定定理可知：当且仅当相交时，才可得，故C错误；
对D：若，则或 ，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间中线面关系结合平行、垂直关系逐项分析判断.
14．【答案】B
【知识点】棱台的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】将该正四棱台补成正四棱锥，设ABCD的中心为O，如图：
连接PO，设，
因为，则，，
所以，
又因为，所以，
由正棱锥的性质可知底面ABCD，底面ABCD，所以，
因为四边形ABCD是正方形，所以，而平面PDB，
所以平面PDB，则与平面所成角为，
因为，则在直角三角形PAO中，，
且，所以.
故答案为：B
【分析】将该正四棱台补成正四棱锥，根据线面角定义法分析可得与平面所成角为，在直角三角形中求解即可.
15．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A： 因为平面ABCD，平面ABCD，则，
且，，平面，
所以 平面，
若，， 则平面，所以，故A正确；
对于B：由A可知： 平面，因为，则 平面，
若，，则平面即为平面，
且平面 ，所以平面BEF⊥平面 ，故B正确；
对于C： 当 ， 时，则平面，则EF与 共面，
不一定平行，故C错误；
对于D：因为，平面，平面，所以
同理平面，且，所以平面 //平面，
若 ， ，则平面，所以EF//平面，故D正确；
故答案为：C.
【分析】对于A：根据题意可证 平面，进而可得结果；对于B：结合选项A可得 平面，进而可得结果；对于C：结合共面直线的位置关系分析判断；对于D：可证平面 //平面，结合面面平行的性质分析判断.
16．【答案】A,B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由 是两条不同的直线，是两个不同的平面，
对于A中，若 ，则由线面垂直的性质定理，可得，所以A正确；
对于B中，若 ，则由面面垂直，线面垂直的性质，可得，所以B正确；
对于C中，若 ，则与相交、平行或，所以C错误；
对于D中，若 ，则与相交或平行，所以D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据题意，根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
17．【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于A， 平面平面，BD平面ABD，平面ABD平面ACD=AD，
BDAD ， BD平面ACD，又AC平面ACD，BDAC，故A正确.
对于B、C，BD平面ACD，CD平面ACD， BDCD ，又BDAD ，CDAD ，AD=BD=CD. AB=BC=AC， 是等边三角形，三棱锥D-ABC是正三棱锥，故B、C正确.
对于D，假设成立，在平面ABC内过B做BHAC，垂足为H，则 BH平面ACD，又 BD平面ACD，
与“过平面外一点有且只有一条直线垂直于该平面”矛盾，故D错误.
故答案为：A、B、C.
【分析】对于A，根据面面垂直的性质即可得BDAC，故A正确.对于B、C，根据正三棱锥定义可判定B、C正确.对于D，用反证法即可判断D错误.
18．【答案】A,D
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： A、∵m∥α，∴可取直线l，l∥m且lα，∵l∥m，m⊥β，∴l⊥β，又∵lα，∴α⊥β，A正确；
B、若α⊥β，m∥α，则m∥β，mβ或m与β相交，B错误；
C、若α∥β，mα，nβ，则m∥n，m与n相交，m与n异面，C错误；
D、∵α⊥β，令α∩β=l1，可取直线l2，l2α且l1⊥l2，可得l2⊥β，又∵n⊥β，∴l2∥n，∵m⊥α，l2α，∴m⊥l2，又∵l2∥n，可得m⊥n，D正确；
故答案为：AD.
【分析】利用面面垂直的判定定理可得α⊥β判断A，若α⊥β，m∥α，则m∥β，mβ或m与β相交判断B，若α∥β，mα，nβ，则m∥n，m与n相交，m与n异面判断C，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得m⊥n判断D.
19．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图所示，因为该几何体是正方体，
平面 ABCD，平面 ABCD，则，
连接 AC， 可得 ，
又 平面，
平面， 而 平面 ， 则 ，
同理可知 ，平面 ，
得到直线 平面 ， 故 A 正确；
连接 ，因为点分别是棱 的中点， ，
平面 平面，
所以直线平面， 故 B正确；
，
设 A 到平面 的距离为 h， 由等体积法可得： ，
即，解得.
则 到平面的距离为 ，
可得，故 C 正确；
过 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形 ，
，高为
上下底边的边长为 ，
则过 三点的平面截正方体的截面面积为，故 D 错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理、等体积法求体积以及梯形面积判断各个选项即可.
20．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
对于 A， 因为为球 O 的直径， B 为球 O 上一点，，
又平面，
所以 平面， 故A正确；
对于 B， 因为为球 O 的直径， A 为球 O 上一点，直径所对的圆周角为直角，
所以，
由B选项分析可知： 平面， 又平面， 所以
因为平面 ，所以 平面 ，
又平面 ，所以平面 平面 ， 故B 正确；
对于 C，结合图形，可得：，
，
则四面体的表面积，
所以四面体内切球半径， 故C 错误.
对于 D， 取 中点 ， 连接，
分别为 中点，
分别为中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ， ；
因为球 O 的表面积为 ， 所以，解得，
又
又，
为等边三角形， ，
则为AC中点，
又平面平面 ， 平面 平面平面 ，
平面 ， ，
故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据线面垂直判定可判断 A ； 由线面垂直和面面垂直的判定可判断 B ；利用体积可求得， 再由表面积公式可判断C； 根据平行关系和异面直线所成角定义可知， 由面面垂直性质和线面角定义可知 ， 由长度关系可判断D.
21．【答案】4
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为 平面， 则，
即为直角三角形，
又因为 ，即为直角三角形，
且，平面，可得平面，
可得，即为直角三角形，
可知 三棱锥 的4个面均为直角三角形.
故答案为：4.
【分析】根据线面垂直的性质和判定定理可得平面，结合垂直关系分析判断.
22．【答案】如果，，则
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，
设直线与平面相交于点，过直线与点作平面，
设平面与平面相交与直线，
因为，根据线面平行的性质定理，可得，
又因为，，所以，所以.
所以，如果，，则.
故答案为：如果，，则.
【分析】根据题意，结合线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可求解.
23．【答案】②④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】①根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确；
② ， 垂直于 内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到 ，又 ，则 ，故正确；
③ ， ， ，则 或 ，或相交，故不正确；
④根据线面垂直的性质，若 ， 则 ，又 ，则 ，故正确，
故答案为②④.
【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、线线垂直的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出真命题的序号。
24．【答案】DM⊥PC（或BM⊥PC，OM⊥PC等都可）
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：可填，
由为菱形，则，
∵平面，平面，
所以，
又，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，
所以平面MBD，
又因平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
故答案为：DM⊥PC（或BM⊥PC，OM⊥PC等都可）
【分析】先确定所填答案，如，再证明平面平面即可，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证.
25．【答案】②
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： ①若m⊥n，m⊥β；则或，①不满足题意；
②若n α，α∥β，根据面面平行的性质可知，②满足题意；
③α⊥γ，β⊥γ，n α，则或与相交，或或或与相交，③不满足题意.
故答案为：②.
【分析】根据线面平行的判定，逐一分析三个条件.
26．【答案】（1）证明：设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面
（2）解：因为底面是正方形，所以，
又因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)设与交于点，连接，利用中位线证明，进而证明平面；
(2) 通过证明，，得到平面，所以 .
27．【答案】（1）证明：连结交于，连结，.
因为四边形是矩形，所以，且，
又，分别为，的中点，
所以四边形是平行四边形，所以为的中点，
又因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：在矩形中，
，∴平面
因为平面，所以.
因为，点是的中点，
所以
又因为，所以平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）把证明线面平行转化为线线平行，然后利用矩形的性质和平行四边的判定进行证明即可；
（2）把证明线面垂直转化为线线垂直，根据面面垂直的性质可得：平面，进而得到，在证明，即可得证明.
28．【答案】（1）解：证明：连接PM，在中，，，所以．
因为点M是AB的中点，所以．
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，所以．
在中，，，满足，所以．
又，AB、平面PAB，所以平面PAB．
（2）解：四面体PMND的体积即二棱锥的体积．
因为平面PAB．且平面ABCD，所以平面平面ABCD．
作交AB于H，且平面平面．又平面PAB﹐
所以平面ABCD．
在中，，即三棱锥的高为．
因为，所以在中，．
所以，
即四面体PMND的体积为2．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的性质和余弦定理以及勾股定理，进而证出线线垂直，再结合线线垂直和线面垂直的判定定理，进而证出平面PAB.
（2）因为四面体PMND的体积为二棱锥的体积，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面平面ABCD，作交AB于H，且平面平面，再利用面面垂直的性质定理，进而证出线面垂直，所以平面ABCD，再利用三角形的面积相等性质得出三棱锥的高，再利用直角三角形求面积公式得出三角形的面积，再结合三棱锥的体积公式，进而得出四面体PMND的体积.
29．【答案】（1）解：因为，E为PD中点，所以.
又，平面平面ABCD，平面平面，
所以平面PAD.又平面PAD，所以.
因为、平面PCD，，所以平面PCD，
又平面PCD，所以.
（2）解：因为ABCD是边长为2的正方形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAB，故，同理可得.
因为AB、平面ABCD，，所以平面ABCD.
连接BD与AC交于点O，连接OE，则O为BD的中点，
因为E为PD的中点，所以.
因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，
所以点F和点B到平面ACE的距离相等.
又，由（1）知，易得，，
所以.设点B到平面ACE的距离为d，
则，解得，所以点F到平面ACE的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用面面垂直的性质证明平面，再根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可；
（2）先根据面面垂直的性质以及线面垂直的性质证明平面，再通过线面平行把距离转化为点到平面的距离，最后利用等体积法求解即可.
30．【答案】（1）选①：.
证明：在平行四边形中，，
因为，，
所以在△中，.
所以，
所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，
所以.
选②：平面平面.
证明：因为平面平面，平面平面，，平面.
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）由（2）知，BA，BD，BP两两垂直，以为原点，，， 为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，. 所以．
因为点在线段上，设，
所以，
故点到平面的距离为，得.
所以
所以，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)证明 ，可以通过证明得到，选条件①： ，结合
； 由余弦定理得：，通过勾股定理逆定理可得：，又 ，证得：从而证明；选择条件 ② ： 平面平面.
且 证得：从而证明.
（2）由（1）知PB、BA、BC两两垂直，故可以建立空间直角坐标系，写出各点坐标，因为点在线段上，所以设然后运用点到平面的向量计算式得：
点到平面的距离为，得.从而求出点M的坐标，在利用空间
两点间的距离等于两点组成向量的模长即可求解.
31．【答案】（1）解：因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD＝A，
所以BA⊥平面AA1D1D，
又MA1 平面AA1D1D，
所以BA⊥MA1.
因为AD＝DM，
所以∠AMD＝45°，同理∠A1MD1＝45°，
所以AM⊥MA1，又AM∩BA＝A，
所以MA1⊥平面AMB，
又MA1 平面A1MB1，
故平面AMB⊥平面A1MB1.
（2）解：设AD＝1，
则四棱锥M- ABB1A1的底面ABB1A1的面积SABB1A1＝4，高为AD＝1，
所以四棱锥M- ABB1A1的体积V1＝SABB1A1×AD＝.
四棱柱ABCD- A1B1C1D1的底面ABCD的面积SABCD＝，高为AA1＝2，
所以四棱柱ABCD -A1B1C1D1的体积V2＝SABCD×AA1＝3，
所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)由BA⊥平面AA1D1D，得到BA⊥MA1，再利用边的关系得到AM⊥MA1，根据线面垂直的判定得到MA1⊥平面AMB，然后利用面面垂直的判定证明平面AMB⊥平面A1MB1；
(2)设AD=1，分别利用棱锥的体积公式和棱柱的体积公式求其体积比值即可.
32．【答案】（1）证明：平面平面
平面 平面
（2）证明：平面平面
为等腰直角三角形，为斜边的中点
平面 平面
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 由 底面可得 ，结合 分析证明；
(2) 由 平面可得 ，结合 分析证明.
33．【答案】（1）解：设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1） 设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由题意得，， 所以平面，再由线面垂直的性质可得.
34．【答案】（1）证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）解：作于点，易知平面，
在中，，
则，
点为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
即．
又点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，
，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据面面垂直的性质可得 平面，进而可得 ，再证 平面，可得 ，结合题意可证 平面，结合面面垂直分析证明；
(2)作于点， 可得 平面， 分析可知 点到平面的距离， 利用转换顶点法求三棱锥体积.
35．【答案】（1）证明：在正方体中，
因为平面平面，
平面
（2）证明：在正方体中，
易知平面中，又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 ，进而结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据题意可证 平面， 进而结合面面垂直的判定定理分析证明.
36．【答案】（1）证明：因为底面是正方形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为平面与交于点，平面，平面平面，
所以．
（2）证明：侧面为等腰直角三角形，且，即，，
因为，，且两直线在平面内，可得平面，
因为平面，则．
又因为，，且两直线在平面内，
则平面，
因为平面，则，
因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点.
又因为，所以为等腰直角三角形，
因为，所以AP⊥面，
因为面APD，所以面APD⊥面.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)根据线面平行可得 平面， 再结合线面平行的性质定理分析证明；
（2）根据题意可证 平面， 可得 ，同理可证 ，进而可得AP⊥面， 结合面面垂直的判定定理分析证明.
37．【答案】（1）如图，连接，在正方体中，易知，平面，所以平面，同理，因为，所以平面平面，所以直线平面.
（2）解：在正方体中，
易知平面中，又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）在正方体，根据线面平行推出平面平面，从而证明直线平面；
（2）在正方体中，易知平面，根据线面垂直的判定先推出平面，从而得证明平面平面.
38．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为分别是的中点，
所以，且，
又是的中点，所以，且，
所以，且，
所以是平行四边形，故.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为底面，底面，
所以.
取中点，连接，
因为是矩形，且，
所以都是正方形，
所以，即.
又是平面内的两条相交直线，
所以平面.
而平面，所以平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】 (1)取的中点，连接， 根据平行性质可得 ，结合线面平行的性质定理分析证明；
(2) 根据题意先证 平面，再结合面面垂直的判定定理分析证明.
39．【答案】（1）
由于，，
所以故，
因此，
又平面，平面，故，
平面，故平面
（2）由于，，所以为等边三角形，
故，
又平面，平面，所以，
又，故，
所以，
设点到平面的距离为，
由于，故
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证 平面 ，可得 ， 结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2) 利用等体积法，即 ，结合体积公式运算求解.
1 / 12023-2024学年高中数学人教A版必修二 8.6 空间直线、平面的垂直 同步练习
一、选择题
1．（2023高三上·北京市期中）已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A选项：当时，则平行关系不成立，则A选项错误；
对于B选项：，则直线的关系可以是平行也可以是异面，故B选项错误，
对于C选项：有线面垂直判定定理知：需要垂直内的两条相交直线才能得到，故C选项错误，
对于D选项：根据线面垂直的性质定理可知：，则，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据线面的位置关系、线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质进行依次判定即可.
2．（2023高三上·福州期中）已知是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：选项A：如图所示，，，但，所以A错；
选项B：如图所示，所以，，，所以B错；
选项C：因为，，，所以，则，所以C对；
选项D：若，，，，则或相交，所以D错。
故答案为：C.
【分析】利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和线面位置关系判断方法，进而找出正确的选项。
3．（2023高二上·南宁开学考）已知，是平面，，是直线．下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： A：若，，由直线与平面垂直的判定定理等 ，故A正确；
B：若，，则m与n平行或异面，故B错误；
c：若， ，由平面与平面平行的判定定理得 ，故C正确；
D： 若， ，由平面与平面垂直的判定定理得 则 ，故D正确。
故答案为：B
【分析】选项A，考查直线与平面垂直的判定定理；选项B，考查直线与直线的位置关系；选项C，考查平面与平面平行的位置关系；选项D考查平面与平面垂直的位置关系.
4．（2023高三上·长沙月考）在矩形中，，，现将沿折起成，折起过程中，当时，四面体体积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：从矩形中可知，，
即，
因为，
所以，
从而得到，
所以
因为，
所以，
所以，
又因为线面垂直，所以
所以，
故答案为：B.
【分析】首先根据两组线线垂直，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质得到，结合勾股定理得到值，再次通过勾股定理证出线线垂直，最终利用锥形体积公式，得到四面体的体积.
5．（2023高二上·东阳开学考）在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A： 若， 则 或 相交或异面，故A错误；
对于B： 若，则 或，故B错误；
对于C： 若，， 因为没有 是否在平面内，
根据面面垂直的性质定理无法判断与平面的位置关系，故C错误；
对于D： 若，则，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据空间中平行、垂直关系逐项分析判断.
6．（2023高二上·郫都月考）已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若，，，又， 或与是异面直线，A错误；
B、若，则，又，，B正确；
C、，又，，又，或，C错误；
D、，，则，又，，或与相交不一定垂直，D错误.
故答案为：B.
【分析】A、若，则 或与是异面直线，判断A；B、利用线面垂直的性质判断B；C、若，，则或，判断C；D、若，，则或与相交不一定垂直，判断D.
7．（2023高二上·吉林开学考）已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线a、b，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A： 若，，则或 与相交，故A错误；
对于B： 若， ，则，且 ，所以 ，故B正确；
对于C： 若，，，则b与β可能相交也可能平行，故C错误；
对于D： 若，，则或 与相交，故D错误；
故答案为：B.
【分析】根据空间中线、面位置关系逐项分析判断.
8．（2023高三上·辉南月考）设为平面，为直线，则的一个充分条件是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对于A：根据面面垂直的性质，因为缺少 ，无法得到 ，故A错误；
对于B：若 ，才可得到 ，故B错误；
对于C：因为 ，可知 或 ，故C错误；
对于D：因为 ，则 ，且 ，所以，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据线面位置关系结合充分条件逐项分析判断.
9．（2024高三上·成都模拟）点、在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，下列说法中正确的个数是（ ）
①平面；②平面平面；③．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图，点、在以为直径的球的表面上，所以，
又，，平面PAB，所以平面，故①正确；
因为，由①可得，，所以平面，
又平面所以平面平面，故②正确；
假设，又，，所以平面，由②知平面，
所以，这显然矛盾，所以假设不成立，故③错误，所以正确的个数是2.
故答案为：C.
【分析】利用与结合线面垂直的判定定理可得①正确，由及结合面面垂直的判定定理可得②正确，对于③可采用反证法判断.
10．（2023高一下·上饶期末）如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：是边长为2的等边三角形，
因为平面，平面，则，
又因为为正方形，则，
且，平面，所以平面，
且平面，则，
同理可得：，
且，平面，所以平面．
设平面，由对称性可知：H是的中心，
连接，
因为平面，点N形成图形是棱在平面内的射影线段构成的，
且在平面AB1D1上的射影分别为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据题意可证平面，结合题意可知点N形成图形是棱在平面内的射影线为，运算求解即可.
11．（2023高一下·苏州期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，与相交，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A 选项是面面垂直的判定定理故A选项正确.
B 若，则在平面内存在直线b有，则故B选项正确.
C 若，，则有可能平行也有可能相交，故C选项不正确.
D选项是面面平行的判定定理故D选项正确.
故答案为：C
【分析】由线面平行和垂直的定义和判定定理逐一判定即可.
12．（2023高一下·保山期末）已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）
A．若∥，∥，则∥
B．若，，则
C．若，∥，且，则
D．若，，且，则
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解： 若m//a，n//a，可得m与n相交、平行或异面，故A错误；
若，，可得m//n，故B错误；
若，∥，且，可得a与β平行或相交，故C错误；
若，，且，可得a⊥β，故D正确.
故答案为：D.
【分析】 利用线面垂直的性质，面面垂直的判定以及面面平行的判定定理逐项进行判断，可得答案.
13．（2023高一下·汕尾期末）已知直线，，和平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：对A：若，，则或 ，故A错误；
对B：若，，，，则，故B正确；
对C：若，，，，根据线面垂直的判定定理可知：当且仅当相交时，才可得，故C错误；
对D：若，则或 ，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间中线面关系结合平行、垂直关系逐项分析判断.
14．（2023高二下·联合期末）如图，在正四棱台中，，则与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱台的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】将该正四棱台补成正四棱锥，设ABCD的中心为O，如图：
连接PO，设，
因为，则，，
所以，
又因为，所以，
由正棱锥的性质可知底面ABCD，底面ABCD，所以，
因为四边形ABCD是正方形，所以，而平面PDB，
所以平面PDB，则与平面所成角为，
因为，则在直角三角形PAO中，，
且，所以.
故答案为：B
【分析】将该正四棱台补成正四棱锥，根据线面角定义法分析可得与平面所成角为，在直角三角形中求解即可.
15．（2023高一下·龙岩期末）如图，在正方体中，，为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则平面平面
C．若，，则
D．若，，则平面
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A： 因为平面ABCD，平面ABCD，则，
且，，平面，
所以 平面，
若，， 则平面，所以，故A正确；
对于B：由A可知： 平面，因为，则 平面，
若，，则平面即为平面，
且平面 ，所以平面BEF⊥平面 ，故B正确；
对于C： 当 ， 时，则平面，则EF与 共面，
不一定平行，故C错误；
对于D：因为，平面，平面，所以
同理平面，且，所以平面 //平面，
若 ， ，则平面，所以EF//平面，故D正确；
故答案为：C.
【分析】对于A：根据题意可证 平面，进而可得结果；对于B：结合选项A可得 平面，进而可得结果；对于C：结合共面直线的位置关系分析判断；对于D：可证平面 //平面，结合面面平行的性质分析判断.
二、多项选择题
16．（2023高三上·南京期中）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A,B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由 是两条不同的直线，是两个不同的平面，
对于A中，若 ，则由线面垂直的性质定理，可得，所以A正确；
对于B中，若 ，则由面面垂直，线面垂直的性质，可得，所以B正确；
对于C中，若 ，则与相交、平行或，所以C错误；
对于D中，若 ，则与相交或平行，所以D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据题意，根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
17．（2023高二上·重庆市期中）如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥 D．平面平面
【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于A， 平面平面，BD平面ABD，平面ABD平面ACD=AD，
BDAD ， BD平面ACD，又AC平面ACD，BDAC，故A正确.
对于B、C，BD平面ACD，CD平面ACD， BDCD ，又BDAD ，CDAD ，AD=BD=CD. AB=BC=AC， 是等边三角形，三棱锥D-ABC是正三棱锥，故B、C正确.
对于D，假设成立，在平面ABC内过B做BHAC，垂足为H，则 BH平面ACD，又 BD平面ACD，
与“过平面外一点有且只有一条直线垂直于该平面”矛盾，故D错误.
故答案为：A、B、C.
【分析】对于A，根据面面垂直的性质即可得BDAC，故A正确.对于B、C，根据正三棱锥定义可判定B、C正确.对于D，用反证法即可判断D错误.
18．（2023高二上·乐清开学考）在空间中，设为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】A,D
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： A、∵m∥α，∴可取直线l，l∥m且lα，∵l∥m，m⊥β，∴l⊥β，又∵lα，∴α⊥β，A正确；
B、若α⊥β，m∥α，则m∥β，mβ或m与β相交，B错误；
C、若α∥β，mα，nβ，则m∥n，m与n相交，m与n异面，C错误；
D、∵α⊥β，令α∩β=l1，可取直线l2，l2α且l1⊥l2，可得l2⊥β，又∵n⊥β，∴l2∥n，∵m⊥α，l2α，∴m⊥l2，又∵l2∥n，可得m⊥n，D正确；
故答案为：AD.
【分析】利用面面垂直的判定定理可得α⊥β判断A，若α⊥β，m∥α，则m∥β，mβ或m与β相交判断B，若α∥β，mα，nβ，则m∥n，m与n相交，m与n异面判断C，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得m⊥n判断D.
19．（2023高三上·济南开学考）如图，棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A．直线平面
B．直线平面
C．
D．过，，三点的平面截正方体的截面面积为
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图所示，因为该几何体是正方体，
平面 ABCD，平面 ABCD，则，
连接 AC， 可得 ，
又 平面，
平面， 而 平面 ， 则 ，
同理可知 ，平面 ，
得到直线 平面 ， 故 A 正确；
连接 ，因为点分别是棱 的中点， ，
平面 平面，
所以直线平面， 故 B正确；
，
设 A 到平面 的距离为 h， 由等体积法可得： ，
即，解得.
则 到平面的距离为 ，
可得，故 C 正确；
过 三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形 ，
，高为
上下底边的边长为 ，
则过 三点的平面截正方体的截面面积为，故 D 错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理、等体积法求体积以及梯形面积判断各个选项即可.
20．（2023高三上·武鸣开学考）点在以为直径的球的表面上，且，，已知球的表面积是，设直线和所成角的大小为，直线和平面所成角的大小为，四面体内切球半径为，下列说法中正确的个数是（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．sinα=cos
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
对于 A， 因为为球 O 的直径， B 为球 O 上一点，，
又平面，
所以 平面， 故A正确；
对于 B， 因为为球 O 的直径， A 为球 O 上一点，直径所对的圆周角为直角，
所以，
由B选项分析可知： 平面， 又平面， 所以
因为平面 ，所以 平面 ，
又平面 ，所以平面 平面 ， 故B 正确；
对于 C，结合图形，可得：，
，
则四面体的表面积，
所以四面体内切球半径， 故C 错误.
对于 D， 取 中点 ， 连接，
分别为 中点，
分别为中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ， ；
因为球 O 的表面积为 ， 所以，解得，
又
又，
为等边三角形， ，
则为AC中点，
又平面平面 ， 平面 平面平面 ，
平面 ， ，
故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据线面垂直判定可判断 A ； 由线面垂直和面面垂直的判定可判断 B ；利用体积可求得， 再由表面积公式可判断C； 根据平行关系和异面直线所成角定义可知， 由面面垂直性质和线面角定义可知 ， 由长度关系可判断D.
三、填空题
21．（2023高二下·虹口期末）如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有 个.
【答案】4
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：因为 平面， 则，
即为直角三角形，
又因为 ，即为直角三角形，
且，平面，可得平面，
可得，即为直角三角形，
可知 三棱锥 的4个面均为直角三角形.
故答案为：4.
【分析】根据线面垂直的性质和判定定理可得平面，结合垂直关系分析判断.
22．已知 ， 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
① ；
② ；
③ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
【答案】如果，，则
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，
设直线与平面相交于点，过直线与点作平面，
设平面与平面相交与直线，
因为，根据线面平行的性质定理，可得，
又因为，，所以，所以.
所以，如果，，则.
故答案为：如果，，则.
【分析】根据题意，结合线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可求解.
23．已知，表示直线，，，表示平面．
①若，，，则；
②若，垂直于内任意一条直线，则；
③若，，，则；
④若，，，则
上述命题中，正确命题的序号是 .
【答案】②④
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】①根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确；
② ， 垂直于 内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到 ，又 ，则 ，故正确；
③ ， ， ，则 或 ，或相交，故不正确；
④根据线面垂直的性质，若 ， 则 ，又 ，则 ，故正确，
故答案为②④.
【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、线线垂直的判定定理、面面平行的判定定理，进而找出真命题的序号。
24．（2022高三上·惠州开学考）如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
【答案】DM⊥PC（或BM⊥PC，OM⊥PC等都可）
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：可填，
由为菱形，则，
∵平面，平面，
所以，
又，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，
所以平面MBD，
又因平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
故答案为：DM⊥PC（或BM⊥PC，OM⊥PC等都可）
【分析】先确定所填答案，如，再证明平面平面即可，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证.
25．（2023高二上·柳州开学考）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且直线m，n不重合，由下列条件：
①m⊥n，m⊥β；②n α，α∥β；③α⊥γ，β⊥γ，n α；
能推得n∥β的条件是 ．
【答案】②
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： ①若m⊥n，m⊥β；则或，①不满足题意；
②若n α，α∥β，根据面面平行的性质可知，②满足题意；
③α⊥γ，β⊥γ，n α，则或与相交，或或或与相交，③不满足题意.
故答案为：②.
【分析】根据线面平行的判定，逐一分析三个条件.
四、解答题
26．（2023高二上·郫都月考）四棱锥的底面为正方形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：．
【答案】（1）证明：设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面
（2）解：因为底面是正方形，所以，
又因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)设与交于点，连接，利用中位线证明，进而证明平面；
(2) 通过证明，，得到平面，所以 .
27．（2023高三上·北京市期中）如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点.
（1）若点为线段中点，求证：平面；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明：连结交于，连结，.
因为四边形是矩形，所以，且，
又，分别为，的中点，
所以四边形是平行四边形，所以为的中点，
又因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）证明：在矩形中，
，∴平面
因为平面，所以.
因为，点是的中点，
所以
又因为，所以平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）把证明线面平行转化为线线平行，然后利用矩形的性质和平行四边的判定进行证明即可；
（2）把证明线面垂直转化为线线垂直，根据面面垂直的性质可得：平面，进而得到，在证明，即可得证明.
28．（2023高三上·武侯期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的菱形，，，，，点M、N分别是AB、CD的中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）求四面体PMND的体积．
【答案】（1）解：证明：连接PM，在中，，，所以．
因为点M是AB的中点，所以．
在中，，，，由余弦定理，有，
所以，所以．
在中，，，满足，所以．
又，AB、平面PAB，所以平面PAB．
（2）解：四面体PMND的体积即二棱锥的体积．
因为平面PAB．且平面ABCD，所以平面平面ABCD．
作交AB于H，且平面平面．又平面PAB﹐
所以平面ABCD．
在中，，即三棱锥的高为．
因为，所以在中，．
所以，
即四面体PMND的体积为2．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的性质和余弦定理以及勾股定理，进而证出线线垂直，再结合线线垂直和线面垂直的判定定理，进而证出平面PAB.
（2）因为四面体PMND的体积为二棱锥的体积，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面平面ABCD，作交AB于H，且平面平面，再利用面面垂直的性质定理，进而证出线面垂直，所以平面ABCD，再利用三角形的面积相等性质得出三棱锥的高，再利用直角三角形求面积公式得出三角形的面积，再结合三棱锥的体积公式，进而得出四面体PMND的体积.
29．（2023高二上·阳江期中）如图，四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，E为PD中点.
（1）证明：；
（2）若F为棱PB上的点，求点F到平面ACE的距离.
【答案】（1）解：因为，E为PD中点，所以.
又，平面平面ABCD，平面平面，
所以平面PAD.又平面PAD，所以.
因为、平面PCD，，所以平面PCD，
又平面PCD，所以.
（2）解：因为ABCD是边长为2的正方形，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面PAB，故，同理可得.
因为AB、平面ABCD，，所以平面ABCD.
连接BD与AC交于点O，连接OE，则O为BD的中点，
因为E为PD的中点，所以.
因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE，
所以点F和点B到平面ACE的距离相等.
又，由（1）知，易得，，
所以.设点B到平面ACE的距离为d，
则，解得，所以点F到平面ACE的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用面面垂直的性质证明平面，再根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可；
（2）先根据面面垂直的性质以及线面垂直的性质证明平面，再通过线面平行把距离转化为点到平面的距离，最后利用等体积法求解即可.
30．（2023高二上·丰台期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱的中点.
条件①：；
条件②：平面平面.
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
（1）求证：；
（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）选①：.
证明：在平行四边形中，，
因为，，
所以在△中，.
所以，
所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，
所以.
又因为，
所以.
选②：平面平面.
证明：因为平面平面，平面平面，，平面.
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）由（2）知，BA，BD，BP两两垂直，以为原点，，， 为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则，. 所以．
因为点在线段上，设，
所以，
故点到平面的距离为，得.
所以
所以，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)证明 ，可以通过证明得到，选条件①： ，结合
； 由余弦定理得：，通过勾股定理逆定理可得：，又 ，证得：从而证明；选择条件 ② ： 平面平面.
且 证得：从而证明.
（2）由（1）知PB、BA、BC两两垂直，故可以建立空间直角坐标系，写出各点坐标，因为点在线段上，所以设然后运用点到平面的向量计算式得：
点到平面的距离为，得.从而求出点M的坐标，在利用空间
两点间的距离等于两点组成向量的模长即可求解.
31．（2023高三上·佛山月考）如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC.
（1）若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；
（2）设四棱锥M -ABB1A1与四棱柱ABCD -A1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求的值．
【答案】（1）解：因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD＝A，
所以BA⊥平面AA1D1D，
又MA1 平面AA1D1D，
所以BA⊥MA1.
因为AD＝DM，
所以∠AMD＝45°，同理∠A1MD1＝45°，
所以AM⊥MA1，又AM∩BA＝A，
所以MA1⊥平面AMB，
又MA1 平面A1MB1，
故平面AMB⊥平面A1MB1.
（2）解：设AD＝1，
则四棱锥M- ABB1A1的底面ABB1A1的面积SABB1A1＝4，高为AD＝1，
所以四棱锥M- ABB1A1的体积V1＝SABB1A1×AD＝.
四棱柱ABCD- A1B1C1D1的底面ABCD的面积SABCD＝，高为AA1＝2，
所以四棱柱ABCD -A1B1C1D1的体积V2＝SABCD×AA1＝3，
所以
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1)由BA⊥平面AA1D1D，得到BA⊥MA1，再利用边的关系得到AM⊥MA1，根据线面垂直的判定得到MA1⊥平面AMB，然后利用面面垂直的判定证明平面AMB⊥平面A1MB1；
(2)设AD=1，分别利用棱锥的体积公式和棱柱的体积公式求其体积比值即可.
32．（2023高二上·深圳月考）如图，在三棱锥中，底面为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【答案】（1）证明：平面平面
平面 平面
（2）证明：平面平面
为等腰直角三角形，为斜边的中点
平面 平面
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 由 底面可得 ，结合 分析证明；
(2) 由 平面可得 ，结合 分析证明.
33．（2023高二上·成都月考）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：.
【答案】（1）解：设与交于点，连接，
因为底面是正方形，所以为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为底面是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1） 设与交于点，连接，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由题意得，， 所以平面，再由线面垂直的性质可得.
34．（2023高三上·西安开学考）如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）解：作于点，易知平面，
在中，，
则，
点为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
即．
又点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，
，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据面面垂直的性质可得 平面，进而可得 ，再证 平面，可得 ，结合题意可证 平面，结合面面垂直分析证明；
(2)作于点， 可得 平面， 分析可知 点到平面的距离， 利用转换顶点法求三棱锥体积.
35．（2023高二上·芜湖开学考）如图所示，在正方体中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）
求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明：在正方体中，
因为平面平面，
平面
（2）证明：在正方体中，
易知平面中，又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得 ，进而结合线面平行的判定定理分析证明；
(2)根据题意可证 平面， 进而结合面面垂直的判定定理分析证明.
36．（2023·）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求证平面平面．
【答案】（1）证明：因为底面是正方形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为平面与交于点，平面，平面平面，
所以．
（2）证明：侧面为等腰直角三角形，且，即，，
因为，，且两直线在平面内，可得平面，
因为平面，则．
又因为，，且两直线在平面内，
则平面，
因为平面，则，
因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点.
又因为，所以为等腰直角三角形，
因为，所以AP⊥面，
因为面APD，所以面APD⊥面.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】(1)根据线面平行可得 平面， 再结合线面平行的性质定理分析证明；
（2）根据题意可证 平面， 可得 ，同理可证 ，进而可得AP⊥面， 结合面面垂直的判定定理分析证明.
37．（2023高二上·芜湖开学考）如图所示，在正方体中．（立体几何证明过程中不可使用向量法，否则不给分）
求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）如图，连接，在正方体中，易知，平面，所以平面，同理，因为，所以平面平面，所以直线平面.
（2）解：在正方体中，
易知平面中，又因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）在正方体，根据线面平行推出平面平面，从而证明直线平面；
（2）在正方体中，易知平面，根据线面垂直的判定先推出平面，从而得证明平面平面.
38．（2023高二上·大庆开学考）如图，四棱锥中，底面 是矩形，， 底面， 分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
因为分别是的中点，
所以，且，
又是的中点，所以，且，
所以，且，
所以是平行四边形，故.
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为底面，底面，
所以.
取中点，连接，
因为是矩形，且，
所以都是正方形，
所以，即.
又是平面内的两条相交直线，
所以平面.
而平面，所以平面平面.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】 (1)取的中点，连接， 根据平行性质可得 ，结合线面平行的性质定理分析证明；
(2) 根据题意先证 平面，再结合面面垂直的判定定理分析证明.
39．（2023高二上·大庆开学考）如图，在四棱锥中，平面，，，且.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）
由于，，
所以故，
因此，
又平面，平面，故，
平面，故平面
（2）由于，，所以为等边三角形，
故，
又平面，平面，所以，
又，故，
所以，
设点到平面的距离为，
由于，故
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证 平面 ，可得 ， 结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2) 利用等体积法，即 ，结合体积公式运算求解.
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