18.1勾股定理课件
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课件45张PPT。勾股定理 受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
毕达哥拉斯
(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。情境再现 相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上他看着朋友家的方砖地面发起呆来．主人觉得非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.后来知道是因为他从中发现了直角三角形三边的数量关系，赶着回家证明去了。 那么，他朋友家的地板到底是怎样呢？我们也观察一下看看能发现什么？A、B、C的面积有什么关系？ 如果用三角形的边长表示正方形面积，你会发现等腰直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上述结论是否依然成立？ a2 + b2 = c2ABC图1图2491392534sA+sB=sC两直角边的平方和
等于斜边的平方分别算出图中各正方形的面积，看看能得出什么结论？交流与猜想 设：直角三角形的三边长分别是a、b、c，猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？aba2+b2=c2每个小方格的面积均为1cbCa合作探究 利用准备好的四个全等的直角三角形，a、b表示两条直角边， c表示斜边。动手实践：这四个全等的直角三角形可以拼成一个正方形吗？有些什么不同的方法？ 思考：拼出的正方形面积用含a、b、c的式子可以怎么表示？
能得到我们要证明的结论吗？方法一验证猜想a2 + b2 = c2bCa 大正方形的面积可以如何表示？
b－a方 法 二aabca2 + b2 = c2b 大正方形的面积可以如何表示？ 这个图案公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时就已经给出，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）．史话弦图赵爽弦图有趣的总统证法:
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 a2 + b2 = c2 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。a2 + b2 = c2 勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方cba公式变形c2=a2 + b2a2=c2－b2b2 =c2-a2 受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？学以致用 已知直角三角形任意两边求第三边学以致用勾股定理有什么作用呢？一定要在直角三角形中哦！ 1.在△ABC中, ∠C=90°，a =6,c=10,
则b=______8牛刀小试2、 ΔABC中，∠C=90o
①若a=3cm, b=4cm,则c= ____cm
②若a=12cm, c=13cm,则b= __ cm
③若c=17cm, a =8cm,则b= __ cm5515 1、 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 2、勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平方和， 等于斜边c的平方: 。 3、勾股定理的主要作用是 ：在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。 4、我们利用“面积法”证明勾股定理，这体现了数学中数形结合的思想。判断题：
①直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的式子： a2+b2 =c2 ( ) . .
②直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5. ( )
××能力比拼1、如图已知a＝3，b＝4
求c=?2、如图已知： c ＝10，a＝6，
求b=?3、如图已知： c ＝13，a＝5，
求阴影部分面积？运用勾股定理时应注意：
⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边；
⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。4、在? ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为____,斜边为上的高为_____.244.815120 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？∴售货员没搞错想一想荧屏对角线大约为74厘米勾股定理在实际生活中的应用即 742 = 54763 1、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了____步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
勾股定理在实际生活中的应用45ABC“路”4 2、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为6米，问至少需要多长的梯子？8mBCA6m解：根据勾股定理得：
AC2= 62 + 82
=36+64
=100
即：AC=10（不合题意，舍去）
答：梯子至少长10米。 古代笑话一则 有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题。请问同学们这样是真正解决了问题了吗？让你做的话，你感觉怎么办合适？ 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?2mDCAB1mcbac2=a2 + b2a2=c2－b2b2 =c2-a2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
1.一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为＿＿＿＿＿＿＿．
2．直角三角形一直角边长为6cm，斜边长为10cm，则这个直角三角形的面积为＿＿＿＿，斜边上的高为＿＿＿＿＿＿＿．
３．等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为16cm，则底边上的高为＿＿＿＿，面积为____________．
5．等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，那么它的斜边上的高为＿＿＿＿＿＿．6cmcm 练一练 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD 从题目和图形中，你能得到哪些信息？分析: DB＝OD－OB
求BD,可以先求OB、OD. 阿满想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来旗杆的高度吗？ ABC5米(x+1)米x米 如图，某公园有这样两棵树，一棵树高8m，另一棵树高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 多少米？ 8m2m8m试一试： 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD =AB =（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得：BC2+AC2=AB2即 52 + x2 = (x+1)225 + x2 = x2 +2x + 12x = 24∴ x =12， x+1=13答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。ADCBDBA说明：在直角三角形中，利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要的应用．在有直角三角形时，可直接应用；在没有直角三角形时，常作垂线构造直角三角形，为能应用勾股定理创造重要条件． 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13.求S△ABCCADB 如图，已知：在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＡ，DＥ⊥ＢＣ于Ｄ，交ＡＢ于Ｅ，ＤＥ＝１，求△ＡＢＣ的周长．ECA111 如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？C解：连结BE∵ DE是AB的中垂线
∴ AE=BE 在Rt△ABC 中
根据勾股定理：设AE = x，则EC=(10－x)BE2=BC2+EC2x2=62＋ (10－x)2解得 x = 6.8∴EC=10－6.8=3.2cm折叠问题: 如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕,若AB=9,BC=3,求FC的长?解：由已知AF=FC设AF=x，则FB = 9－x 在R t △FBC中，根据勾股定理:
FC2=FB2＋BC2即 x2=(9－x)2＋32解得 x=5
即 FC=5折叠问题:D′ x 矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕EF的长。ABCDFEx1010864(8－x)折叠问题:设EF = x 如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米？183024 在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的直线距离相等,试问这棵树有多高?DABC10米20米┏x 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。应用勾股定理解决实际问题的一般思路：方程思想是解决数学问题常用的重要思想 1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。感悟与收获请谈谈你的收获……作业：习题18 1第6 8 10 11 12
毕达哥拉斯
(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。情境再现 相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上他看着朋友家的方砖地面发起呆来．主人觉得非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.后来知道是因为他从中发现了直角三角形三边的数量关系，赶着回家证明去了。 那么，他朋友家的地板到底是怎样呢？我们也观察一下看看能发现什么？A、B、C的面积有什么关系？ 如果用三角形的边长表示正方形面积，你会发现等腰直角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上述结论是否依然成立？ a2 + b2 = c2ABC图1图2491392534sA+sB=sC两直角边的平方和
等于斜边的平方分别算出图中各正方形的面积，看看能得出什么结论？交流与猜想 设：直角三角形的三边长分别是a、b、c，猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？aba2+b2=c2每个小方格的面积均为1cbCa合作探究 利用准备好的四个全等的直角三角形，a、b表示两条直角边， c表示斜边。动手实践：这四个全等的直角三角形可以拼成一个正方形吗？有些什么不同的方法？ 思考：拼出的正方形面积用含a、b、c的式子可以怎么表示？
能得到我们要证明的结论吗？方法一验证猜想a2 + b2 = c2bCa 大正方形的面积可以如何表示？
b－a方 法 二aabca2 + b2 = c2b 大正方形的面积可以如何表示？ 这个图案公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时就已经给出，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）．史话弦图赵爽弦图有趣的总统证法:
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 a2 + b2 = c2 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。a2 + b2 = c2 勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方cba公式变形c2=a2 + b2a2=c2－b2b2 =c2-a2 受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？学以致用 已知直角三角形任意两边求第三边学以致用勾股定理有什么作用呢？一定要在直角三角形中哦！ 1.在△ABC中, ∠C=90°，a =6,c=10,
则b=______8牛刀小试2、 ΔABC中，∠C=90o
①若a=3cm, b=4cm,则c= ____cm
②若a=12cm, c=13cm,则b= __ cm
③若c=17cm, a =8cm,则b= __ cm5515 1、 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 2、勾股定理： 直角三角形两直角边a、b的平方和， 等于斜边c的平方: 。 3、勾股定理的主要作用是 ：在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。 4、我们利用“面积法”证明勾股定理，这体现了数学中数形结合的思想。判断题：
①直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的式子： a2+b2 =c2 ( ) . .
②直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是5. ( )
××能力比拼1、如图已知a＝3，b＝4
求c=?2、如图已知： c ＝10，a＝6，
求b=?3、如图已知： c ＝13，a＝5，
求阴影部分面积？运用勾股定理时应注意：
⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边；
⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。4、在? ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为____,斜边为上的高为_____.244.815120 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？∴售货员没搞错想一想荧屏对角线大约为74厘米勾股定理在实际生活中的应用即 742 = 54763 1、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了____步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
勾股定理在实际生活中的应用45ABC“路”4 2、如图，要登上8米高的建筑物BC，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为6米，问至少需要多长的梯子？8mBCA6m解：根据勾股定理得：
AC2= 62 + 82
=36+64
=100
即：AC=10（不合题意，舍去）
答：梯子至少长10米。 古代笑话一则 有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题。请问同学们这样是真正解决了问题了吗？让你做的话，你感觉怎么办合适？ 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?2mDCAB1mcbac2=a2 + b2a2=c2－b2b2 =c2-a2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
1.一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为＿＿＿＿＿＿＿．
2．直角三角形一直角边长为6cm，斜边长为10cm，则这个直角三角形的面积为＿＿＿＿，斜边上的高为＿＿＿＿＿＿＿．
３．等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为16cm，则底边上的高为＿＿＿＿，面积为____________．
5．等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，那么它的斜边上的高为＿＿＿＿＿＿．6cmcm 练一练 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD 从题目和图形中，你能得到哪些信息？分析: DB＝OD－OB
求BD,可以先求OB、OD. 阿满想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来旗杆的高度吗？ ABC5米(x+1)米x米 如图，某公园有这样两棵树，一棵树高8m，另一棵树高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 多少米？ 8m2m8m试一试： 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD =AB =（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得：BC2+AC2=AB2即 52 + x2 = (x+1)225 + x2 = x2 +2x + 12x = 24∴ x =12， x+1=13答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。ADCBDBA说明：在直角三角形中，利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要的应用．在有直角三角形时，可直接应用；在没有直角三角形时，常作垂线构造直角三角形，为能应用勾股定理创造重要条件． 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13.求S△ABCCADB 如图，已知：在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＡ，DＥ⊥ＢＣ于Ｄ，交ＡＢ于Ｅ，ＤＥ＝１，求△ＡＢＣ的周长．ECA111 如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？C解：连结BE∵ DE是AB的中垂线
∴ AE=BE 在Rt△ABC 中
根据勾股定理：设AE = x，则EC=(10－x)BE2=BC2+EC2x2=62＋ (10－x)2解得 x = 6.8∴EC=10－6.8=3.2cm折叠问题: 如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕,若AB=9,BC=3,求FC的长?解：由已知AF=FC设AF=x，则FB = 9－x 在R t △FBC中，根据勾股定理:
FC2=FB2＋BC2即 x2=(9－x)2＋32解得 x=5
即 FC=5折叠问题:D′ x 矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕EF的长。ABCDFEx1010864(8－x)折叠问题:设EF = x 如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米，盒内可放的棍子最长是多少米？183024 在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的直线距离相等,试问这棵树有多高?DABC10米20米┏x 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。应用勾股定理解决实际问题的一般思路：方程思想是解决数学问题常用的重要思想 1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。感悟与收获请谈谈你的收获……作业：习题18 1第6 8 10 11 12