2．1 导数的概念
2．2 导数的几何意义
学习目标
1．了解导数的概念；理解导数的几何意义．
2．会用导数的定义求导数．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
核心素养
1．通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，培养数学运算素养.
知识点 1 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0 变到x1 时：
(1)平均变化率：＝＝.
(2)瞬时变化率：Δx趋于0时，趋于一个_固定的值__.
(3)导数：函数y＝f(x)在x0点的_瞬时变化率__.
记作f′(x0)＝ ＝ .
[提醒] (1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．
(2)f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，与这个固定常数无限接近．如果当Δx→0时， 不存在，则称函数f(x)在x＝x0处不可导．
想一想：
f′(x)与f′(x0)相同吗？它们之间有何关系？
提示：f′(x)与f′(x0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是函数f′(x)在x＝x0时的函数值．
练一练：
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为( C )
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
[解析] y＝x2在x＝1处的导数为
f′(1)＝＝2.
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f ′(1)＝2，则f(2)＝_4__.
[解析] 函数f(x)＝ax＋b在x＝1处的导数为
f ′(1)＝
＝＝＝a，
又f ′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，
所以f(x)＝2x，所以f(2)＝4.
知识点 2 导数的几何意义
(1)割线的定义：过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线是曲线y＝f(x)在A点处的一条割线，其斜率为.
(2)切线的定义：当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处_相切__，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．
(3)几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的_斜率__.
想一想：
如图所示，直线l是曲线y＝f(x)在点P0处的切线，这与以前学习的直线与圆相切时，直线与圆有且仅有一个公共点是否相同？如何理解？
提示：不相同．曲线y＝f(x)在某点处的切线只是在切点P0附近区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止一个，因此，直线l是曲线y＝f(x)在切点P0处的切线，但在点A处不是曲线的切线．
练一练：
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列描述错误的是( D )
A．x＝－5处比x＝－2处变化快
B．x＝－4处呈上升趋势
C．x＝1和x＝2处增减趋势相反
D．x＝0处呈上升趋势
[解析] 根据导数的几何意义：f′(－5)>0，f′(－4)>0，f′(－2)＝0，f′(0)<0，f′(1)f′(2)<0，判断可知D错误．
2．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是_x＋y－3＝0__.
[解析] 切线的斜率为k＝－1.
所以点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
题型探究
题型一 导数概念的理解
典例1 若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则 等于( B )
A．f ′(x0) B．2f ′(x0)
C．－2f ′(x0) D．0
[分析] 本题考查对导数形式化定义的认识，根据导数的定义来求解， 需明确Δx，Δy的含义．
[解析] 方法一：
＝
＝ ＋
＝f ′(x0)＋
＝f ′(x0)＋f ′(x0)
＝2f ′(x0)．
方法二：
＝
＝2
＝2f ′(x0)．
[规律方法] 导数的形式化定义的本质
导数的形式化计算是大学数学中的一个重点内容，但在中学阶段，特别是在对极限要求不高的前提下，不必深入研究，其本质就是对导数概念f ′(x0)＝ ＝ 的理解．需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．
对点训练 设f(x)是可导函数，且 ＝－2，则f ′(x0)＝( C )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[解析] f ′(x0)＝
＝－× ＝－×(－2)＝1.
题型二 导数几何意义的应用
典例2 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( B )
(2)某家电制造集团提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
[解析] (1)由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)<0，故B符合．
(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．
[规律方法] 导数几何意义理解中的两个关键
关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k>0 f′(x0)>0; k<0 f′(x0)<0; k＝0 f′(x0)＝0.
关键点二：|f′(x0)|越大 在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小 在x0处瞬时变化越慢．
对点训练 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( A )
[解析] 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数y＝f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
题型三 求切线方程
典例3 已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
[分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值．
[解析] (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝
＝
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为
k＝ ＝x，
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2,4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1，或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
[规律方法] 利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
对点训练 (1)曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为_x＋2y＋4＝0__.
(2)求曲线y＝x2＋1，x∈R过点P(1,0)的切线方程．
[解析] (1)f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，所以切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
(2)设切点为Q(a，a2＋1)，
k＝ ＝ (2a＋Δx)＝2a.
所以在Q点处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)．(*)
把点(1,0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．
解得a＝1±.
再把a＝1±代入到(*)式中，即得切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
易错警示
求切线方程时忽视点是否在曲线上致误
典例4 求经过点(2,0)，且与曲线y＝相切的直线方程．
[误区警示] 将(2,0)误认为是切点，直接由导数的几何意义得切线斜率f ′(2)＝ ＝ ＝－，从而得切线方程为y－0＝－(x－2)，即x＋4y－2＝0.
[正解] 经验证点(2,0)不在曲线y＝的图象上，则设切点为P(x0，y0)，令f(x)＝.
∴f′(x0)＝
＝
＝ ＝－，
得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0)．
因为点(2,0)在切线上，所以xy0＝2－x0.
又点P(x0，y0)在曲线f(x)＝上，所以x0y0＝1，
联立可解得x0＝1，y0＝1，
故所求直线方程为x＋y－2＝0.
[点评] 错解中没有注意到点(2,0)根本不在曲线y＝上，直接求出函数在x＝2处的导数作为曲线切线的斜率，而导致错误．避免这种错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果点在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率才等于函数在该点处的导数值，如果点不在曲线上，应先另设切点，再利用导数的几何意义求解．
1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( B )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
[解析] 由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)2．抛物线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程为( A )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
[解析] f′(2)＝
＝＝1，
∴过点(2,1)的切线方程为y－1＝1×(x－2)，
即x－y－1＝0.故选A.
3．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为1，
则＝( B )
A．0 B．
C．1 D．2
[解析] ∵函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为1，
则 ＝
＝f ′(x0)＝.
4．y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ .
[解析] ∵＝
＝＝a(Δx)＋2ax， ＝2ax，
设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，
∴x0＝.∵切点在直线y＝x上，∴y0＝ .
代入y＝ax2＋1得＝＋1，∴a＝.§3 导数的计算
学习目标
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．
2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．
核心素养
通过基本初等函数的导数公式的应用，培养数学运算素养．
知识点 1 导函数的概念
一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ .
那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
想一想：
若f ′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？
提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.
练一练：
1．已知f(x)＝x2，则f ′(3)等于( C )
A．0 B．2x
C．6 D．9
[解析] 因为f(x)＝x2，所以f ′(x)＝2x，
所以f ′(3)＝6.
2．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是_①②③④__.(填序号)
①f(x)＝x2 ②f(x)＝ex ③f(x)＝ln x ④f(x)＝
[解析] 对于①，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，由x2＝2x, 解得x＝0或x＝2，因此此函数有 “巧值点” ；
对于②，f(x)＝ex，f′(x)＝ex，由ex＝ex ，得 x∈R，因此此函数有“巧值点”；
对于③，f(x)＝ln x，f′(x)＝ ，分别画出图象y＝ln x，y＝(x>0) ，由图象可知，两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点” ；
对于④，f(x)＝，f′(x)＝－，
由 ＝－，解得 x＝－1，
因此此函数有 “巧值点”．
知识点 2 导数公式
函数 导数
y＝c(c是常数) y′＝_0__
y＝xα(α是实数) y′＝_αxα－1__
y＝ax(a>0，a≠1) y′＝_axln_a__特别地(ex)′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝
y＝sin x y′＝_cos_x__
y＝cos x y′＝_－sin_x__
y＝tan x y′＝
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)′＝cos.( × )
(2)(cos x)′＝sin x．( × )
(3)′＝－.( √ )
(4)(x2 023)′＝2 023x2 022.( √ )
2．下列各式中，正确的是( A )
A.′＝cos x B.′＝sin x
C.′＝sin x D.′＝cos x
[解析] 先利用诱导公式化简，再根据求导公式求导．
题型探究
题型一 公式法求导数
典例1 (1)求下列函数的导数：
①y＝；②y＝x·；③y＝3x；④y＝log5x.
(2)求下列函数的导数：①y＝sin；②y＝x；③y＝.
[解析] (1)①y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
③y′＝(3x)′＝3xln 3.
④y′＝(log5x)′＝.
(2)①y′＝0.
②y′＝xln ＝－xln 2.
[规律方法] 运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数，直接套用公式．
(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
对点训练 (1)f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f ′(2)＝( D )
A．8 B．12
C．8ln 3 D．0
(2)若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( C )
A. B．10
C．10ln 10 D．
(3)求下列函数的导数：
①y＝log8x；②y＝sincos.
[解析] (1)f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，
所以f ′(x)＝0.所以f ′(2)＝0.
(2)因为f′(x)＝10xln 10，
所以f′(1)＝10ln 10.
(3)①y′＝(log8x)′＝＝.
②因为y＝sincos＝sin x，
所以y′＝′＝cos x.
题型二 利用导数公式求切线方程
典例2 (1)函数y＝在点处的切线方程是( B )
A．y＝4x B．y＝－4x＋4
C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4
(2)求曲线y＝ln x在x＝e处的切线方程．
[解析] (1)∵y＝，
∴y′＝′＝－，
∴切线的斜率k＝－4，
∴切线方程为y－2＝－4，
即4x＋y－4＝0.
(2)函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)．
y′＝(ln x)′＝，
设切点坐标P(e，y0)，则y0＝ln e＝1，
所以切点为P(e,1)，
曲线y＝ln x在x＝e处的切线斜率k＝，所以所求切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
[规律方法] 解决切线问题的步骤
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)公式法求导函数f′(x)；
(3)设切点坐标P(x0，y0)；
(4)列方程(组)：
①切点在曲线上，即y0＝f(x0)；
②切线斜率等于函数在切点处的导数，即k＝f′(x0)；
③切点在切线上，即切线为y－y0＝k(x－x0)．
(5)解方程(组)．
对点训练 (1)曲线f(x)＝3x在点(0,1)处的切线方程是_y＝xln_3＋1__.
(2)已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( C )
A．4 B．－4
C．28 D．－28
(3)若曲线f(x)＝上某点处的切线的倾斜角为π，则该点的坐标为( D )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
[解析] (1)∵f(x)＝3x，
∴f ′(x)＝3xln 3，
∴f ′(0)＝ln 3，
∴所求切线方程为y＝xln 3＋1.
(2)∵y′＝3x2，
∴点(2,8)处的切线斜率k＝f ′(2)＝12，
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
(3)切线的斜率k＝tanπ＝－1，f ′(x)＝－，
设切点为(x0，y0)，则f ′(x0)＝－1，
∴－＝－1，
∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
题型三 与切线有关的问题
典例3 (1)函数f(x)＝ln x＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是( D )
A．2 B．
C．1 D．2
(2)设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解析] (1) ∵f′(x)＝＋2x－b，
∴f′(b)＝＋b≥2＝2，
当且仅当b＝1时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.
(2)如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小．
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)．
因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1)．
所以点P到直线y＝x的最小距离为＝.
[规律方法] 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
对点训练 已知y＝kx是曲线f(x)＝ln x的一条切线，则k＝ .
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，
由题意得f′(x0)＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝.
易错警示
不能正确理解切点的实质而致误
典例4 经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
[错解] 设f(x)＝x3，由定义得f′(2)＝12，∴所求切线方程为y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
[误区警示] 曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．
[正解] 易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x.
∵A在曲线上，∴y0＝x，∴＝3x，
∴x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，
∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程分别为12x－y－16＝0和3x－y＋2＝0.
[点评] 在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2,8)不一定是切点，做题时要高度关注．
1.若f(x)＝sin x，则f′＝( D )
A．－ B．－
C. D．
[解析] f′(x)＝cos x，∴f′＝cos＝.
2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )
A.e2 B．2e2
C．e2 D．
[解析] 曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线方程为y＝e2x－e2，所以该切线与坐标轴交点坐标分别为(1,0)，(0，－e2)，
所以，所围三角形的面积为×1×e2＝.
3．过点(e，－e)作曲线y＝ex－x的切线，则切线方程为( C )
A．y＝(－1－e)x＋e2
B．y＝(e－1)x－e2
C．y＝(ee＋1－1)x－ee＋2
D．y＝(ee－1)x－ee＋1
[解析] 由y＝ex－x，得y′＝ex－1，设切点为(x0，－x0)，则－1，
∴切线方程为y－＋x0＝(－1)(x－x0)，
∵切线过点(e，－e)，
∴(e＋1)＝x0，解得x0＝e＋1，
∴切线方程为y－ee＋1＋e＋1＝(ee＋1－1)(x－e－1)，整理得y＝(ee＋1－1)x－ee＋2.
4．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则 f ′(x)－g′(x)＝ 3x2－ .
[解析] ∵f ′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f ′(x)－g′(x)＝3x2－.4．1 导数的加法与减法法则
4．2 导数的乘法与除法法则
学习目标
1．掌握导数的四则运算法则．
2．能利用导数的四则运算法则求导函数．
核心素养
通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数学运算素养.
知识点 导数的四则运算法则
若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f ′(x)和g′(x)，则
两个函数的和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝_f′(x)＋g′(x)__
两个函数的差的导数 [f(x)－g(x)]′＝_f′(x)－g′(x)__
两个函数的积的导数 [f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)特别地，[kf(x)]′＝kf ′(x)，k∈R
两个函数的商的导数 ′＝ (g(x)≠0)
[提醒] 注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
想一想：
若两个函数的导数存在，那么这两个函数的和、差、积、商(商分母不为零)的导数是否存在？
提示：两个函数的导数存在，则它们的和、差、积、商(商分母不为零)必存在；若两个函数的导数不存在，则它们的和、差、积、商不一定不存在．
练一练：
1．已知函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋2x－1，则f(1)的值为( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 求导得f′(x)＝－2f′(1)x＋2，
所以f′(1)＝1－2f′(1)＋2，解得f′(1)＝1，
则f(x)＝ln x－x2＋2x－1，
所以f(1)＝ln 1－1＋2－1＝0.
2．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.
3．若函数f(x)＝(2πx)2，则f′(－1)＝( B )
A．8π2 B．－8π2
C．4π2 D．－4π2
[解析] f(x)＝(2πx)2＝4π2x2，
所以f′(x)＝8π2x，f′(－1)＝8π2×(－1)＝－8π2.
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数
典例1 求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝.
[分析] 若所给函数解析式较为复杂，可先对函数解析式进行适当的变化与化简，再用相关公式和法则求导．
[解析] (1)方法一：可以先展开后再求导：
y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
(2)把函数的解析式整理变形可得：
y＝＝＝1－，
∴y′＝－
＝.
(3)根据求导法则进行求导可得：
y′＝(3xex)′－(2x)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2
＝(3e)xln(3e)－2xln 2.
(4)利用除法的求导法则，进行求导可得：
y′＝
＝＝.
[规律方法] 应用导数的四则运算法则的思路方法及注意事项
(1)熟记导数的四则运算法则，尤其是积、商的求导法则．
(2)应用和、差、积、商的求导法则求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形等知识对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
(3)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
对点训练 求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝3x＋lg x；
(3)y＝.
[解析] (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)y′＝(3x)′＋(lg x)′＝3xln 3＋.
(3)y′＝
＝＝.
题型二 求导法则的综合应用
典例2 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a，b的方程组，解方程组可求出a，b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.
[解析] (1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13, f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
[规律方法] 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
对点训练 已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为_1__.
[解析] ∵f ′(x)＝a－，∴f ′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，
∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
易错警示
不能正确应用导数的运算法则而致误
典例3 求函数y＝的导数．
[错解] y′＝′
＝
＝
＝12x－3x＋5.
[正解] y′＝′
＝′
＝＋－1.
＝＋－1.
[点评] 本题错解中，将商的导数公式误记为′＝致误.
1.函数f(x)＝x＋的导数f′(x)＝( A )
A．1－ B．1－
C．1＋ D．1＋
[解析] f′(x)＝′＝x′＋′＝1－.
2．函数f(x)＝x＋ex的导数是( D )
A．f ′(x)＝ex B．f ′(x)＝1＋
C．f ′(x)＝1＋xex－1 D．f ′(x)＝1＋ex
[解析] 函数的导数为f ′(x)＝1＋ex，故选D.
3．若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( D )
A．0 B．锐角
C．直角 D．钝角
[解析] 由已知得f ′(x)＝excos x－exsin x
＝ex(cos x－sin x)．
∴f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)．
∵>1>，
而由正、余弦函数性质可得cos 1∴f ′(1)<0.即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.∴切线倾斜角是钝角．
4．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为_(e，e)__.
[解析] 设P(x0，y0)，则y＝xln x在x＝x0处的导数为ln x0＋1＝2，
所以x0＝e，则y0＝e，则P点坐标为(e，e)．§5 简单复合函数的求导法则
学习目标
1．了解复合函数的求导法则．
2．能求简单复合函数的导数．
核心素养
通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养.
知识点 1 复合函数的概念
对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数_y＝f(u)__和_u＝φ(x)__的复合函数，记作_y＝f(φ(x))__，其中u为中间变量．
[提醒] 讨论复合函数的构成时，“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．然后从外向内逐层求导．
想一想：
如何求复合函数y＝f(φ(x))的定义域？
提示：由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f(u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y＝f(φ(x))的定义域．
练一练：
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的定义域．( × )
(2)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的值域．( × )
(3)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是外函数y＝f(u)的定义域．( × )
(4)(ln |x|)′＝.( √ )
知识点 2 复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝_[f(φ(x))]′__＝_f_′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)__.
想一想：
任何两个函数都能复合吗？
提示：只有外函数y＝f(u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非空时才能复合．
练一练：
1．函数y＝的导数是( C )
A．y′＝ B．y′＝
C．y′＝－ D．y′＝－
[解析] ∵y＝＝(3x－1)－2，
∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′
＝－6(3x－1)－3＝－.
2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝_1__.
[解析] 易得f′(x)＝4(2x＋a)，
又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20，
解得a＝1.
题型探究
题型一 复合函数的概念
典例1 函数y＝可以看成哪两个函数的复合？
[解析] 函数y＝可以看成函数y＝与函数u＝(2x＋1)2的复合，也可以看成函数y＝2与函数u＝2x＋1的复合．
[规律方法] 1.不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，才能复合．
2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选择．
对点训练 函数y＝e2x－1可以看成哪两个函数的复合？
[解析] 函数y＝e2x－1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合．
题型二 复合函数的求导
典例2 求下列函数的导数：
(1)y＝(4－3x)2；
(2)y＝cos；
(3)y＝ln(4x－1)；
(4)y＝ex2.
[分析] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．
[解析] (1)设y＝u2，u＝4－3x，则yu′＝2u，ux′＝－3，于是yx′＝yu′·ux′＝－6(4－3x)＝18x－24，
即y′＝18x－24.
(2)设y＝cos u，u＝2x－，
则 yu′＝－sin u，ux′＝2，
于是yx′＝yu′·ux′＝－2sin，
即y′＝－2sin.
(3)设y＝ln u，u＝4x－1，则yu′＝，ux′＝4，
于是yx′＝yu′·ux′＝，
即y′＝.
(4)设y＝eu，u＝x2，则yu′＝eu，ux′＝2x，
于是yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即y′＝2xex2.
[规律方法] 求复合函数导数的步骤
对点训练 (1)函数y＝x2cos 2x的导数为( B )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
(2)若f(x)＝，且f ′(1)＝1，则a的值为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)函数f(x)＝(2x＋1)5，则f ′(0)的值为_10__.
[解析] (1)y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
(2)∵f ′(x)＝·(ax－1)′＝，
∴f ′(1)＝＝1，
解得a＝2.
(3)f ′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f ′(0)＝10.
题型三 与复合函数有关的切线问题
典例3 (1)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( D )
A．0 B．
C． D．
(2)已知直线y＝x＋2与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a＝_3__.
[分析] (1)先求出函数在切点处的导数值，即为切线的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角．
(2)先设出切点坐标，再求函数在切点处的导数值，从而求得a的值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝，∴函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f ′(1)＝＝1.设函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为θ，则tan θ＝1，∴θ＝.
(2)设切点为(x0，y0)，
∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝(x＋a)′＝，
∴切线的斜率k＝＝1，
∴x0＋a＝1.
又∵y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，
又∵y0＝x0＋2＝0，∴x0＝－2.∴a＝3.
[规律方法] 解决与复合函数有关的切线问题的关键有两个：
(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏．
(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点．
对点训练 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是_2x－y＝0__.
[解析] 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.
所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.
因此，当x>0时，f ′(x)＝ex－1＋1，f ′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
易错警示
对复合函数的求导不完全而致误
在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数．
典例4 函数y＝xe1－2x的导数为_(1－2x)e1－2x__.
[错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
[正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全.
1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( A )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[解析] 将x2－1看作整体，记u＝x2－1，则y＝(x2－1)n由y＝un和u＝x2－1 复合而成．
2．已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f ′(2)＝－1，则a＝( A )
A. B．
C．－ D．－
[解析] f ′(x)＝－a，
所以f ′(2)＝－a＝－1，解得a＝.
3．设f(x)＝cos 2x－3x，则f ′＝( B )
A．－5 B．－3
C．－4 D．－
[解析] f ′(x)＝(cos 2x)′－3＝－2sin 2x－3，∴f ′＝－2sin π－3＝－3.
4．曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是_－2e__.
[解析] f ′(x)＝e－2x＋3·(－2x＋3)′
＝－2e－2x＋3，
∴f ′(1)＝－2e，
∴所求切线的斜率k＝－2e.6．1 函数的单调性
学习目标
1．了解函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性．
3．会求函数的单调区间．
核心素养
1．借助对函数的单调性与导数的关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养．
2．通过导数在研究函数的单调性中的应用，培养数学运算素养．
知识点 1 函数的单调性与导数
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系：
单调递增 在某个区间(a，b)上，如果_f_′(x)>0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增
单调递减 在某个区间(a，b)上，如果_f_′(x)<0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减
想一想：
1．在某一区间上f ′(x)>0(或f ′(x)<0)是函数y＝f(x)在该区间上单调递增(或单调递减)的什么条件？
提示：充分不必要条件．
2．若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f ′(x)＝0，而其余点恒有f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，该函数在这个区间上是否仍是单调递增(或单调递减)的？
提示：是．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若在某个区间(a，b)内总有f ′(x)＝0，则函数是常函数．( √ )
提示： 由常函数的导数为0可知此说法正确．
(2)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( × )
提示： 如f(x)＝在定义域上都有f′(x)<0，但函数f(x)＝在定义域上不单调递减．
(3)若函数f(x)的增区间是A，且f(x)在区间B上单调递增，则A＝B.( × )
提示： 区间A和B应满足B A.
(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．( √ )
提示： 若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
2．函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间是( C )
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(1，＋∞)
[解析] 因为函数f(x)＝3x－x3，
所以f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)．
令f′(x)>0，解得－1所以函数y＝3x－x3的单调递增区间是(－1,1)．
知识点 2 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
在某一范围内一个函数f(x)导数的绝对值为|f′(x)|，则
|f′(x)| 函数值的变化 函数的图象
越大 在这一_范围__内变化得较快 比较“_陡峭__”(向上或向下)
越小 在这一范围内变化得_较慢__ 比较“_平缓__”
练一练：
已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( B )
[解析] 由导数的图象可得，导函数f ′(x)的值在[－1,0]上逐渐增大，故函数f(x)在[－1,0]上增长速度逐渐增大，故函数f(x)的图象是下凹型的．导函数f ′(x)的值在[0,1]上逐渐减小，故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐减小，图象是上凸型的，故选B.
题型探究
题型一 导数与原函数图象的关系
典例1 (1)已知f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( D )
(2)函数f(x)的定义域为[0,4]，函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为_(2,4]__.
[解析] (1)由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f ′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0,2)时，导函数f ′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.
(2)若f′(x)的图象为虚线，则f(x)的图象为实线，由f′(x)>0，得x>3，则f(x)在(3,4]上单调递增，与f(x)的实线图象不符，故不成立；若f′(x)的图象为实线，则f(x)的图象为虚线，由f′(x)>0，得x>2，所以f(x)在(2,4]上单调递增，与f(x)的虚线图象相符，故成立，
综上，f(x)在(2,4]上单调递增．
[规律方法] 研究函数与导函数图象之间关系的策略
(1)导函数的正负看原函数的增减
①观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
②观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
(2)导函数的绝对值大小决定原函数增减快慢．
某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
[提醒] 解决问题时，要分清是原函数图象还是导函数图象．
对点训练 (1)(多选)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是( ABC )
(2)已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x)>0的解集为 ∪(2，＋∞) .
[解析] (1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能．
(2)由y＝f(x)的图象可知f(x)在和(2，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
所以f′(x)>0的解集为∪(2，＋∞)，f′(x)<0的解集为，
由xf′(x)>0得或
所以xf′(x)>0的解集为∪(2，＋∞).
题型二 利用导数求函数的单调区间
典例2 (1)函数f(x)＝xex＋1的单调递减区间是( C )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
(2)函数f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的单调递增区间是( D )
A. B．
C. D．
[解析] (1)f ′(x)＝(x＋1)ex，
当x<－1时，f ′(x)<0，函数单调递减．
(2)f(x)＝x－2sin x＋1，令f ′(x)＝1－2cos x>0，
可得故f(x)在(0，π)上的单调递增区间为.
[规律方法] 1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数 f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
对点训练 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝x＋(b＞0)．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0，
∴x＞，或x＜－.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0，
∴－＜x＜，且x≠0.
∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，).
题型三 利用导数求含参数函数的单调性
典例3 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)·ln x(a≥0)的单调性．
[解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝ax＋1－＝.
①当a＝0时，f ′(x)＝，
由f ′(x)>0，得x>1，由f ′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
②当a>0时，f′(x)＝，
∵a>0，∴>0.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
[规律方法] 含有参数的函数单调性问题的处理方法
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
对点训练 求函数f(x)＝＋aln x(a∈R)的单调递减区间．
[解析] 易得函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.
①当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a>0时，若0若x>，则f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
综上可知，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，当a>0时，f(x)的单调递减区间为.
题型四 已知函数的单调性，确定参数的取值范围
典例4 若函数f(x)＝x3－x2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，试求实数a的取值范围．
[分析] 根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解．
[解析] f′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f′(x)≤0在区间(1,4)上恒成立，且f′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．
由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0.
∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，∴a≥＝x＋1.
∵x＋1∈(2,5)，而a≥x＋1恒成立，∴a≥5.
由f′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0.
∵x∈(6，＋∞)，∴x－1>5，
∴a≤＝x＋1.
∵x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，∴a≤7.
经检验a＝5和a＝7都符合题意，
∴a的取值范围是5≤a≤7.
[规律方法] 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路：
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或 f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
对点训练 (1)若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间 上单调递增，则实数c的取值范围是( B )
A．(－∞，2] B．(－∞，4]
C．(－∞，8] D．[－2,4]
(2)已知函数f(x)＝在上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是( A )
A. B．(－∞，3)
C. D．(－∞，)
[解析] (1)易得f ′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
∵函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立，
∴c≤对任意x∈恒成立．
∵x∈，∴＝x＋1＋≥4，当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4.
(2)易得f′(x)＝＋x－b＝.
根据题意，得f′(x)>0在上有解，令h(x)＝2x2－2bx＋1，
因为h(0)＝1>0，所以只需h(2)>0或h>0，
解得b<，故选A.
1.函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上( A )
A．是增函数 B．是减函数
C．单调性不确定 D．是奇函数
[解析] f′(x)＝2－sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
2．函数y＝f(x)在定义域内可导，其函数图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≥0的解集为( C )
A.∪[2,3]
B.∪
C.∪[1,2]
D.∪∪
[解析] 由图象可知在定义域内的递增区间为，[1,2]，
则不等式f′(x)≥0的解集为∪[1,2]．
3．函数f(x)＝(x－4)e－x的单调递增区间是( A )
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
[解析] ∵f(x)＝(x－4)e－x，
∴f′(x)＝e－x－(x－4)e－x＝e－x(5－x)．
由f′(x)>0得x<5，故选A.
4．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为 .
[解析] f ′(x)＝＝，
由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减知，f ′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a≤.
又当a＝时，f(x)＝＝为常数函数，
所以不符合题意，所以a的取值范围是.6．2 函数的极值
学习目标
1．通过实例了解极值的概念．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．
3．会利用导数求函数的极大值、极小值．
核心素养
1．借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养．
2．通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数学运算素养.
知识点 1 极值点与极值的概念
极值是函数的一种局部性质
(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_小于__点x0处的函数值，称x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_大于__x0处的函数值．称点x0为函数y＝f(x0)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．函数的极大值点与极小值点统称为_极值点__，极大值与极小值统称为_极值__.
[提醒] (1)极值点是指自变量x的值，即横坐标，极值是指函数值y，即纵坐标．
(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．
想一想：
函数的极大值一定比极小值大吗？
提示：不一定．
练一练：
1．函数y＝1＋3x－x3有( D )
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
[解析] y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)．
令y′＝0得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上单调递减；当－10，函数y＝1＋3x－x3在(－1,1)上单调递增；当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3在(1，＋∞)上单调递减．所以当x＝－1时，函数y＝1＋3x－x3有极小值－1；当x＝1时，函数y＝1＋3x－x3有极大值3.
2．下列函数中，存在极值的函数为( D )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝x2－2x
[解析] A．因为函数y＝ex是实数集上的增函数，所以函数y＝ex没有极值；B.因为函数y＝ln x是正实数集上的增函数，所以函数y＝ln x没有极值；C.因为函数y＝在区间(0，＋∞)，(－∞，0)上是减函数，所以函数y＝没有极值；D.因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以该函数在(1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1)上是减函数，因此1是函数的极小值点，符合题意．
知识点 2 求函数y＝f(x)极值点的步骤
一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f(x)的导函数 f ′(x0)＝0，因此可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点．
(1)求出导数 f ′(x)．
(2)解方程 f ′(x)＝0.
(3)对于方程 f ′(x)＝0的每一个实数根x0分析 f ′(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)确定极值点．
①若 f ′(x)在x0附近的符号“_左正右负__”，则x0为极大值点；
②若 f ′(x)在x0附近的符号“_左负右正__”，则x0为极小值点；
③若 f ′(x)在x0附近的符号“_相同__”，则x0不是极值点．设x0是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数 f ′(x)，则 f ′(x0)＝0，反之不一定成立．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)x＝0是函数y＝x3的极值点．( × )
(2)可导函数一定存在极值．( × )
(3)若f ′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f(x)的极值点．( × )
(4)若x＝x0是可导函数y＝f(x)的极值点，则f ′(x0)＝0.( √ )
2．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为_8__.
[解析] y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，
故f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
题型探究
题型一 求函数的极值(点)
典例1 (1)函数f(x)＝ln x－x有( B )
A．极小值为0，极大值为－1
B．极大值为－1，无极小值
C．极小值为－1，极大值为0
D．极小值为－1，无极大值
(2)(多选)设函数f(x)＝xln2x＋x的导函数为f′(x)，则( AD )
A．f′＝0
B.是f(x)的极值点
C．f(x)存在零点
D．f(x)在上单调递增
[解析] (1)由于f′(x)＝－1＝(x>0)，
令f′(x)>0，则0令f′(x)<0，则x>1，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减；所以f(x)极大值为f(1)＝－1，无极小值．
(2)由题可知f(x)＝xln2x＋x的定义域为(0，＋∞)，对于A，f′(x)＝ln2x＋2ln x＋1，则f′＝ln2＋2ln＋1＝1－2＋1＝0，故A正确；对于B，D，f′(x)＝ln2x＋2ln x＋1＝(ln x＋1)2≥0，所以函数f(x)单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，f(x)＝xln2x＋x＝x(ln2x＋1)>0，故函数f(x)不存在零点，故C错误．
[规律方法] 利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数 f′(x)．
(3)解方程 f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程 f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果 f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
对点训练 (1) 当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( B )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
(2)函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为_2__.
[解析] (1)因为三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，所以y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1,3是y′＝0的两个根，
所以即
所以y＝x3－6x2＋9x，
又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，且当x＝1时，y极大值＝4，
当x＝3时，y极小值＝0，满足条件．
(2)由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以当x＝2时，f(x)取得极小值．
题型二 求含参数函数的极值
典例2 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
[解析] f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f ′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
[规律方法] 求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类与整合的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看某数是否对f ′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
对点训练 已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x.讨论函数f(x)的极值．
[解析] 由题意，函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋ax＋a＋1＝，
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值；若a<0，当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，
故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以函数f(x)有极大值f＝ln－－1，无极小值．
综上，当a≥0时，函数f(x)无极值；当a<0时，函数f(x)有极大值为ln－－1，无极小值.
题型三 利用函数极值求参数的值
典例3 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x<－1或x>1时，f ′(x)>0，
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
[规律方法] 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
对点训练 若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为_(0,1)__.
[解析] 由f(x)＝x3－3ax＋1可得f′(x)＝3x2－3a，当a≤0时，f′(x)＝3x2－3a>0恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，无极值；
当a>0时，令f′(x)＝3x2－3a>0可得x>或x<－；令f′(x)＝3x2－3a<0可得－0时，f(x)＝x3－3ax＋1在x＝处取得极小值，若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则0<<1，解得0综上所述， a的取值范围为(0,1)．
易错警示
忽视极值存在的条件致误
典例4 已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．
[误区警示] 可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．
[正解] f ′(x)＝3x2＋12mx＋4n，
依题意有
即
解得或
当m＝1，n＝3时，f ′(x)＝3x2＋12x＋12＝3(x＋2)2≥0，
所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6－2时f ′(x)>0，
故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．
综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.
[点评] 由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．
1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
2．(多选)对于函数f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下选项正确的是( BC )
A．有2个极大值 B．有2个极小值
C．1是极大值点 D．1是极小值点
[解析] 由题得f′(x)＝ex[(x－1)2(x－2)＋2(x－1)(x－2)＋(x－1)2]＝ex(x＋)(x－)(x－1)．
令f′(x)>0，解得x∈(－，1)∪(，＋∞)；
令f′(x)<0，解得x∈(－∞，－)∪(1，)，
即x∈(－，1)，(，＋∞)，f(x)单调递增，
x∈(－∞，－)，(1，)，f(x)单调递减．
于是±是极小值点，1是极大值点，则f(x)有2个极小值，1是极大值点．
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( D )
A．(－1,2)
B．(－3,6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
4．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是_③__(将你认为正确的序号填在横线上)．
[解析] 由f′(x)的图象可见在和(2,4)上f′(x)<0，f(x)单调减，在和(4，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调增，∴只有③正确．6．3 函数的最值
学习目标
1．能够通过函数的图象区分函数的极值与最值．
2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．
核心素养
1．结合实例培养学生的直观想象素养．
2．通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养.
知识点 1 最值点
(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_不超过__ f(x0)．
(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_不小于__ f(x0)．
(3)函数的_最值__或在极值点(也是导数的零点)取得，或者在区间的端点取得．
练一练：
设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( C )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
[解析] 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．
知识点 2 最值
函数的_最大值__与_最小值__统称为函数的最值．
想一想：
函数的极值与最值有何区别？
提示：极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在定义域上的性质．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值．( √ )
(2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．( √ )
(3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值．( × )
(4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值．( × )
2．函数f(x)＝x＋在区间[－3，－1]上的最大值为( A )
A．－2 B．－3
C．－ D．－
[解析] f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0得，x＝－，
当－3≤x≤－时， f ′(x)≥0，函数f(x)单调递增；
当－≤x≤－1时， f ′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以，函数f(x)的最大值是f(－)＝－2.
题型探究
题型一 求函数的最值
典例1 求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝，计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
[规律方法] 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
对点训练 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数．
[解析] (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －37 ? 极大值3 ? 极小值－5 ? 35
∴当x＝4时， f(x)取最大值35；
当x＝－2时， f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数．
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.
题型二 含参数的函数最值问题
典例2 已知函数f(x)＝ln x－ax2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a>0时，求f(x)在区间上的最大值．
[解析] (1)由题意得： f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2ax＝，
①当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a>0时，令f′(x)＝0得：x＝，
列表如下：
x
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值 ?
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)当a>0时，由(1)知：①当≤1，即a≥时， f(x)在上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝－a；
②当1<<2，即所以f(x)max＝f＝－ln(2a)－；
③当≥2，即0综上所述：f(x)max＝
[规律方法] 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
对点训练 已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0,1]上的最小值．
[解析] 因为g′(x)＝ex－2a，x∈[0,1]，ex∈[1，e]，所以
①若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1－b.
②若于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
③若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(0)＝1－b；
当当a≥时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
题型三 由函数的最值求参数的值或范围问题
典例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 若存在a，b满足题设，则可利用导数求最值，列出关于a，b的方程组，从而解出a，b的值．求极值时，要注意对a的符号进行分类讨论，否则容易漏解．
[解析] 存在．依题意，显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ ＋ 0 － －
f(x) －7a＋b ? 极大值 ? －16a＋b
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，
所以f(0)＝b＝3.
因为f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
所以f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f ′(x) － － 0 ＋ ＋
f(x) －7a＋b ? 极小值 ? －16a＋b
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，
所以f(0)＝b＝－29.
因为f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
所以f(2)>f(－1)，
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
即－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上所述，存在符合条件的a，b，且a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
[规律方法] 由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤：
(1)求导数f′(x)，并求极值．
(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值．若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论．
(3)利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
对点训练 已知f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
[解析] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a>0，则当x∈时f′(x)>0，当x∈时f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此 f>2a－2 ln a＋a－1<0.令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0，于是，当01时，g(a)>0，因此a的取值范围是(0,1)．
易错警示
没有准确把握条件致误
典例4 设l为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．
(1)求l的方程；
(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方．
[错解] (1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以l的方程为y＝x－1.
(2)证明：由(1)知y＝x－1是曲线f(x)＝在点(1,0)处的切线，又当x＝2时，有f(2)＝<1，故切线l上的对应点(2,1)，在曲线C上的点的上方，∴曲线C上除切点(1,0)外都在曲线l下方．
[误区警示] (1)正确；(2)中错误地认为直线l与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致．
[正解] (1)设f(x)＝，则f′(x)＝.
所以f′(1)＝1.所以l的方程为y＝x－1.
(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0( x>0，x≠1)．
g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
当0当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．
所以，g(x)>g(1)＝0( x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．
[点评] 由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点.
1.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为( A )
A．11 B．－70
C．－14 D．21
[解析] 函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f ′(x)＝3x2－6x－9，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，
由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；
f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.
2．函数y＝xln x的最小值为( A )
A．－ B．－e
C．e2 D．－
[解析] 因为y＝xln x，定义域是(0，＋∞)，
所以y′＝1＋ln x，令y′>0，解得：x>，
令y′<0，解得：0所以函数在上递减，在上递增，
故x＝时，函数取最小值－.
3．使函数f(x)＝x＋cos x在上取得最大值的x为( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] 因为f(x)＝x＋cos x，
所以f′(x)＝1－sin x.
因为x∈，
由f′(x)>0得x∈，由f′(x)<0得x∈，
所以f(x)在上单调递增，f(x)在上单调递减，所以f(x)在上取得最大值的x为，故A，C，D错误，B正确．
4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是_1__.
[解析] 由f(x)＝sin x－2x－a，
得f ′(x)＝cos x－2<0，
所以函数f(x)在[0，π]上单调递减，
所以f(x)的最大值是f(0)＝－a＝－1，故a＝1.7．1 实际问题中导数的意义
7．2 实际问题中的最值问题
学习目标
1．体会导数在解决实际问题中的作用．
2．能利用导数解决简单的实际问题．
核心素养
通过导数在解决实际问题中的应用，培养数学建模及数学运算素养.
知识点 1 实际问题中导数的意义
(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率．它的单位是瓦特．
(2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的重要指标．
(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本，边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．
练一练：
1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，则该质点在t＝2时的速度等于( A )
A．－12 B．12
C．2 D．－7
[解析] 因为s′＝－6t，所以s′(2)＝－12.
2．一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( A )
A．t＝10时的降雨强度
B．t＝10时的降雨量
C．10小时的平均降雨量
D．t＝10时的温度
[解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度．
知识点 2 最优化问题
在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小，体积最大，成本最低，时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题，导数是解决最优化问题的一个重要工具．
想一想：
用导数求解生活中的优化问题时，应注意哪些问题？
提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
练一练：
某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( D )
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
[解析] 设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为y元，根据题意，得y＝15×＋12×2＝240＋72(x>0)，y′＝72，令y′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，当04时，y′>0.
故当x＝4时，y取得最小值为816.
题型探究
题型一 实际问题中导数的意义
典例1 一辆正在加速行驶的汽车在5 s内速度从0 km/h提高到了90 km/h，如下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了m/s.时间单位为s.
时间t/s 0 1 2 3 4 5
速度v(m/s) 0 9 15 21 23 25
(1)分别计算当t从0 s变到1 s，从3 s变到5 s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义；
(2)根据上面的数据可以得到速度v关于时间t的函数，近似的表示式为v＝f(t)＝－t2＋10t.求f′(1)，并解释它的实际意义．
[解析] (1)当t从0 s变到1 s时，＝＝9 m/s2，所以速度v关于时间t的平均变化率为9 m/s2.
当t从3 s变到5 s时，＝＝2 m/s2，所以速度v关于时间t的平均变化率为2 m/s2.
它们分别表示在相应的时间内，每经过1 s速度增加9 m/s和2 m/s也就是加速度分别为9 m/s2和2 m/s2.
(2)∵f(t)＝－t2＋10t，∴f′(t)＝－2t＋10，
∴f′(1)＝8 m/s2，其实际意义是在t＝1 s这一时刻每经过1 s汽车的速度增加8 m/s.即这一时刻汽车的加速度为8 m/s2.
[规律方法] 在物理中速度是路程关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数．
对点训练 某河流在x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，且y＝f(x)＝.
(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？
(2)求f′(27)，并解释它的实际意义．
[解析] (1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为 ＝＝(m3/min)．
(2)f′(x)＝，于是f′(27)＝＝(m3/min)，实际意义为当时间为27 min时，水流量增加的瞬时速度为 m3/min，也就是当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3.
题型二 利用导数解决成本最低问题
典例2 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)与宿舍到工厂的距离x(km)的关系为p＝(2≤x≤8)．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路的成本为每千米5万元，工厂一次性补贴职工交通费(x2＋25)万元．设f(x)为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．
(1)求f(x)的解析式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小？并求最小值．
[解析] (1)由题意，得f(x)＝＋5x＋(x2＋25)，
整理，得f(x)＝(x＋5)2＋(2≤x≤8)．
(2)f′(x)＝(x＋5)－＝.
令f′(x)>0，得x>5，令f′(x)<0，得x<5，
所以f(x)在[2,5)上单调递减，在(5,8]上单调递增．
故当x＝5时，f(x)取得最小值，为150.
答：宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万元．
[规律方法] 解决优化问题应注意两点：
(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
对点训练 甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数解析式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[解析] (1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
所以v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元)．
综上，汽车以80千米/时速度行驶，可使全程运输成本最少，运输成本最小值为元.
题型三 利用导数解决利润最大问题
典例3 从2023年1月份起的x个月，某商场顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(其中x∈N＋且x≤12)，该商品第x个月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是
q(x)＝
(1)写出2023年第x个月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2023年第几个月销售该商品的月利润g(x)最大，最大月利润为多少元？
[解析] (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12且x∈N＋时，f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x.
经验证x＝1也符合上式，故f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋且1≤x≤12)．
(2)该商场第x个月销售该商品的月利润为
g(x)＝
即g(x)＝
当x∈N＋且1≤x≤6时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)，
∴当x∈N＋且1≤x≤6时，g(x)max＝g(5)＝3 125.
当x∈N＋且7≤x≤12时，g(x)＝－480x＋6 400单调递减，
故g(x)max＝g(7)＝3 040<3 125.
答：该商场2023年第5个月的月利润最大，最大月利润为3 125元．
[规律方法] 解决利润最大问题的思路及注意点：
(1)利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
(2)求解此类问题需注意两点：
①售价要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
对点训练 某中学2022级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研，发现该商品每日的销售量g(x)(单位：百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)＝＋2(x－5)2，其中2(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位：百元)最大．
[解析] (1)由题意，10＝＋2(3－5)2，
解得a＝2，故g(x)＝＋2(x－5)2(2(2)设商场每日销售该商品所获得的利润为y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2x (2,3) 3 (3,5)
y′ ＋ 0 －
y ? 极大值 ?
由表可得，x＝3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点，也是最大值点，所以该商品销售价格的值为3元/件时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
易错警示
忽视实际应用问题中的定义域而致误
典例4 现有一批货物由海上A地运往B地，已知该轮船的最大航行速度为每小时30 n mile，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y表示为速度x的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
[误区警示] 本题最易出现的错误是认为当x＝40时函数取得极小值，也是最小值，但实际上题目中给出了轮船的最大航行速度，因此x＝40是取不到的．
[解析] (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函数的定义域为(0,30]，
即y＝＋300x(0(2)∵y＝＋300x(0∴y′＝－＋300.
令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．
∵函数的定义域为(0,30]，当0∴函数y＝＋300x在区间(0,30]上单调递减，
∴当x＝30时，函数y＝＋300x取得最小值，
∴为了使全程运输成本最小，轮船应以每小时30 n mile的速度行驶．
1.某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的瞬时速度是( C )
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
[解析] ∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( C )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
[解析] ∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9；令y′<0得x>9；令y′>0得0∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，
∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产_6__千台．
[解析] 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，所以y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_5__千米处.
[解析] 设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；
由8＝10k2得k2＝.
所以两项费用之和为y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．
当05时，y′>0.所以当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．所以当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．§8 数学探究活动(二)：探究函数性质
学习目标
1．能通过类比一次、二次函数图象与性质的探究，探究三次函数的图象与性质．
2．能利用导数分析三次函数的图象与性质．
核心素养
通过应用导数分析三次函数的图象与性质，培养直观想象、逻辑推理及数学运算素养．
题型探究
题型一 三次函数的零点问题
典例1 (1)若x3＋ax2＋1＝0有一个实数根，则实数a的取值范围为 (，＋∞) ；
(2)若x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 .
[解析] (1)令f(x)＝x3＋ax2＋1，则f ′(x)＝x2＋ax.由f(x)＝0有一个实数根，得Δ≤0(Δ是方程f ′(x)＝0的根的判别式)或f(x1)·f(x2)>0(x1，x2是f(x)的极值点)．
①由Δ≤0，得a＝0；
②令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a(a≠0)，则f(x1)·f(x2)＝－a3＋a3＋1>0，即a3>－1，所以a>，且a≠0.综上，实数a的取值范围是(，＋∞)．
(2)令f(x)＝x3＋ax＋1，则f ′(x)＝x2＋a.
由f(x)＝0有两个不同的实数根，得
由Δ>0，得a<0，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－，
所以f(x1)＝()3＋a＋1＝－＋1，
f(x2)＝(－)3－a＋1＝＋1，
则f(x1)·f(x2)＝＝1－(－a)3＝0，
解得a＝－.
综上，实数a的取值范围为.
对点训练 设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_①③④⑤__.(写出所有正确条件的编号)
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
[解析] 方法一：令f(x)＝x3＋ax＋b，则f ′(x)＝3x2＋a.
对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；
对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；
对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f ′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．
方法二：根据题意，直线y＝－b和函数f(x)＝x3＋ax的图象有且仅有一个公共点．先考虑a＝－3的情形，此时f ′(x)＝3x2－3，于是f(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2，如图所示．
于是当b<－2或b>2时符合题意，故①③符合题意．
再考虑a≥0的情形，此时f ′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)单调递增，且值域为R，必然符合题意，故④⑤符合题意．
题型二 与最值有关的恒成立问题
典例2 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1(t>0)．
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t (0,1) 1 (1,2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) 单调递增 1－m 单调递减
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，
只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
[规律方法] (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立 λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立 λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
对点训练 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.
(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)[解析] (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9.
∴实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，
∴实数c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
易错警示
利用参变分离时忽视自变量的取值范围
典例3 设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为_4__.
[错解] 由ax3－3x＋1≥0，得ax3≥3x－1.
分离参数得a≥恒成立，
令t＝，易求得三次函数g(t)＝－t3＋3t2在[－1,1]上的最大值为g(0)＝0，∴a≥0.
[误区警示] 本题上述解法中有两处错误．(1)是在参数分离的过程中，要在不等式两边同时除以x3才能实现参数的分离，若x的取值范围在正数区间上，可以避免讨论；若x的取值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论．
(2)是换元后未求新元t的范围，t的范围不再是[－1,1]．
[正解] 由ax3－3x＋1≥0，得ax3≥3x－1.因为x∈[－1,1]，故分离参数a，需根据x的取值进行分类讨论，讨论如下：
(1)当x＝0时，1>0恒成立，a可以取任意实数；
(2)当0令t＝，t∈[1，＋∞)，易求得三次函数g(t)＝－t3＋3t2在[1，＋∞)上的最大值为g(2)＝4，所以a≥4.
(3)当－1≤x<0时，可得a≤－＋恒成立，故a≤min.
令t＝，t∈(－∞，－1]，易求得三次函数g(t)＝－t3＋3t2在(－∞，－1]上的最小值为g(－1)＝4，所以a≤4.综上可得，a＝4.
1.(多选)已知函数f(x)＝－x2ln x，则( CD )
A．f(x)≤0恒成立
B．f(x)是(0，＋∞)上的减函数
C．f(x)在x＝得到极大值
D．f(x)只有一个零点
[解析] 因为f(x)＝－x2ln x，该函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2xln x－x＝－x(2ln x＋1)．
当00，此时函数f(x)单调递增，当x>时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，所以f(x)极大值＝f()＝－e－1ln ＝，故B选项错误，C选项正确；当00，A选项错误；由f(x)＝－x2ln x＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，D选项正确．
2．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)[解析] f ′(x)＝3x2－x－2，令f ′(x)＝0，
得x＝－或x＝1.
可求得f(x)max＝f(2)＝7.
所以对于任意x∈[－1,2]，f(x)7.
3．给定函数f(x)＝ex－x.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；
(2)画出函数f(x)的大致图象；
(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]的解的个数．
[解析] (1)函数的定义域为R，f ′(x)＝ex－1，
令f ′(x)＝0，解得x＝0.
f ′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 1 单调递增
所以，f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1.也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．
(2)由(1)可知，函数的最小值为1.
函数的图象经过特殊点f(－1)＝＋1，f(2)＝e2－2，f(0)＝1，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f ′(x)→＋∞；
当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x.根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示．
(3)截取函数f(x)在区间[－1,2]上的图象如图所示．
由图象得：当f(0)即m∈时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上恰有两个不同的实根；同理，当m＝1或＋1当m<1或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1，2]上无实根．章末整合提升
要点一 导数的几何意义
典例1 (1)写出曲线y＝ln|x|过坐标原点的切线方程 y＝x或y＝－x .
(2)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为_5x－y＋2＝0__.
[解析] (1)当x>0时，y＝ln x，设过坐标原点与y＝ln x相切的直线切于点(x0，y0)，
∴y′＝，∴切线斜率k＝，
又k＝，∴y0＝1，x0＝e.
∴k＝，∴切线方程为y＝x.
当x<0时，y＝ln(－x)，设过坐标原点与y＝ln(－x)相切的直线切于点(x′0，y′0)，
∴y′＝－＝，∴切线斜率k＝，又k＝，
∴y′0＝1，∴x′0＝－e.
∴k＝－，∴切线方程为y＝－x.
(2)由题，当x＝－1时，y＝－3，故点在曲线上．
求导得：y′＝＝，
所以y′|x＝－1＝5.
故切线方程为5x－y＋2＝0.
故答案为：5x－y＋2＝0.
[规律方法] 利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)曲线f(x)在点P(x0，y0)处的切线：求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即为曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率，所求曲线的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)曲线f(x)过点P(x0，y0)的切线 ：可设切点为(x1，y1)，由解出x1，进而确定过点P的切线方程为y－y0＝f′(x1)(x－x0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.
[提醒] 切点坐标满足三个等量关系：设切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.
要点二 函数的单调性与导数
典例2 已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax－1.
(1)若a＝0，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝(x－1)ex－1，f′(x)＝xex，
令f′(x)＝0，则x＝0，
又因为当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以当x＝0时，f(x)极小值＝f(0)＝－2，无极大值．
(2)因为f(x)＝(x－1)ex＋ax－1，
所以f′(x)＝xex＋a，
若f(x)在R上单调递增，
则f′(x)≥0在R上恒成立，
即－a≤xex在R上恒成立，
令g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，
所以当x＝－1时，g(x)取得极小值，也是最小值为g(－1)＝－，
所以－a≤－，即a≥，
故实数a的取值范围为.
[规律方法] 1.求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在单调区间上为增函数；解不等式f′(x)<0，函数在单调区间上为减函数．
2．知单调性求参数范围的步骤
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．
[提醒] 若f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
要点三 函数的极值、最值与导数
典例3 (2022·新高考Ⅰ卷节选) 已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值，求a.
[解析] f(x)＝ex－ax的定义域为R，
而f′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，
故a>0.g(x)＝ax－ln x的定义域为(0，＋∞)，而g′(x)＝a－＝.
当x故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
当x>ln a时，f′(x)>0，
故f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(ln a)＝a－aln a.
当0当x>时，g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，故g(x)min＝g＝1－ln .
因为f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值，故1－ln ＝a－aln a，
整理得到＝ln a，其中a>0，
设m(a)＝－ln a，a>0，
则m′(a)＝－＝<0，
故m(a)在(0，＋∞)上单调递减，而m(1)＝0，
故m(a)＝0的唯一解为a＝1，故＝ln a的解为a＝1.综上，a＝1.
[规律方法] 1.利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
[提醒] 当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值， 这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
要点四 利用函数的导数求参数的取值范围
典例4 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数，且f ′＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．
[分析] (1)由单调区间知f ′(0)＝f ′(1)＝0，结合f ′＝，求出f(x)的解析式；
(2)f(x)≤x在[0，m]上恒成立 f(x)－x≤0在[0，m]上恒成立 [0，m]是f(x)≤x的解集的子区间，当f(x)－x的最值不易求时，可进行适当的转化．
[解析] (1)f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，得
解得
∴f ′(x)＝3ax2－3ax.
∵f ′＝－＝－＝，
∴a＝－2，∴b＝3，
∴f(x)＝－2x3＋3x2.
(2)令f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0，
整理得x(2x－1)(x－1)≥0，
∴0≤x≤或x≥1.
又f(x)≤x在区间[0，m](m>0)上恒成立，
∴m的取值范围是.
[规律方法] 利用函数的导数求参数范围有三种思路：一是分析所给区间和单调区间的关系；二是转化为恒成立问题；三是分离参数求解.
要点五 利用导数证明不等式
典例5 (2023·新高考Ⅱ卷)证明：当0[证明] 构建F(x)＝x－sin x，x∈(0,1)，则F′(x)＝1－cos x>0对 x∈(0,1)恒成立，
则F(x)在(0,1)上单调递增，可得F(x)>F(0)＝0，所以x>sin x，x∈(0,1)；
构建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)，
则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，
构建g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，则g′(x)＝2－sin x>0对 x∈(0,1)恒成立，
则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)＝0，
即G′(x)>0对 x∈(0,1)恒成立，
则G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(0)＝0，所以sin x>x－x2，x∈(0,1)；
综上所述：x－x2[规律方法] 利用导数证明不等式问题时，一般根据要证明的不等式构造函数，转化为函数的最值问题．具体的证明步骤为：
①将所给的不等式移项、整理、变形为求证不等式f(x)＞0(＜0)的形式；
②利用导数研究函数在给定区间上的单调性，得到函数的最值；
③将不等式问题转化为函数的最值恒大于0或者小于0的问题．