长春市重点中学2023-2024学年高一上学期12月期中考试
数 学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并在规定位置粘贴考试用条形码。
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。不得在答题卡上做任何标记。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，集合，则集合等于( )
A. B. C. D.
2.命题“方程有一个根是偶数”的否定是
( )
A. 方程有一个根不是偶数
B. 方程至少有一个根不是偶数
C. 方程至多有一个根不是偶数
D. 方程的每一个根都不是偶数
3.定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，且的图象过定点，则函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
5.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
7.如图，己知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A. 与
B. 与
C. ，与，
D. 与
10.已知函数，则下列说法正确的是
( )
A. 当，时，
B. 对于，，
C. 函数可能有个不同的零点
D. 若满足不等式成立的整数恰有两个，则整数的取值有个
11.下列结论中，所有正确的结论是( )
A. 当时，
B. 当时，的最大值是
C. 当时的最小值为
D. 当时，的最大值是
12.已知定义在上的函数，下列结论正确的为( )
A. 函数的值域为
B. 存在，使得不等式成立
C. 当时，函数的图像与轴围成的面积为，则
D. 当时，
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.计算： ______ ．
14.若条件：，条件：，则是的______ 条件．填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”和“既不充分也不必要”之一．
15.函数的最小值为______．
16.已知，则不等式的解集______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：；
已知全集，集合，，求．
18.本小题分
已知函数，关于的不等式的解集为．
求不等式的解集；
当在上单调时，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数对任意的，，都有，且当时．
求的值，判断并证明函数的奇偶性；
试判断函数在上的单调性并证明；
解不等式．
20.本小题分
如所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米．
Ⅰ若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？
Ⅱ当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．
本小题分
已知函数．
试判断的单调性，并证明你的结论；
若为定义域上的奇函数，
求函数的值域；
求满足的的取值范围．
22.本小题分
已知函数，
求函数的单调区间与极值点；
若，方程有三个不同的根，求的取值范围．数学试题答案
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
9. 10. 11. 12.
13.
14. 充分不必要
15.
16.
17. 解：原式．
或，
，
，
．
18. 解：的解集为，
则和是的两个根，
所以，解得，
由，则，
，即的解集为；
由，对称轴，
因为在上单调，可得或，解出或，
即的取值范围为．
19. 解：依题意，函数对任意的，，都有，
令，得，，是奇函数，证明如下：
用代替，得，则，
所以是奇函数．
在上单调递减，证明如下：
任取，，
由于，所以，
所以，，
所以在上单调递减．
，，
由于在上单调递减，
所以，，，
所以不等式的解集是．
20. 解：Ⅰ设的长为米，则米
，，
矩形的面积
矩形的面积不大于平方米，
又得
解得：，即的长取值范围是；
Ⅱ矩形花坛的面积为
当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米．
21. 解：函数为定义域，
且，
任取，，且
则
在上单调递增，且
，，，，
，
即，
在上的单调增函数．
是定义域上的奇函数，，
即对任意实数恒成立，
化简得，
，即，
由得，
，，
，
故函数的值域为．
由，得，
在上单调递增，，
解得，
故的取值范围为．
22. 解：，
令得或，
当即时，，递增区间为；
极小值点为，无极大值点，
当即时，时，；
时，；
时，；
的减区间为：，递增区间为和；极小值点为，极大值点为；
当即时，时，；
时，；
时，，
的递减区间为，递增区间和；极小值点，极大值点为；
当时，即时，，在递增，无减区间，无极值点．
当时，即，
由可知，时，递增，时，递减，
时，递增；
极大值，极小值，
要使有三个不同的根，则；
