1.3 正方形的性质与判定 第1课时 北师大版九年级上册数学 课件（14张PPT）

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1.3 正方形的性质与判定
第1课时
第一章 特殊平行四边形
1.理解正方形的定义,了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
2.掌握正方形的性质定理，并会进行有关的计算与证明．
任务一：了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别
活动：观察下面特殊的平行四边形，指出它们的共同特征.
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2
2
3
3
4
4
尝试用菱形、矩形定义正方形.
思考
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱形
一个角是直角
∟
正方形
有一个角是直角的菱形叫做正方形.
邻边相等的矩形叫做正方形.
总结归纳
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形即矩形,又是菱形.所以它具有矩形、菱形的所有性质.
任务二：会运用正方形的性质进行有关的计算与证明
活动1：填一填.
A
B
C
D
角：
边：
对角线：
对称轴：
四个角都是直角.
四条边相等.
对角线相等且互相垂直平分.
a
a
a
a
有4条对称轴.
定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等.
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
试证明两个定理
解：∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE,∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AE=BC=BE,∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAE=∠CBE=150°，
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE= (180°-150°)=15°，
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=60°-15°-15°=30°.
活动2：利用正方形的性质进行计算与证明.
1.如图，已知正方形ABCD,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE、 CE,求∠DEC的度数.
D
A
E
B
C
2.如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O , MN∥AB ,且分别于OA , OB相交于点M,N.
求证：（1）BM = CN;（2）BM⊥CN.
A
B
C
D
O
M
N
1
2
3
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC，AC、BD互相垂直平分，且AC=BD，
∴OA=OB=OC. ∴∠2=∠NBC=45°.
又∵MN∥AB，∴∠1=∠2=∠ABD=∠3=45°，∴OM=ON.
∵OA=OB,∴AM=OA-OM=BN=OB-ON，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴BM=CN.
A
B
C
D
O
M
N
证明：（2）延长CN交线段MB于点Q.
∵△ABM≌△BCN，∴∠5=∠7.
∵正方形ABCD中∠OCB=∠ABO=45°，∴∠4=∠6.
又∵∠ONC=∠QNB.
∴180°-∠4 -∠ONC = 180°-∠6 -∠QNB,
∴∠CON =∠NQB = 90°，∴BM⊥CN.
Q
4
6
5
7
2.如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O , MN∥AB ,且分别于OA , OB相交于点M , N.
求证：（1）BM = CN;（2）BM⊥CN.
2
3
1
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等
A
2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 .
2cm
3.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，（1）求证：BE=CF；（2）求BE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，
∴∠B=90°，∠ACB=45°，AB=BC=1cm.
∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EF⊥AC,
∴△ABE≌△AFE(AAS),∴BE=EF,∠EFA=∠EFC=90°.
又∵∠ACB=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF=FC.
∴BE=FC.
3.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，（2）求BE的长．
（2）解：由（1）得△ABE≌△AFE，
∴AB=AF=1cm，
在Rt△ABC中，
∴BE=CF=AC-AF=
针对本节课关键词“正方形的性质”，说说你都学到了哪些知识？