1.2 矩形的性质与判定 第1课时 北师大版九年级上册数学 课件（15张PPT）

(共15张PPT)
1.2 矩形的性质与判定
第1课时
第一章 特殊平行四边形
1.理解矩形的定义,知道矩形是特殊的平行四边形.
2.掌握矩形和直角三角形的性质定理，会进行有关的计算与证明．
任务一：掌握矩形和直角三角形的性质定理
活动1：请观察下面平行四边形的变化，完成下列问题.
(1)当平行四边形一个角是直角时停止，这个图形有何特点 它还是平行四边形吗？请举出身边类似图形的例子．
(2)平行四边形一定是矩形吗 矩形一定是平行四边形吗 由此你能得出什么结论,请说一说.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是矩形.
活动2：动手做一做.
(1)任意度量身边一个矩形物体的每个角的度数，如数学书本、课桌等.
(2)拿出一张A4纸，分别画出它的两条对角线，再分别量出两条对角线的长度.
通过(1)(2)的操作说说你的猜想，并加以验证.
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
证明猜想1：
四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠ADC,∠BCD=∠BAD, AB∥DC.
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC=90°,
∴∠BCD=90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°.
定理：矩形的四个角都是直角.
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
证明猜想2：
定理：矩形的对角线相等.
思考
如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么大小关系？由此你能得出什么结论？
由矩形的性质可得DO＝BO＝ BD,AC＝BD，
∴BO＝ AC.
由此可得，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.
练一练
如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_______.　
活动：解决下列问题，简要归纳所用到的性质或方法.
(1)在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O，
∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长.
(2)已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，
DF⊥AE于点F，若AE=BC．求证：CE＝EF
图2
任务二：能运用矩形和直角三角形的性质定理解决相关问题
(1)在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
(2)已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，若AE=BC．
求证：CE＝EF．
图2
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC,且AD=BC．
∴∠1=∠2,AE=AD．
∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°．
在△ABE与△DFA中，
∠B=∠DFA，
AE=AD，
∠1=∠2，
∴△ABE≌△DFA（AAS）,∴AF=BE,∴EF=EC．
练一练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD=3，CE=5，求CD的长.　
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，
∵AD=3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2，
∴DE=AE-AD=5-3=2，
∴AE=CE=5，
即52=CD2+22，
∴CD= .
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是( )
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OA=OB D.OA=AD
D
2.矩形的两条对角线的一个夹角为60°，一条对角线与短边的和是15，则对角线长为 ，短边长为 .
10
5
3.如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE=BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵E为CD边上的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE．
针对本节课所学内容，说说你都学到了哪些知识？
计算与论证