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2023-2024学年度第一学期北京市九年级数学期末仿真模拟试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 如图，直线，直线，被，，所截，截得的线段分别为，，，．
若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
3 . 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接CO，AD，
则下列说法中不一定成立的是（ ）
A．CE＝DE B．∠BOC＝2∠BAD C．弧AC=弧AD D．AD＝2CE
5. 如图，函数与函数的图象相交于点．
若，则x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，
边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕原点O旋转，
则旋转后顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8. 抛物线的图象如图所示，抛物线过点，则下列结论：
①；②；③；④（为一切实数）；⑤；
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若，则___________．
10 .在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．
若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为_______
11 . 如图，小东用长2米的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，
移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，米，米，
则旗杆的高为 米．
12. 如果一个扇形的圆心角为，半径为2，那么该扇形的面积为___________（结果保留π）．
写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．
如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．
且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米．
石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．
如图，某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径________米．
16 .如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，
连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）．
17. 计算：．
18. 如图，、相交于点，连接、，且，，，，求的长．
19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，AP＝2，求⊙O的半径．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根 ．
21.某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22. 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，
再往塔的方向前进50米至B处，测得仰角为60°．
（1） 求证：AB＝BD；
（2）求塔高CD．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）
23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，
连接，直线与x轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求点C的坐标和的面积．
(3)直接写出不等式的解集．
24. 已知抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
25.为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．
某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米．
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
如图，在等腰中，，以为直径作，交于点D，
过点D作，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长．
如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),
抛物线的图象过点（2，-1）及点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
如图，在中，，点D在上，
连接，在直线右侧作，且，连接交于点F．
（1）如图1，当时，
①依题意补全图1，猜想与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，的数量关系，并证明．
（2）如图2，当时，直接用含m的等式表示线段，的数量关系．
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2023-2024学年度第一学期北京市九年级数学期末仿真模拟试卷解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 如图，直线，直线，被，，所截，截得的线段分别为，，，．
若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入线段长度即可求解．
【详解】解：∵直线，直线，被，，所截，
∴，即，
解得，
故选：B．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：D．
3 .从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
4.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接CO，AD，
则下列说法中不一定成立的是（ ）
A．CE＝DE B．∠BOC＝2∠BAD C．弧AC=弧AD D．AD＝2CE
【答案】D
【分析】根据圆周角定理即可判断.
【详解】解：∵在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴CE＝DE，故A成立；
∴弧BC=弧BD，
∴弧AC=弧AD，故C成立；
∴∠CAB＝∠BAD，
∴∠BOC＝2∠CAB＝2∠BAD，故B成立；
故选D．
5.如图，函数与函数的图象相交于点．
若，则x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，
即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围．
【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，
故本题答案为：或．
故选：D
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
【答案】B
解：过A作AD⊥BC，垂足为D
∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，
边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕原点O旋转，
则旋转后顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，连接AD，BD．首先确定点D的坐标，再根据中心对称即可求解．
【详解】如图，连接AD，BD．
在正六边形ABCDEF中，AB=2，则AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=AF=，
∴OB=OA+AB=，
∴D，
将正六边形绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为，
故选A
8. 抛物线的图象如图所示，抛物线过点，则下列结论：
①；②；③；④（为一切实数）；⑤；
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点位置，确定的正负，即可①；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点 (，0)，得到另一个交点，把b= 2a代入即可判断③，根据抛物线的最大值判断④；由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0，即可判断⑤.
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵对称轴是：
∴a、b异号，
∴b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，
∴选项①不正确；
②抛物线对称轴是：
b= 2a，
2a+b=0，
选项②不正确;
③抛物线与x轴的一个交点 (，0)，则另一个交点为(，0)，
把b= 2a代入得：
∴选项③不正确；
④抛物线在时取得最大值，
即
故选项④不正确；
⑤ ∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0
即
∴选项⑤正确；
正确的有1个，
故选A
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，得到，代入求值即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
10 .在一个不透明的盒子中装有n个除颜色外完全相同的球，其中有4个红球．
若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，
发现摸到红球的频率稳定在左右，则n的值大约为_______
【答案】20
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，
可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
11 .如图，小东用长2米的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，米，米，则旗杆的高为 米．
【答案】6
【分析】结合题意，得，则有，得，通过计算即可得到答案
【详解】竹竿和旗杆均垂直于地面，
∴
∴
∴，
∵米，米，，
∴，
米
故答案为：6．
12. 如果一个扇形的圆心角为，半径为2，那么该扇形的面积为___________（结果保留π）．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵扇形的圆心角为，半径为2，
∴该扇形的面积为：．
故答案为：．
写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大．
这个二次函数的表达式可以是___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】首先由①得到；由②得到；只要举出满足以上两个条件的值即可得出所填答案．
【详解】解：二次函数，
①开口向下，
；
②当时，随着的增大而增大，，即；
∴只要满足以上两个条件就行，
如时，二次函数的解析式是．
故答案为：．（答案不唯一）
14. 如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米．
【答案】8
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案为：8．
15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米．
【答案】10
【解析】
【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案．
【详解】解：连接，，，
可得：，，
∵，拱高米，
∴，
设，则，
根据题意可得：，
即，
解得：，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是米．
故答案为：10
16 .如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②④．
【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，
则△GED不是等腰三角形，
△GDE与△BEF不相似， ③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.
故答案为：①②④
三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，负整数指数幂，二次根式，特殊的三角函数值求出各项的值，再进行加减即可得．
【详解】解：原式
18. 如图，、相交于点，连接、，且，，，，求的长．
【答案】
【分析】先证明得，从而即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
的长为．
19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，AP＝2，求⊙O的半径．
【答案】5.
【分析】连接OC，先由垂径定理求得CP＝4，然后再在Rt△OCP中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】如图，连接OC．设⊙O的半径为r．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CP＝PD＝4．
∵OC＝OB＝r．AP＝2，
∴OP＝r﹣2．
在Rt△OPC中，由勾股定理得：OC2＝PC2+OP2，即r2＝42+（r﹣2）2．
解得：r＝5．
所以圆的半径为5．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根 ．
【答案】（1）见解析；（2）n=4，m=2，方程的根为x1=x2=1
【分析】（1）先计算判别式得到=，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）取m=-2，n=4，则方程化为x2-2x+1=0，然后利用完全平方公式解方程．
【详解】（1）证明：=，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，m≠0，
；
即；
以下答案不唯一，如：当n=4，m=2时，方程为x2-2x+1=0，
解得x1=x2=1．
21.某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
22. 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，
再往塔的方向前进50米至B处，测得仰角为60°．
求证：AB＝BD；
求塔高CD．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）
解: （1）证明：∵∠DAB=30°，∠DBC=∠A+∠ADB=60°，
∴∠A=∠ADB=30°，
∴BD=AB；
（2） ∵BD=AB=50米，
在Rt△BCD中，∠C=90°，
∴sin∠DBC=，
∴DC=BD sin60°=50×=25（米），
答：该塔高为25米．
23.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，
连接，直线与x轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求点C的坐标和的面积．
(3)直接写出不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式：，一次函数解析式：
(2)，
(3)或
【分析】（1）将点代入求出m的值，然后求出点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入一次函数利用待定系数法求解即可；
（2）令一次函数即可求出点C的坐标，利用代入数据求解即可；
（3）根据题意得到不等式的解集即为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，根据A，B两点的横坐标求解即可．
【详解】（1）将代入，得到，
∴反比例函数解析式为；
将代入，得，
∴
将，代入
得，
解得，
∴；
（2）在，令，即，
解得，
∴点，
∴
；
（3）由图象可得，的解集为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，
∴或；
24. 已知抛物线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与轴的交点坐标．
【答案】（1）；（2）,
【分析】（1）利用待定系数法，把点，代入，求出b、c的值，即可求出解析式；
（2）由题意，直接令y=0，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：（1）抛物线经过点，，
．
解得：．
．
（2）令，
．
解得：，．
抛物线与轴的交点坐标是,．
25.为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．
某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米．
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
解：（1）设长BC为米，则宽AB为米，花圃的面积是平方米，
，
当时，有最大值，
∵墙长36米，
∴，则取，，
此时，
答：当AB长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米；
（2）令，则，
解得，（舍去），
∴，
答：花圃面积为350平方米时，AB长为35米．
26.如图，在等腰中，，以为直径作，交于点D，
过点D作，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由，得到，先证明，得到，则，由是的半径，即可得到结论；
（2）由，得到，由勾股定理得到，由,得到,连接，由得到，由勾股定理即可求得的长．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵等腰中，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴,
∵,
∴,
连接，
∵为的直径，
∴,
∵,
∴，
∴，
∴，
即的长为．
27. 如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（3，1）
(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)
【分析】（1）把点（2，-1）代入计算即可；
（2）过点C作CD垂直轴于点D，利用全等即可求出C点坐标；
（3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，分类讨论.
【详解】（1）把点（2，-1）代入得=
∴该抛物线的解析式为
（2）过点C作CD垂直轴于点D
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°
∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3
∴△BOA≌△ADC
∴OA=DC，BO=AD
∵A(1,0),B(0,2),
∴OA=DC=1，BO=AD=2
∴点C的坐标为（3,1）
（3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，交于P1 、P2 、P3
①当AP//BC,且AP = BC时，如图:
将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，
经检验:点P1在抛物线上，
故P1满足条件，
②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，
经检验，P2不在抛物线上；
③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，
经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.
综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1).
如图，在中，，点D在上，
连接，在直线右侧作，且，连接交于点F．
（1）如图1，当时，
①依题意补全图1，猜想与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，的数量关系，并证明．
（2）如图2，当时，直接用含m的等式表示线段，的数量关系．
【答案】（1）①见解析；，证明见解析；②；证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形，根据余角的性质，证明即可；
②先证明，得出，说明，再证明，即可得出结论；
（2）过点E作于点G，先证明，得出，从而得出，证明，得出，即可得出答案．
小问1详解】
解：①根据题意补全图形，如图所示：
，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②，理由如下：
过点E作于点G，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
过点E作于点G，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
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