人教版七年级下册第九章9.1.2不等式的性质 教案

教学设计
基本信息
学段 初中 学科 数学
使用教材版本 人教版
课题 9.1.2 不等式的性质（第1课时）
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
1.单元学习内容分析
不等式的知识是在一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，进一步探究现实世界数量关系的重要内容。数量之间除了有相等关系外，还有大小不等的关系。正如方程与方程组是讨论等量关系的有力数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有力数学工具. 掌握不等式的基本性质是基础知识，解一元一次不等式是一项基本技能，也是学生以后学习一元二次方程、函数以及进一步学习不等式知识的基础，具有承上启下的作用。
2.本课时学习内容分析
本节课是在学生学习了等式的性质，掌握了一元一次方程解法的基础上，研究不等式的性质不等式的性质是解不等式的重要依据．因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章的基础． 通过类比等式性质，观察具体数值、归纳不等式的性质，既能让学生感受运算中的不变性，获得猜想，又能让学生从具体到抽象，用符号语言表述结论．理解不等式性质，一是辨析，特别是不同于等式的性质；二是应用，即利用不等式的性质将不等式逐步化为x>a或x3.学习者分析
学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三，知道不等式的概念；第四，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的经验，有一定的抽象概括能力和合情推理能力． 学生认知的主要障碍是：第一，探索不等式性质时，如何与等式性质进行类比，类比什么，思路不是很清晰；第二，探索不等式性质2，3时，由于学生思维的片面性，会产生考虑不到不等式两边乘或除以同一个负数的情况；第三，运用不等式性质时，由于已有知识经验产生的负迁移，学生不理解运用性质3时，为什么要改变不等号的方向，以及在不等式的等价变形时，什么时候要改变不等号的方向．
4.学习目标确定
1．目标 （1）探索并理解不等式的性质．（2）体会探索过程中所应用的归纳和类比方法． 2．目标解析 达到目标（1）的标志是：学生能通过观察、比较具体数字运算的大小，联系等式性质，归纳出不等式的性质．面对变形后的式子，能利用不等式性质判断它们的大小． 达到目标（2）的标志是：学生能通过反思，总结探索过程，了解归纳和类比是获得数学发现的常用方法．
5.学习重点难点
教学重点：探索不等式的性质． 教学难点：不等式性质3的探索及其理解．
6.教学准备
托盘天平、动态演示、学案
7.学习过程设计
1．回顾旧知 教师引出本节课所学内容：在上一节课，我们类比等式学习了什么是不等式．对于某些简单的不等式，我们可以直接想出它们的解集，但是对于比较复杂的不等式，直接想出解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不等式。 问题1 我们知道解方程需要依据等式的性质，那么解不等式需要依据什么呢？ 问题2 等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 师生活动：学生通过回忆回答问题，并由师生共同整理成表1． 表1 文字语言符号语言性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果a=b，那么a+c=b+c，a－c=b－c．性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a=b，那么ac=bc． 如果a=b（c≠0），那么．
设计意图：本表由学生口述，教师逐条写在黑板上，保留至探究完不等式的性质，并将不等3性质列于其旁．对比表1中的等式性质，有利于学生探索发现和正确表达（文字语言和符号语言）不等式的性质． 2．探究新知 问题3 研究等式性质的基本思路是什么？ 师生活动：学生各抒己见．必要时，教师给予提示：等式的性质就是从加减乘除运算的角度研究运算的不变性． 设计意图：从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，通过总结等式性质就是研究运算中的不变性，明确不等式性质的研究方向． 问题4 类比等式的性质，你能猜想一下不等式的性质吗？ 师生活动：学生进行猜想，并选取两名学生代表上台书写． 设计意图：强化类比思想，帮助学生建立不等式性质的预设，为后面厘清等式性质与不等式性质的区别和联系奠定基础． 探究1 为了研究不等式的性质，我们可以先从一些数字的运算开始，用“<”或“>”完成下列两组填空，你能发现其中的规律吗？ （1）5>3，5+2__3+2，5+（－2）__3+（－2），5+0__3+0； （2）－1<3，－1+2__3+2，－1+（－3）___3+（－3），－1+0__3+0． 师生活动：学生完成填空，教师引导学生类比等式性质1，观察不等式加法运算中的不变性，即不等号的方向是否改变．由学生叙述发现的规律，并对比等式性质1进行修正．教师指出：一个数等于加这个数的相反数，所以不等式两边减同一个数（或式子）的情况可以转化为不等边加同一个数（或式子）的情况，从而获得猜想1：当不等式两边加（或减）同一个数（或式子）时，不等号的方向不变． 问题5 猜想1是否正确？如何验证？ 师生活动：让学生各自列举不等式，选取一些数和式子，加以演算，对猜想1进行验证，教师从中选取一些典型例子进行展示，师生共同讨论、确认猜想1的正确性，从而获得一般性的结论．即不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 设计意图：研究运算中的不变性，首先研究加法运算．让学生通过比较具体数字加一个正数、负数、0之后的大小，观察不等号的变化，发现并归纳其中的规律，从而提出猜想．然后，让学自己从所加（减）数字分别取正数、负数、0的不同情况入手分析，通过举例验证，确认猜想1，从而获得不等式的性质1．但值得注意的是，举例验证虽是确认猜想的一种方法，但结论的正确与否仍需要严格证明． 问题6 类似等式性质的符号语言表示，你能把不等式的性质1用符号语言表示吗？ 师生活动：学生将文字语言转化为符号语言，教师在表1旁边画一个与表1类似的表格并将结论填写在表格中． 设计意图：用符号语言表示不等式的性质，让学生体会用字母表示数的优越性，发展学生文字语言与符号语言相互转化的能力． 问题7 研究完不等式两边加（或减）同一个数（或式子）的情况，对比等式性质，下面我们要研究什么问题？如何研究？ 师生活动：学生回答，教师修正，明确研究方向：不等式两边乘（或除以）同一个数的情况．师生先考虑不等式两边乘0的特殊情况，教师再指出，除数不能为0，因而下面分不等式两边乘（或除以）同一个正数和同一个负数两种情况讨论． 探究2 以小组为单位讨论并完成以下任务： 1. 用数字任意列一个不等式； 2. 不等式两边同时乘（或除以）一个不为0的数，看看不等号的方向是否改变？ 再多换几个类型的数试试，你能得到什么结论？ 学生小组讨论．让学生各自列举不等式，以小组为单位观察不等式乘法运算中的不变性，即不等号的方向是否改变．由学生叙述发现的规律，并对比等式性质2进行修正．教师指出：除以一个数等于乘这个数的倒数，所以不等式两边除以同一个数的情况可以转化为不等式两边乘同一个数的情况，从而获得猜想2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，和猜想3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 问题8 类似不等式的性质1的符号语言表示，你能把不等式的性质2、3用符号语言表示吗？ 教师从中选取一些典型例子进行展示，师生共同讨论，确认猜想 2，3的正确性，从而获得一般性的结论，即不等式的性质2，3，并将其符号表示填写在表格中． （性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．） 设计意图：不等式性质2，3完全放手给学生自主探索，让学生类比等式的性质2和不等式性质1的研究过程，经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的思考过程．教师要及时发现学生自主探中的问题，并组织学生共同讨论典型问题，突破难点． 问题8 等式性质与不等式性质的主要区别是什么？ 师生活动：师生共同总结，以表格形式归纳．此表格（表2）的生成是在上课过程中逐条适时添入，呈现在黑板上，而非以PPT形式一次给出． 表2 等式性质不等式性质文字语言符号语言文字语言符号语言性 质 1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果a=b， 那么a+c=b+c， a－c=b－c．性 质 1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．如果a>b， 那么a+c>b+c，a－c>b－c．性 质 2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a=b， 那么ac=bc． 如果a=b（c≠0）， 那么．性 质 2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果a>b，c>0， 那么ac>bc， （或）．性 质 3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果a>b，c<0， 那么ac设计意图：引导学生再次将等式性质与不等式性质进行对比．通过表格让学生对比它们的相同点与不同点，有利于学生更好地掌握不等式的性质． 4．运用新知 例题 设a>b，用“<”或“>”填空，并说明依据不等式的哪条性质： （1）3a___3b；（2）a－8___b－8；（3）－2a___－2b； （4）；（5）－3.5b+1___－3.5a+1． 师生活动：学生依据不等式的性质对不等式a>b进行变形，得到结果． 练习 设m>n，用“>”或“<”填空： （1）m－5___n－5；（2）2m－5___2n－5;（3）－3.5m+5___－3.5n+5． 设计意图：由浅入深的练习帮助学生进一步理解不等式的性质，为下节课利用不等式性质解不等式作准备． 5. 归纳总结 师生共同总结本节课内容，并请学生回答下列问题： （1）不等式的性质是什么？不等式性质与等式性质的联系与区别是什么？ （2）在研究不等式性质的基本过程中运用了哪些数学思想方法？ 设计意图：引导学生对本节课知识进行梳理，使学生掌握不等式的性质．
8.板书设计
智慧黑板左侧呈现等式的性质，右侧呈现不等式的性质。
9.作业与拓展学习设计
1. 用“>”或“<”填空： （1）如果a>b，那么a±c___b±c； （2）如果a>b，且c>0，那么ac___bc； （3）如果a>b，且c<0，那么． 设计意图：本题主要考查学生对不等式性质的符号表示的掌握． 2. 若a>b，则下列不等式中不成立的是（ ）． （A）a-3>b-3 （B）－3a>－3b （C） （D）－a<－b 设计意图：本题主要考查学生是否会利用不等式性质对不等式进行简单变形． 3. 按下列要求，写出仍能成立的不等式： （1）x+2>－6，两边都减去2，得_______； （2）x+5<0，两边都加上－5，得_______； （3）>2，两边都除以，得_______； （4）≥1，两边都乘，得_______． 设计意图：本题主要考查学生对不等式性质的掌握．
10.教学反思与改进
本节课以“倾斜的天平”作为切入点，依托生活中情景所呈现出的不等关系，培养学生用数学的眼光观察现实世界。紧接着，在天平两边同时放上或取下相同质量的物品，启发学生思考天平是否会像原来那样倾斜，培养学生用数学的思维思考现实世界。最后，通过类比等式性质，观察具体数值、获得一般规律，进而归纳不等式的性质，既能让学生感受运算中的不变性，获得猜想，又能让学生从具体到抽象，用符号语言表述结论，培养学生用数学的语言表达现实世界。 在教学实践中，通过让学生经历“结构化猜想—自主探究验证—问题引领深化—完善并应用”的过程，即经验获得的过程，不仅可以帮助学生更好地理解基础知识和掌握基本技能，也可以帮助学生体验知识和方法的生成过程，还可以培养学生自主探究和合作交流的能力。与此同时，学生类比、归纳以及分类讨论的数学思想方法也在逐步提升。 需要注意的是学生阐述依据时，要用规范的“性质语言”。如不等式两边都乘-4，不等号的方向改变，原式是大于号，在此变形后填小于号。这样要求，一是让学生更规范、准确地掌握性质的表述；二是学生叙述的过程，就是他思维的过程，实际这也是一个简单的代数推理的过程，过程规范了，思维才会严谨、逻辑才能严密。